فيديو السؤال: اشتقاق الدوال الكسرية باستخدام قاعدة القسمة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد اشتقاق ﺩﺱ يساوي خمسة ﺱ تربيع ناقص واحد على سبعة ﺱ زائد ستة.

أول ما يميز هذا السؤال هو أن لدينا خارج قسمة دالتين قابلتين للاشتقاق، وهما: الدالة خمسة ﺱ تربيع ناقص واحد في البسط، والدالة سبعة ﺱ زائد ستة في المقام. لاشتقاق دوال من هذا النوع، علينا استخدام قاعدة القسمة. تنص هذه القاعدة على أنه لدالتين قابلتين للاشتقاق ﻉ وﻕ، فإن مشتقة خارج قسمتهما، ﻉ على ﻕ، تساوي ﻕ مضروبًا في ﻉ شرطة ناقص ﻉ مضروبًا في ﻕ شرطة الكل على ﻕ تربيع.

دعونا نر كيفية تطبيق قاعدة القسمة في هذا السؤال. تذكر أن ﻉ هي الدالة في بسط خارج القسمة وﻕ هي الدالة في المقام. إذن، سنفترض أن ﻉ يساوي الدالة في البسط؛ خمسة ﺱ تربيع ناقص واحد، وﻕ يساوي الدالة في المقام؛ سبعة ﺱ زائد ستة. نحتاج بعد ذلك إلى إيجاد كل مشتقة من مشتقاتهما بالنسبة إلى ﺱ، وهو ما يمكننا فعله باستخدام قاعدة القوى للاشتقاق. ‏ﻉ شرطة أو ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي خمسة مضروبًا في اثنين ﺱ، وهو ما يساوي ١٠ﺱ. وتذكر أن مشتقة عدد ثابت، وهو في هذه الحالة سالب واحد، تساوي صفرًا. ‏ﻕ شرطة أو ﺩﻕ على ﺩﺱ يساوي سبعة. إذن لدينا مشتقتا ﻉ وﻕ بالنسبة إلى ﺱ.

نحن الآن مستعدون للتعويض بقاعدة القسمة لإيجاد ﺩ شرطة ﺱ. إنها تساوي ﻕ مضروبًا في ﻉ شرطة. وهذا يساوي سبعة ﺱ زائد ستة مضروبًا في ١٠ﺱ ناقص ﻉ مضروبًا في ﻕ شرطة. وهذا يساوي خمسة ﺱ تربيع ناقص واحد مضروبًا في سبعة. الكل مقسوم على ﻕ تربيع. هذا يساوي سبعة ﺱ زائد ستة الكل تربيع. كل ما علينا فعله الآن هو توزيع الأقواس في البسط وتبسيط الناتج. لنحصل على ٧٠ﺱ تربيع زائد ٦٠ﺱ ناقص ٣٥ﺱ تربيع زائد سبعة الكل على سبعة ﺱ زائد ستة الكل تربيع. وبتجميع الحدود المتشابهة في البسط، يصبح لدينا: ٣٥ﺱ تربيع زائد ٦٠ﺱ زائد سبعة الكل على سبعة ﺱ زائد ستة الكل تربيع.

إذن بتطبيق قاعدة القسمة، نكون قد اشتققنا الدالة ﺩﺱ. لاحظ أنه من الممكن أيضًا الإجابة عن هذا السؤال باستخدام قاعدة الضرب. ويمكننا استخدام هذه القاعدة إذا فكرنا في الدالة ﺩﺱ على أنها خمسة ﺱ تربيع ناقص واحد مضروبًا في سبعة ﺱ زائد ستة أس سالب واحد. وإذا كنت مهتمًّا، يمكنك الإجابة عن السؤال باستخدام قاعدة الضرب والتأكد من أنها تعطي النتيجة نفسها.