تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: مساحة الدائرة والقطاع الدائري

محمد فوزي

يوضح الفيديو قانون مساحة الدائرة، واستنتاجه، وما القطاع الدائري، وكيفية حساب مساحته، وأمثلةً عليها.

١٢:٢٧

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده، هنتكلّم عن حاجتين؛ أول حاجة هنتكلّم عن مساحة الدايرة، وإزّاي نقدر نستنتج قانون مساحة الدايرة. بعد كده هنتكلّم عن حاجة اسمها القطاع الدائري، ونشوف بيمثّل إيه للدايرة. وبعد كده هنوجد مساحته.

أول حاجة قلنا هنتكلّم فيها، هي مساحة الدايرة. لو عندنا دايرة، زيّ اللي إحنا شايفينها دي، بنلاقي إن مركزها عبارة عن م، ونصف قطرها عبارة عن نق. لو جينا نشوف محيط الدايرة دي عبارة عن اتنين 𝜋 في نصف القطر. إزّاي نقدر نحسب مساحة الدايرة من خلال المعلومات المتاحة قدامنا دلوقتي؟ أول حاجة هنعملها إن إحنا هنبدأ نقسّم الدايرة. خلّينا نشوف مع بعض إزّاي. قسّمنا الدايرة، زيّ ما إحنا شايفين كده، لحاجة بنسمّيها قطاعات. ودي هنتكلّم عنها بعد شوية.

عندنا عدد من القطاعات هنا، أو التمن أجزاء اللي إحنا جزَّأنا ليهم الدايرة. عبارة عن واحد، اتنين، تلاتة، أربعة، خمسة، ستة، سبعة، تمنية. يبقى إحنا قدرنا نقسّم الدايرة إلى تمن أجزاء. طب خلّينا نتخيّل مع بعض كده إن إحنا قَصِّينا الأجزاء دي من الدايرة، ورجِعنا لزقناهم تاني، بس بطريقة معيَّنة. خلّينا نشوف الطريقة المعيَّنة اللي إحنا هنلزق بيهم أجزاء الدايرة دي هتكون شكلها عاملة إزّاي. هو ده الشكل اللي لزقنا بيه أجزاء الدايرة، بعد ما قسّمنا الدايرة إلى تمن أجزاء. فبالتالي عندنا، زيّ ما إحنا شايفين، نفس عدد الأجزاء؛ واحد، اتنين، تلاتة، أربعة، خمسة، ستة، سبعة، تمنية. تمن أجزاء.

بنلاحظ عندنا إن البعد بين النقطة دي، اللي إحنا شايفينها، وبين النقطة دي، زيّ ما إحنا شايفين كده، عبارة عن نصف قطر الدايرة. يبقى الطول ده إحنا عارفين إن هو عبارة عن نصف قطر الدايرة. خلّينا نقول برضو: طول القوس ده، وطول القوس ده، وطول القوس ده، وطول القوس ده، اللي هو واحد، واتنين، وتلاتة، وأربعة. يبقى زيّ ما إحنا شايفين، الطول ده، زائد الطول ده، زائد الطول ده، زائد الطول ده. الأربع أطوال اللي إحنا شايفينهم دول بيكوّنوا نصّ محيط الدايرة، زيّ ما إحنا شايفين. يبقى مجموع الأربع أقواس دول بيمثِّلوا لنا نصّ محيط الدايرة.

خلّينا نتخيّل مع بعض إن إحنا قسّمنا الدايرة إلى عدد أكبر من الأجزاء، مش تمنية، لأ، ستاشر، أو اتنين وتلاتين، أو أكتر. فبنلاحظ عندنا إن في الآخر طول القوس الواحد هيبقى قطعة صغيّرة. هيبقى حاجة عاملة كده، زيّ ما إحنا شايفين كده، تبقى حاجة صغيّرة خالص. حاجة صغيّرة، جنب حاجة صغيّرة، جنب حاجة صغيّرة. وطبعًا لو كتّرنا الأجزاء أكتر وأكتر، ففي الآخر هتبقى عبارة عن شبه الخطّ المستقيم. يبقى كلهم مع بعض هيبقوا شبه الخطّ المستقيم. وبالتالي هنلاقي إن مجموع كل الأقواس اللي فوق دي، مجموع أطوالها يعني، بيمثّل لنا نصّ محيط الدايرة. وفي الآخر، الشكل هيبقى عبارة عن متوازي أضلاع.

يبقى لو قسّمنا الدايرة إلى عدد كبير من الأجزاء، فبالتالي … ولزقناهم يعني بالشكل ده. فبالتالي هنلاقي في الآخر إن الشكل هيبقى عبارة عن متوازي أضلاع. وساعتها بنلاقي إن مساحة المتوازي ده هي هي مساحة الدايرة. خلّينا نكتب كده. بنلاقي عندنا إن مساحة الدايرة، زيّ ما قلنا، هي مساحة المتوازي الأضلاع، اللي قدامنا في الشكل اللي إحنا شايفينه ده. وطبعًا مساحة متوازي الأضلاع عبارة عن الطول في العرض. طول المتوازي اللي قدامنا، زيّ ما إحنا شايفين، عبارة عن نق. طب وعرض المتوازي عبارة عن نصّ محيط الدايرة، اللي هو 𝜋 في نق. وبالتالي بنلاقي إن مساحة الدايرة تساوي الطول، اللي هو نق، في عرض المتوازي، اللي هو 𝜋 في نق. بالتالي تصبح 𝜋 نق تربيع. وبكده يبقى إحنا قدرنا نستنتج قانون مساحة الدايرة، يساوي 𝜋 نق تربيع.

خلّينا ناخذ مثال على مساحة الدايرة، وإزّاي نقدر نحسبها. نفتح مع بعض صفحة جديدة. المثال بيقول: اوجد مساحة حمَّام السباحة الدائري المبيَّن بالشكل مقرّبًا لأقرب متر.

عندنا حمَّام سباحة على شكل دايرة. من الواضح كده إن القطر عبارة عن عشرين متر. مطلوب مننا نوجد مساحة حمَّام السباحة الدائري ده. أول حاجة خلّينا نكتب قانون مساحة الدائرة عبارة عن إيه. مساحة الدايرة عندنا عبارة عن 𝜋 نق تربيع. يبقى إحنا لو عاوزين نحسب مساحة حمَّام السباحة الدائري ده، لازم نحسب مساحة الدايرة اللي بيمثّلها حمَّام السباحة. عاوزين نوجد نصف القطر، فإحنا عندنا القطر عبارة عن عشرين متر. وبالتالي بنلاقي عندنا إن نصف القطر عبارة عن عشرين على الاتنين. وبالتالي يكون عشرة متر. خلّينا نكتب ده: إذن نصف القطر عندنا عبارة عن عشرين على الاتنين. يعني القطر على الاتنين يساوي عشرة متر.

نروح نعوّض في قانون مساحة الدايرة بقى. إذن عندنا مساحة الدايرة بنلاقيها عبارة عن 𝜋 في عشرة تربيع، اللي هي نصف القطر تربيع. تقريبًا الناتج عبارة عن تلتمية وأربعتاشر متر مربع؛ لأن قال لنا: قرّب لأقرب متر. فالناتج لازم يكون عدد صحيح من غير كسور. إذن مساحة حمَّام السباحة عبارة عن تلتمية وأربعتاشر متر مربع.

تاني حاجة هنتكلّم عنها في الفيديو هو القطاع الدائري. خلّينا نعرّف يعني قطاع دائري الأول. وبعد كده نشوف شكله على الرسمة. هو جزء من سطح الدايرة، يتحدَّد بقوس ونصفَي القطرين المارّين بنهايتَي القوس، وبينهما زاوية تسمَّى الزاوية المركزية. خلّينا نشوف التعريف عَ الرسم؛ عشان يكون أوضح. عندنا نقطتين، زيّ ما إحنا شايفين كده على الرسم؛ نقطة أ، ونقطة ب. م عندنا عبارة عن مركز الدايرة. المسافة عندنا من المركز لحدّ نقطة أ عبارة عن نق، اللي هو نصف القطر. ونفس الحكاية برضو من م لـ ب؛ عبارة عن نصف القطر. يبقى م أ وَ م ب عبارة عن أنصاف أقطار. بنلاقي أنصاف الأقطار دول بيحصروا بينهما زاوية اسمها هـ، بنسمّيها الزاوية المركزية للقطاع الدائري اللي إحنا هنقول عليه دلوقتي.

يبقى لو عندنا نصفَيْ قطرين م أ وَ م ب، وفيه بينهم زاوية، بنسمّيها الزاوية المركزية. قصاد الزاوية دي بنلاقي فيه قوس، اللي هو من أ لـ ب. ده عبارة عن قوس. بنقول ساعتها: إن الجزء المحصور بين القوس وبين نصفَي القطرين دول بنسمّيه قطاع دائري. يبقى كل اللي بالأخضر المظلَّل ده بنسمّيه قطاع دائري. وهو ده تعريف القطاع الدائري. يبقى باختصار ممكن نقول: إن القطاع الدائري ده جزء من الدايرة، وبيشغل زاوية معيَّنة من الدايرة، بنسمّيها الزاوية المركزية.

لو جينا نشوف قانون عايزين نستنتجه لمساحة القطاع الدائري، اللي هو بيمثّل جزء من سطح الدايرة. فبنقول: مساحة القطاع الدائري على مساحة الدايرة مقسوم عليه. يساوي الزاوية المركزية للقطاع الدائري ده على زاوية الدايرة، اللي هي تلتمية وستين درجة. يبقى إحنا لو قدرنا نعرف مساحة الدايرة والزاوية المركزية، نقدر نجيب مساحة القطاع الدائري بسهولة. لو جينا هنا ضربنا الطرفين؛ الطرف اليمين، والطرف الشمال، في مساحة الدايرة، يعني ضربنا مساحة الدايرة في الطرف الآخر. بنلاقي إن مساحة القطاع الدائري عبارة عن زاويته المركزية على تلتمية وستين؛ مقسومة على تلتمية وستين، في مساحة الدايرة. وبكده يبقى إحنا قدرنا نحدّد مساحة القطاع الدائري باستخدام مساحة الدايرة وزاويته المركزية.

خلّينا نشوف مثال؛ عشان نقدر نوضّح تطبيق القانون هيكون إزّاي. المثال بيقول: تمّ تقسيم بيتزا دائرية الشكل قطرها أربعين سنتيمتر إلى تمن قطع متساوية. فما هي مساحة القطعة الواحدة مقرّبًا لأقرب مائة.

زيّ ما إحنا شايفين في الشكل كده، عندنا بيتزا دائرية، تمّ تقسيمها إلى تمن أجزاء، زيّ ما إحنا شايفين. واحد، اتنين، تلاتة، أربعة، خمسة، ستة، سبعة، تمنية. فالمطلوب في المثال: عاوزين مساحة القطعة الواحدة؛ يعني قطعة رقم واحد، أو اتنين، أو تلاتة، أو أيّ قطعة منهم. عاوزين مساحتها بكام.

فخلّينا نقول كده: أول حاجة بما إن القطر عندنا عبارة عن أربعين سنتيمتر، فبنقول: إن نصف القطر يساوي أربعين على الاتنين، يساوي عشرين سنتيمتر. وبما إن عندنا القطعة اللي إحنا شايفينها دي من البيتزا عبارة عن قطاع دائري، فبنقول: مساحة القطاع الدائري تساوي إيه؟ فبنكتب القانون كده: مساحة القطاع الدائري عبارة عن زاويته المركزية على تلتمية وستين في، مساحة الدائرة. يبقى إحنا محتاجين الزاوية المركزية بتاعة القطاع، اللي هو عبارة عن قطعة من البيتزا في مساحة الدائرة.

فبنقول: بما أن زاوية الدايرة، زيّ ما إحنا شايفين كده، عبارة عن تلتمية وستين درجة. فبنكتب: يبقى زاوية الدايرة تلتمية وستين درجة. وبما إن تمّ تقسيم البيتزا، اللي إحنا شُفناها دي عبارة عن شكل دايرة، تمّ تقسيمها إلى تمن قطاعات، والقطاعات أو القطع دي متساوية. فبنلاقي إن كل قطاع يحصر زاوية مركزية متساوية مع القطاعات الأخرى. يبقى عندنا الزاوية دي تساوي الزاوية دي، تساوي الزاوية دي، تساوي الزاوية دي. كل الزوايا المركزية بتاعة كل القطاعات متساوية.

فبنقول: خلاص، يبقى الزاوية المركزية لقطع واحد، اللي هي زاويته المركزية اللي عاوزين نعوّض بيها في القانون ده. عبارة عن تلتمية وستين على عدد الأجزاء اللي تمّ تقسيم الدايرة ليها. فبنلاقي عندنا إن الزاوية المركزية للقطع الواحد تلتمية وستين على عدد القطاعات اللي موجودة، اللي هي تمنية. تطلع إن الزاوية المركزية للقطع الواحد خمسة وأربعين درجة.

إذن، دلوقتي إحنا ممكن نعوّض في قانون مساحة القطع الدائري؛ عشان نوجد مساحة القطع الدائري اللي قدامنا. فبنكتب. بنلاقي عندنا لمّا نيجي نعوّض مساحة القطعة الواحدة، الزاوية المركزية للقطع الواحد، القطع الدائري، عبارة عن خمسة وأربعين، جايبينها من فوق، على تلتمية وستين في … مساحة الدايرة عبارة عن 𝜋 نق تربيع. فبنلاقي عندنا إن نصف القطر جِبناه عبارة عن عشرين سنتيمتر. بالتالي هو قايل: قرّب لأقرب مائة. فعندنا النتيجة هتكون عبارة عن مية سبعة وخمسين وسبعة من مية سنتيمتر مربع.

يبقى إحنا في الفيديو ده، اتكلّمنا أول حاجة عن مساحة الدايرة؛ عبارة عن 𝜋 نق تربيع؛ نصف القطر تربيع. بعد كده اتكلّمنا عن القطاع الدائري. وقلنا: القطاع الدائري عبارة عن جزء من سطح الدايرة. بنلاقي عندنا هو عبارة عن نصفَيْ قطرين بيقطعوا الدايرة في نقطتين؛ النقطتين دول البعد بينهم هو طول القوس. بنلاقي عندنا إن القوس ده مع نصفَي القطرين يمثّلوا القطاع الدائري بتاعنا. والزاوية المحصورة بين نصفَي القطرين دول بنسمّيها الزاوية المركزية للقطاع الدائري. وعرفنا قانون مساحة هذا القطاع الدائري، وحلّينا مثال عليها.