نسخة الفيديو النصية
بسط جا 𝜃 جتا𝜃 على ظا 𝜃 زائد ظا 𝜃 على قا 𝜃 قتا 𝜃.
أولًا يتعين علينا إعادة كتابة هذا المقدار باستخدام جا 𝜃 وجتا𝜃 فقط. ويساعدنا في ذلك الحقيقة التي تنص على أن ظا 𝜃 يساوي جا 𝜃 على جتا𝜃، وأن قا 𝜃 يساوي واحدًا
على جتا𝜃، وأن قتا قا 𝜃 يساوي واحدًا على جا 𝜃. باستخدام هذه المتطابقات، نحصل على المقدار مكتوبًا بدلالة جا 𝜃 وجتا𝜃 فقط.
الخطوة التالية هي التبسيط. لدينا كسور في الكسور، ولا نفضل ذلك. نضرب كلًا من بسط ومقام الكسر الأول في جتا𝜃. ويحذف عاملا جتا𝜃 في المقام أحدهما الآخر، ليتبقى لدينا في المقام جا 𝜃 فقط؛ وبالتالي لم يعد
لدينا كسر.
أما في الكسر الثاني، فنضرب كلًا من البسط والمقام في جتا𝜃 في جا 𝜃. وبالطبع هذا لا يغير من قيمة الكسر، وإنما يسمح لنا بتبسيطه. ويحذف عاملا جتا𝜃 في المقام أحدهما الآخر، وكذلك جا 𝜃، ومن ثم يتبقى لدينا مقام مكون من واحد
في واحد، ما يساوي واحدًا. ويحذف عاملا جتا𝜃 في البسط كل منهما الآخر أيضًا.
يمكننا الآن ترتيب ذلك. في الكسر الأول، يصبح في المقام جا 𝜃 فقط بعد عمليات الحذف، ويمكننا تبسيط البسط أيضًا، وتحويل
جتا𝜃 في جتا𝜃 إلى جتا تربيع 𝜃. وفي الكسر الثاني، نحصل بعد عمليات الحذف في البسط على جا 𝜃 في جا 𝜃، ومن عمليات الحذف في
المقام نحصل على واحد.
ويمكننا أن نرى في الكسر الأول أن عاملي جا 𝜃 في البسط وفي المقام يحذف كل منهما الآخر، ليتبقى
لدينا جتا تربيع 𝜃 فقط. وبتكرار الأمر نفسه في الكسر الثاني، جا 𝜃 في جا 𝜃 على واحد يساوي جا 𝜃 في جا 𝜃 أو جا
تربيع 𝜃. والآن بعد التبسيط نكون قد توصلنا إلى هذا المقدار: جتاتربيع 𝜃 زائد جا تربيع 𝜃، أو بتبديل
الحدود جا تربيع 𝜃 زائد جتاتربيع 𝜃، يساوي واحدًا.
وهذه متطابقة معروفة يجدر تذكرها. إذن، الإجابة النهائية هي واحد. جا 𝜃 في جتا𝜃 على ظا 𝜃 زائد ظا 𝜃 على قا 𝜃 في قتا 𝜃 يساوي واحدًا لجميع قيم 𝜃. وبذلك نكون قد استخدمنا الطريقة الأساسية التي تستخدم في تبسيط مقدار دالة مثلثية كهذا. وأعدنا كتابة كل شيء بدلالة جا 𝜃 وجتا𝜃.
ورغم أننا لم نكن بحاجة إلى التالي لحل هذه المسألة، ينبغي علينا القول بغرض استكمال المعلومة إن
ظتا 𝜃 يساوي جتا𝜃 على جا 𝜃. بعد كتابة هذا المقدار بدلالة جا 𝜃 وجتا𝜃 فقط، وجدنا أنه يمكننا حذف الكثير من العوامل. وبحذف كل ما يمكن حذفه، طبقنا بعد ذلك المتطابقة جا تربيع 𝜃 زائد جتاتربيع 𝜃 يساوي
واحدًا.
