فيديو السؤال: حساب حاصل الضرب القياسي لمتجهين الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

بالنسبة لمتجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ، ما قيمة حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺱ وﺹ؟

في هذا السؤال، نريد حساب حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺱ وﺹ، حيث ﺱ وﺹ متجهي وحدة اتجاهيين قياسيين‎. وفي الواقع، توجد عدة طرق مختلفة لحساب ذلك. سنستعرض عددًا قليلًا منها. الطريقة الأولى لإجراء ذلك هي تذكر الصيغة التي تتضمن حاصل الضرب القياسي والزاوية المحصورة بين متجهين. نحن نعلم أنه إذا كانت 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين متجهين ﻉ وﻕ، فإن جتا 𝜃 سيساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻉ وﻕ مقسومًا على معيار ﻉ في معيار ﻕ. وهذا يعطينا نتيجة تفيدنا في حساب حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﻉ وﻕ في حال معرفتنا لمعيار ﻉ ومعيار ﻕ، وقياس الزاوية المحصورة بين هذين المتجهين.

في هذه السؤال، نعرف جميع هذه القيم الثلاث. أولًا، تذكر أن هذه المتجهات هي متجهات وحدة اتجاهية. ونطلق عليها اسم متجهات الوحدة؛ لأن معيارها يساوي واحدًا. وتجدر الإشارة هنا إلى أننا نعبر عن ذلك على المتجهات باستخدام رمز السهم الغير مكتمل. لكن تذكر أن متجهات الوحدة الاتجاهية متعامدة على بعضها البعض. وإذا كان متجهان متعامدين أحدهما على الآخر، فإن قياس الزاوية المحصورة بين هذين المتجهين لابد أن يساوي ٩٠ درجة. يمكننا استخدام هذه المعادلة لإيجاد حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺱ وﺹ.

أولًا، بما أننا نعلم أن قياس الزاوية المحصورة بين المتجهين ﺱ وﺹ يساوي ٩٠ درجة، يصبح لدينا جتا ٩٠ درجة يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺱ وﺹ مقسومًا على معيار ﺱ في معيار ﺹ. وبما أننا ذكرنا من قبل أن ﺱ وﺹ متجهي وحدة، فمعيار كل منهما يساوي واحدًا. إذن، يبسط هذا التعبير بأكمله ليصبح لدينا فقط حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺱ وﺹ يساوي جتا ٩٠ درجة. وجتا ٩٠ درجة يساوي صفرًا. وعليه، فإن حاصل الضرب القياسي للمتجهين ﺱ وﺹ يساوي صفرًا.

ولكن، هذه ليست الطريقة الوحيدة التي يمكننا أن نحسب بها حاصل الضرب القياسي. يمكننا أيضًا إجراء ذلك مباشرة من خلال تعريف الضرب القياسي. وعلى الرغم من أن ذلك ليس ضروريًّا، فسنبدأ بكتابة المتجهين ﺱ وﺹ على الصورة الإحداثية. تذكر أن مركبات هذه المتجهات تمثل معاملات ﺱ وﺹ وﻉ. فبالنسبة للمتجه ﺱ، المعامل غير الصفري الوحيد هو معامل ﺱ، وهو ما يساوي واحدًا. وبالنسبة إلى المتجه ﺹ، المعامل غير الصفري الوحيد هو معامل ﺹ، وهو ما يساوي واحدًا أيضًا. إذن، ﺱ هو المتجه واحد، صفر، صفر، وﺹ هو المتجه صفر، واحد، صفر.

تجدر الإشارة هنا إلى أنه كان يمكننا تجاهل المركبة الثالثة تمامًا. فهذا لن يغير الناتج، وتعتبر كلتا الطريقتين صحيحتين. لكن السبب الوحيد لكتابتنا للمركبة الثالثة هو أن السؤال طلب منا وضع متجهات الاتجاه الثلاثة في اعتبارنا على وجه التحديد. لذلك، نترك ذلك على صورة ثلاثة مركبات، ولكن يمكنك ألا تفعل ذلك إن أردت.

والآن، نريد إيجاد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين. وتذكر أنه لإجراء ذلك، علينا ضرب المركبات المتناظرة ثم جمع كل حواصل الضرب هذه معًا. حسنًا، نبدأ بضرب أول مركبتين لهذين المتجهين معًا. هذا يعطينا واحدًا مضروبًا في صفر. بعد ذلك نضيف حاصل ضرب ثاني مركبتين لهذين المتجهين. وهذا يساوي صفرًا مضروبًا في واحد. وأخيرًا، نضيف حاصل ضرب ثالث مركبتين لهذين المتجهين. وهو ما يساوي صفرًا مضروبًا في صفر. ثم يمكننا حساب ذلك. كل هذه الحدود الثلاثة عاملها صفر؛ لذا فمجموعها يساوي صفرًا.

وبذلك، نكون قد أوضحنا بطريقتين مختلفتين أن حاصل الضرب القياسي لمتجهي الوحدة الاتجاهيين ﺱ وﺹ يساوي صفرًا.