فيديو: جمع وطرح الدوال

أحمد مدحت

يوضح الفيديو كيفية جمع وطرح الدوال، وتحديد مجال الدالة الناتجة، مع أمثلة توضيحية.

٠٨:٤٥

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن جمع وطرح الدوال.

هدفنا من الفيديو إن إحنا نعرف نجمع ونطرح الدوال. بالنسبة للدوال، فإحنا ممكن نجري عليها عمليات الجمع والطرح، زيّ ما هنشوف في المفهوم اللي هيظهر لنا. في الأول هنفرض إن إحنا عندنا دالتين؛ الدالة د س، والدالة ر س. فبالنسبة لعملية الجمع، لمّا نقول: د زائد ر س، ده معناه إن إحنا هنجمع الدالتين. وبالتالي هتساوي د س زائد ر س.

فمثلًا لو فرضنا إن الدالة د س بتساوي تلاتة س، وَ ر س بتساوي سالب س زائد خمسة. فيبقى د زائد ر س هيساوي مجموع الدالتين. يعني هيساوي تلاتة س زائد سالب س زائد خمسة. وبالتالي لمّا هنبسّط المقدار اللي عندنا لأبسط صورة، هنلاقي إن مجموع الدالتين بيساوي اتنين س زائد خمسة.

أمَّا الطرح، فلمّا نقول: د ناقص ر س، ده معناه إن إحنا نطرح الدالة ر من الدالة د. وبالتالي هيساوي د س ناقص ر س. وبكده لمّا يبقى عندنا إن الدالة د س بتساوي تلاتة س، والدالة ر س بتساوي سالب س زائد خمسة. فهيبقى د ناقص ر س هيساوي د س ناقص ر س. يعني هيساوي تلاتة س ناقص سالب س زائد خمسة. لمّا هنكتب المقدار ده في أبسط صورة، فهنلاقيه بيساوي أربعة س ناقص خمسة.

بعد كده هنبدأ نشوف مثال على جمع وطرح الدوال، بس في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة، هيظهر لنا المثال. عندنا في المثال الدالة د س تساوي س تربيع ناقص أربعة. والدالة ر س تساوي اتنين س زائد واحد. وعايزين نجيب الدالة د زائد ر س، والدالة د ناقص ر س. هنبدأ أول حاجة بـ أ، واللي هي د زائد ر س، واللي هي عبارة عن مجموع الدالتين. فبالنسبة لـ د زائد ر س، فهتساوي د س زائد ر س. بعد كده هنبدأ نعوّض مكان د س بـ س تربيع ناقص أربعة، ومكان ر س باتنين س زائد واحد. فهيبقى عندنا د زائد ر س تساوي س تربيع ناقص أربعة، زائد اتنين س زائد واحد. لمّا هنكتب المقدار ده في أبسط صورة، هنلاقي إن د زائد ر س تساوي س تربيع، زائد اتنين س، ناقص تلاتة. بكده يبقى إحنا خلّصنا المطلوب أ.

هنبدأ نشوف المطلوب ب، وهو د ناقص ر س. بالنسبة لـ د ناقص ر س، فمعناها إن إحنا هنطرح الدالة ر من الدالة د. يعني د ناقص ر س تساوي د س ناقص ر س. بعد كده هنبدأ نعوّض مكان د س بـ س تربيع ناقص أربعة، ومكان ر س باتنين س زائد واحد. فهيبقى عندنا د ناقص ر س تساوي س تربيع ناقص أربعة، ناقص اتنين س زائد واحد. فلمّا هنكتب المقدار ده في أبسط صورة، هنلاقي د ناقص ر س تساوي س تربيع، ناقص اتنين س، ناقص خمسة. بكده يبقى إحنا خلّصنا المطلوب ب.

بعد كده هنبدأ نشوف التمثيل البياني لمجموع دالتين أو الفرق بينهم. فهنقلب الصفحة. بالنسبة لمجموع دالتين أو الفرق بينهم، فإحنا نقدر نمثّله بيانيًّا من خلال التمثيل البياني بتاع كل دالة لوحدها. بعد كده لو هنجمع الدالتين، فإحنا هنجمع القيمتين بتوع الدالتين عند كل قيمة مفروضة لـ س. وهتبقى هي دي قيمة الدالة اللي نتجت من مجموع الدالتين عند نفس القيمة بتاعة س.

فمثلًا لو عندنا دالتين؛ الأولى هي الدالة د س، والتانية هي الدالة ر س. فمثلًا لو فرضنا إن الدالة د س تساوي س تربيع، والدالة ر س تساوي س. فهنبدأ نشوف التمثيل البياني بتاع الدالة د س، وكمان بتاع الدالة ر س، وكمان بتاع مجموع الدالتين، وهو د زائد ر س.

أول حاجة هنعمل جدول زيّ اللي هيظهر لنا. في العمود الأول من الجدول، هنفرض قيم لـ س، واللي هنجيب عندها قيم الدوال د س وَ ر س، ومجموعهم اللي هو د زائد ر س. فهنفرض قيم لـ س، زيّ ما هيظهر لنا. بعد كده في العمود التاني والتالت، هنبدأ نجيب قيم الدالة د س والدالة ر س عند قيم س المختلفة اللي إحنا فرضناها. فهنكمّل الجدول زيّ ما هيظهر لنا. بعد كده في العمود الرابع، هنلاقي عندنا الدالة د زائد ر س، واللي هي عبارة عن مجموع الدالتين. وعلشان نجيب قيمها عند قيم س المختلفة، فإحنا هنجمع قيم الدالتين د س وَ ر س عند كل قيمة لـ س. وهتبقى دي هي قيمة الدالة الناتجة من مجموع الدالتين.

فمثلًا بالنسبة لقيمة الدالة د زائد ر س عند س تساوي سالب تلاتة، هتساوي تسعة زائد سالب تلاتة. يعني قيمة الدالة هتساوي ستة. بنفس الطريقة، نقدر نكمّل بقية الجدول. فهنكمّل الجدول زيّ ما هيظهر لنا. بكده بعد ما كمّلنا الجدول، هنبدأ نمثّل الدالة د س، والدالة ر س، ومجموعهم اللي هو عبارة عن الدالة د زائد ر س بيانيًّا، زيّ ما هيظهر لنا بعد. ما عملنا التمثيل البياني، هنلاحظ إن المجال بتاع الدالة د س هو نفسه مجال الدالة ر س، واللي هو عبارة عن مجموعة الأعداد الحقيقية. أمَّا بالنسبة للمجال بتاع الدالة الناتجة من عملية الجمع بتاع الدالتين، واللي هي الدالة د زائد ر س. هيكون عبارة عن مجموعة الأعداد الحقيقية، واللي هو تقاطُع مجال الدالتين د س وَ ر س.

هنبدأ نشوف التمثيل البياني بتاع الفرق بين دالتين، بس في الصفحة اللي جايّة. هنقلب الصفحة. علشان نعمل التمثيل البياني للفرق بين دالتين، فإحنا فرضنا إن عندنا الدالة د س، وبتساوي س تربيع. وعندنا دالة تانية هي ر س، وبتساوي س. أمَّا الدالة اللي هتمثّل الفرق بين الدالة د س وَ ر س، فهي الدالة د ناقص ر س، واللي هتساوي د س ناقص ر س. فإحنا هنشوف التمثيل البياني بتاع الدالة د س، والدالة ر س، وكمان الدالة د ناقص ر س.

فهنعمل جدول زيّ اللي في الصفحة اللي فاتت. فهيظهر لنا الجدول. في العمود الأول، هنفرض قيم لـ س زيّ ما هيظهر لنا. بعد كده في العمود التاني والتالت، هنبدأ نجيب قيم الدالة د س وقيم الدالة ر س عند قيم س المختلفة. وهنكمّل الجدول زيّ ما هيظهر لنا. بعد كده في العمود الرابع عندنا الدالة د ناقص ر س. وعلشان نجيب القيم بتاعتها عند قيم س المختلفة، فإحنا هنطرح قيم الدالة ر س من قيم الدالة د س عند كل قيمة لـ س. وهتبقى دي هي قيمة الدالة الناتجة من الفرق بين الدالتين د س وَ ر س.

فمثلًا قيمة الدالة د ناقص ر س عند س تساوي سالب تلاتة، هتبقى عبارة عن تسعة، واللي هي قيمة الدالة د س عند س تساوي سالب تلاتة ناقص سالب تلاتة. والسالب تلاتة دي هي عبارة عن قيمة الدالة ر س عند س تساوي سالب تلاتة. بكده هتبقى قيمة الدالة د ناقص ر س عند س تساوي سالب تلاتة هي اتناشر.

بنفس الطريقة، هنكمّل الجدول اللي عندنا. فهيظهر لنا الجدول بعد ما هنكمّله. بعد ما كمّلنا الجدول، هنبدأ نمثّل الدوال د س، وَ ر س، وَ د ناقص ر س بيانيًّا، زيّ ما هيظهر لنا. بعد ما خلّصنا التمثيل البياني، هنلاحظ إن المجال بتاع الدالة د س هو نفسه المجال بتاع الدالة ر س، واللي هو عبارة عن مجموعة الأعداد الحقيقية. وهنلاقي المجال بتاع الدالة د ناقص ر س، واللي هي الدالة الناتجة من طرح الدالة ر س من الدالة د س، هو برضو عبارة عن مجموعة الأعداد الحقيقية. واللي هو تقاطُع مجال الدالتين د س وَ ر س.

بكده يبقى إحنا شُفنا التمثيل البياني لمجموع دالتين، والفرق بينهم. ولاحظنا إن مجال الدوال الناتجة عن عمليات الجمع أو الطرح لدالتين هيكون عبارة عن تقاطُع مجال الدالتين دول.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده، عرفنا إزّاي نقدر نجمع ونطرح الدوال. وكمان عرفنا إزّاي نقدر نحدّد مجال الدوال الناتجة عن عمليات الجمع أو الطرح لدالتين، واللي هو كان عبارة عن تقاطُع مجال الدالتين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.