فيديو: تبسيط مقادير الدوال المثلثية

بسط ‪sin 𝜃 cos 𝜃/tan 𝜃 + tan 𝜃/sec 𝜃 csc 𝜃‬‏.

٠٤:٠٠

‏نسخة الفيديو النصية

بسط sin 𝜃 cos 𝜃 على tan 𝜃 زائد tan 𝜃 على sec 𝜃 cosec 𝜃.

أولًا يتعين علينا إعادة كتابة هذا المقدار باستخدام sin 𝜃 وcos 𝜃 فقط. ويساعدنا في ذلك الحقيقة التي تنص على أن tan 𝜃 يساوي sin 𝜃 على cos 𝜃، وأن sec 𝜃 يساوي واحدًا على cos 𝜃، وأن cosec 𝜃 يساوي واحدًا على sin 𝜃. باستخدام هذه المتطابقات، نحصل على المقدار مكتوبًا بدلالة sin 𝜃 وcos 𝜃 فقط.

الخطوة التالية هي التبسيط. لدينا كسور في الكسور، ولا نفضل ذلك. نضرب كلًا من بسط ومقام الكسر الأول في cos 𝜃. ويحذف عاملا cos 𝜃 في المقام أحدهما الآخر، ليتبقى لدينا في المقام sin 𝜃 فقط؛ وبالتالي لم يعد لدينا كسر.

أما في الكسر الثاني، فنضرب كلًا من البسط والمقام في cos 𝜃 في sin 𝜃. وبالطبع هذا لا يغير من قيمة الكسر، وإنما يسمح لنا بتبسيطه. ويحذف عاملا cos 𝜃 في المقام أحدهما الآخر، وكذلك sin 𝜃، ومن ثم يتبقى لدينا مقام مكون من واحد في واحد، ما يساوي واحدًا. ويحذف عاملا cos 𝜃 في البسط كل منهما الآخر أيضًا.

يمكننا الآن ترتيب ذلك. في الكسر الأول، يصبح في المقام sin 𝜃 فقط بعد عمليات الحذف، ويمكننا تبسيط البسط أيضًا، وتحويل cos 𝜃 في cos 𝜃 إلى cos تربيع 𝜃. وفي الكسر الثاني، نحصل بعد عمليات الحذف في البسط على sin 𝜃 في sin 𝜃، ومن عمليات الحذف في المقام نحصل على واحد.

ويمكننا أن نرى في الكسر الأول أن عاملي sin 𝜃 في البسط وفي المقام يحذف كل منهما الآخر، ليتبقى لدينا cos تربيع 𝜃 فقط. وبتكرار الأمر نفسه في الكسر الثاني، sin 𝜃 في sin 𝜃 على واحد يساوي sin 𝜃 في sin 𝜃 أو sin تربيع 𝜃. والآن بعد التبسيط نكون قد توصلنا إلى هذا المقدار: cos تربيع 𝜃 زائد sin تربيع 𝜃، أو بتبديل الحدود sin تربيع 𝜃 زائد cos تربيع 𝜃، يساوي واحدًا.

وهذه متطابقة معروفة يجدر تذكرها. إذن، الإجابة النهائية هي واحد. ‏sin 𝜃 في cos 𝜃 على tan 𝜃 زائد tan 𝜃 على sec 𝜃 في cosec 𝜃 يساوي واحدًا لجميع قيم 𝜃. وبذلك نكون قد استخدمنا الطريقة الأساسية التي تستخدم في تبسيط مقدار دالة مثلثية كهذا. وأعدنا كتابة كل شيء بدلالة sin 𝜃 وcos 𝜃.

ورغم أننا لم نكن بحاجة إلى التالي لحل هذه المسألة، ينبغي علينا القول بغرض استكمال المعلومة إن 𝑐𝑜𝑡 𝜃 يساوي cos 𝜃 على sin 𝜃. بعد كتابة هذا المقدار بدلالة sin 𝜃 وcos 𝜃 فقط، وجدنا أنه يمكننا حذف الكثير من العوامل. وبحذف كل ما يمكن حذفه، طبقنا بعد ذلك المتطابقة sin تربيع 𝜃 زائد cos تربيع 𝜃 يساوي واحدًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.