فيديو: الاحتمال التجريبي

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نفسر مجموعة بيانات بإيجاد الاحتمال التجريبي وحساب قيمته.

١٣:٠٣

‏نسخة الفيديو النصية

الاحتمال التجريبي

في هذا الفيديو، سوف نعرف ما هو الاحتمال التجريبي ونحاول استخدام مجموعات البيانات لحساب قيمته.

دعونا نبدأ بتذكير أنفسنا بأن الاحتمال هو احتمالية أو فرصة وقوع حدث ما. على سبيل المثال، يمكننا أن نقول إن احتمال هطول الأمطار غدًا هو ‪0.1‬‏، واحتمال توقف المؤشر عند العدد خمسة على هذا القرص الدوار هو ربع. وقيم الاحتمال تكون دائمًا بين صفر وواحد، ويمكن كتابتها على صورة كسر، أو عدد عشري، أو نسبة مئوية. في هذا الفيديو، سوف نتحدث عن الاحتمال التجريبي لوقوع حدث ما. ويطلق على ذلك عادة التكرار النسبي. ونحن هنا نضع تقديرات لاحتمالية وقوع حدث ما بناء على نتائج عدد من التجارب.

هيا نتخيل أننا نريد إيجاد الاحتمال التجريبي عند إلقاء عملة معدنية، حيث نحصل على صورة أو كتابة. ويمكننا إعداد جدول لتسجيل النتائج. على سبيل المثال، إذا ألقينا العملة ست مرات وحصلنا على صورة أربع مرات وكتابة مرتين، فيمكننا تسجيل النتائج كما يلي. والتكرار هنا هو إجمالي التكرارات في كل فئة. والقيمة ستة تعطينا إجمالي عدد المحاولات. وبمواصلة التجربة، ربما نجد أننا نحصل على صورة ثماني مرات وكتابة ‪12‬‏ مرة، بإجمالي ‪20‬‏ محاولة.

وفي تجربة أطول تشمل ‪1000‬‏ محاولة، يمكننا تسجيل النتائج التالية. إذا أردنا إيجاد احتمال الحصول على كتابة عند إلقاء هذه العملة المعدنية، فيمكننا الإشارة إلى ذلك بالحرف ‪𝑃‬‏ ثم وضع كلمة كتابة بين قوسين. وحيث إننا نجد أن ظهور الكتابة تكرر ‪518‬‏ مرة، نكتب ذلك على صورة الكسر ‪518‬‏ على ‪1000‬‏، حيث إن إجمالي التكرار هو ‪1000‬‏. يمكن تبسيط هذا الكسر أو كتابته على صورة عدد عشري، إذا طلب منا ذلك.

يمكننا الآن أن نرى الطريقة العامة لإيجاد الاحتمال التجريبي لحدث معين، وهو التكرار النسبي أو الاحتمال التجريبي للحدث ‪𝐸‬‏، حيث إن الاحتمال التجريبي للحدث ‪𝐸‬‏ يساوي عدد مرات حدوث الحدث ‪𝐸‬‏ مقسومًا على إجمالي عدد المحاولات. وقبل أن نتناول بعض الأسئلة، دعونا نفكر في السبب الذي يدعونا لاستخدام الاحتمال التجريبي. على كل حال، إذا نظرنا إلى عملة معدنية وأردنا حساب احتمال ظهور الكتابة، عندئذ يمكننا استخدام حقيقة أن ظهور الكتابة هو نتيجة واحدة فقط من بين نتيجتين ممكنتين. وعليه، فإن احتمال ظهور الكتابة يساوي نصفًا بالتأكيد، وهو في الحقيقة الاحتمال النظري للحصول على الكتابة عند إلقاء عملة معدنية مرة واحدة.

وللإجابة عن السؤال المتعلق بسبب استخدام الاحتمال التجريبي، فقد يتمثل أحد السيناريوهات في أننا لا يمكننا حساب الاحتمال النظري إذا كان لدينا على سبيل المثال عملة منحازة أو حجر نرد غير منتظم. يستخدم الاحتمال التجريبي على نطاق واسع في البحث العلمي والاقتصاد والطب والعلوم الاجتماعية. وفي هذه المجالات، تجرى الاستطلاعات أو التجارب لحساب احتمال حدوث نواتج معينة. في الاحتمال التجريبي، يجب أن نتأكد من أن حجم العينة كبير بالقدر الكافي للحصول على نتائج أكثر دقة.

والآن، هيا نتناول بعض الأسئلة على الاحتمال التجريبي.

يوضح الجدول الآتي نتائج استطلاع رأي أجري لمعرفة وجبة الإفطار المفضلة لدى ‪20‬‏ طالبًا. إذا اختير طالب عشوائيًا، فما احتمال أن يكون ممن يفضلون البيض؟

في هذا السؤال، لحساب الاحتمال، سنحسب الاحتمال التجريبي، وهو ما يشار إليه أيضًا باسم التكرار النسبي. يمكننا استخدام القانون الذي ينص على أن التكرار النسبي لحدث ما ‪𝐸‬‏ يساوي عدد مرات وقوع الحدث ‪𝐸‬‏ مقسومًا على إجمالي عدد المحاولات. من ثم، في هذا السؤال، إيجاد احتمال تفضيل أحد الطلاب البيض يكافئ إيجاد التكرار النسبي للطلاب الذين يفضلون البيض، وهو يساوي عدد الطلاب الذين يفضلون البيض مقسومًا على إجمالي عدد الطلاب.

بعد ذلك نستخدم الجدول لنجد أن هناك ‪10‬‏ طلاب يفضلون البيض وإجماليًا ‪20‬‏ طالبًا. حتى وإن لم نكن نعرف أن الاستطلاع شمل ‪20‬‏ طالبًا، فقد كنا سنحسب ذلك بجمع القيم ‪10‬‏ واثنين وثمانية في الجدول. بعد ذلك يمكننا تبسيط هذا الكسر ‪10‬‏ على ‪20‬‏ ليصبح نصفًا. إذن، الإجابة النهائية على صورة عدد عشري لاحتمال أن يكون البيض هو الاختيار المفضل لطالب اختير عشوائيًا هي ‪0.5‬‏. في هذه الحالة، الكسران ‪10‬‏ على ‪20‬‏، ونصف، والعدد العشري ‪0.5‬‏، جميعها إجابات صحيحة للاحتمال.

لعبة في مهرجان ما تقوم على التحدي بين الأشخاص في رمي كرة البيسبول عبر إطار دائري. من بين أول ‪68‬‏ مشاركًا، فاز ثلاثة أشخاص بالجائزة الذهبية، وفاز ‪12‬‏ بالجائزة الفضية وفاز ‪15‬‏ بالجائزة البرونزية. ما الاحتمال التجريبي لعدم الفوز بأي جائزة من الثلاث؟

دعونا نبدأ باستخراج المعلومات الرئيسية. فاز ثلاثة أشخاص بالجائزة الذهبية، وفاز ‪12‬‏ شخصًا بالجائزة الفضية، وفاز ‪15‬‏ شخصًا بالجائزة البرونزية. لكننا نعلم أن ‪68‬‏ شخصًا شاركوا في المباراة. وإذا جمعنا ثلاثة و‪12‬‏و‪15‬‏، وهي أعداد الأشخاص الذين فازوا بجوائز، فسنحصل على ‪30‬‏، ما يعني أنه لا بد وأن هناك ‪38‬‏ شخصًا لم يفوزوا بأي جوائز، حيث ‪68‬‏ ناقص ‪30‬‏ يعطينا ‪38‬‏.

إلا أن السؤال لا يسأل ببساطة عن عدد الأشخاص الذين لم يفوزوا بأي جوائز، ولكنه بدلًا من ذلك يسأل عن الاحتمال التجريبي. نتذكر هنا طريقة حساب التكرار النسبي لحدث ما ‪𝐸‬‏. إنه يساوي عدد مرات وقوع الحدث ‪𝐸‬‏ مقسومًا على إجمالي عدد المحاولات. يمكننا الإجابة عن هذا السؤال بطريقتين مختلفتين، إلا أن كلًا منهما تستخدم الصيغة نفسها.

في الطريقة الأولى، يمكننا كتابة أن احتمال عدم الفوز بأي جائزة يساوي عدد غير الفائزين بجوائز مقسومًا على عدد المشاركين. وبالتالي، بما أن لدينا ‪38‬‏ شخصًا لم يفوزوا بأي جوائز مقسومًا على إجمالي ‪68‬‏ شخصًا، نحصل على الكسر ‪38‬‏ على ‪68‬‏. بعد ذلك يمكننا تبسيط هذا الكسر ليعطينا ‪19‬‏ على ‪34‬‏. هيا بنا نكتب هذه القيمة هنا بحيث عندما نمسح الشاشة ونجرب الطريقة الثانية، يمكننا التحقق من أن كلتيهما تعطينا النتيجة نفسها.

في الطريقة الثانية، سوف نستخدم قاعدة الاحتمال الكلي، وتنص على أن مجموع احتمالات جميع النتائج الممكنة يساوي واحدًا. في الطريقة الأولى، حسبنا احتمال عدم الفوز بأي جوائز. أما في الطريقة الثانية، فسنحسب احتمال الفوز بجائزة ونطرحه من العدد واحد. إذن، في الطريقة الثانية، سنحسب احتمال الفوز بجائزة، ويساوي عدد الحاصلين على جوائز مقسومًا على عدد المشاركين.

بجمع أعداد جميع الفائزين بجوائز نحصل على ‪30‬‏. وبما أنه لا يزال لدينا ‪68‬‏ شخصًا، فإن ذلك يساوي ‪30‬‏ على ‪68‬‏. ويمكننا تبسيط ذلك ليعطينا الكسر ‪15‬‏ على ‪34‬‏. والآن باستخدام قاعدة الاحتمال الكلي، فإن احتمال عدم الفوز بأي جائزة يساوي واحدًا ناقص ‪15‬‏ على ‪34‬‏، وهو ما يساوي ‪19‬‏ على ‪34‬‏، إذ يمكننا كتابة العدد واحد على صورة الكسر ‪34‬‏ على ‪34‬‏. وعلى ذلك، فإن استخدام أي من الطريقتين يعطينا أن الاحتمال التجريبي لعدم الفوز بأي جوائز هو ‪19‬‏ على ‪34‬‏.

في المثال التالي، سنرى كيف يمكننا تطبيق الاحتمال التجريبي لعينة لإيجاد المجتمع الإحصائي الأكبر.

مصنع مشروبات غازية ينتج ‪1400‬‏ زجاجة يوميًا. اختبر المصنع عينة من ‪400‬‏ وحدة، ووجد ست وحدات منها فاسدة. بحساب الاحتمال التجريبي لوجود زجاجة واحدة فاسدة، احسب عدد الزجاجات الفاسدة المتوقع وجودها في اليوم.

لدينا هنا مصنع للمشروبات الغازية ينتج ‪1400‬‏ زجاجة يوميًا. وهم يريدون معرفة عدد الزجاجات الفاسدة ولكنهم لا يفحصون كل زجاجة على حدة. وبدلًا من ذلك، يأخذون عينة حجمها ‪400‬‏ زجاجة لفحصها، ليجدوا أن ستًا من هذه الزجاجات الـ ‪400‬‏ فاسدة. مطلوب منا حساب الاحتمال التجريبي لوجود زجاجة فاسدة.

يمكننا أن نتذكر هنا أن الاحتمال التجريبي لحدث ما ‪𝐸‬‏ يساوي عدد مرات وقوع الحدث ‪𝐸‬‏ مقسومًا على إجمالي عدد المحاولات. في هذا السؤال، لحساب احتمال وجود زجاجة فاسدة، نحسب عدد الزجاجات الفاسدة على إجمالي عدد الزجاجات، وهو ما سيكون ستة على ‪400‬‏، حيث إن لدينا ست زجاجات فاسدة في العينة التي حجمها ‪400‬‏ زجاجة. والآن نأخذ احتمال وجود زجاجة فاسدة في العينة ونطبقه على المجتمع الإحصائي الأكبر وهو الـ ‪1400‬‏ زجاجة التي أنتجها المصنع. وبالتالي، لإيجاد عدد الزجاجات الفاسدة، نضرب الاحتمال ستة على ‪400‬‏ في ‪1400‬‏. يمكننا بعد ذلك تبسيط عملية الضرب هذه إلى ‪42‬‏ على اثنين، ما يعطينا إجابة نهائية وهي أنه يتوقع وجود ‪21‬‏ زجاجة فاسدة كل يوم.

في المثال التالي، سنرى كيف يمكن استخدام مجموعة بيانات في جدول لإيجاد الاحتمال التجريبي. يجب أن ننتبه جيدًا في هذا السؤال عند تحديد القيم المطلوبة.

يعرض الجدول الموسيقى المفضلة لمجموعة من الرجال والنساء. احسب التكرار النسبي لأن يكون الشخص الذي يختار عشوائيًا امرأة تفضل موسيقى الكانتري. وإذا لزم الأمر، فقرب الناتج لأقرب ثلاث منازل عشرية. احسب التكرار النسبي لأن تكون المرأة التي تختار عشوائيًا تفضل موسيقى الروك. وإذا لزم الأمر، فقرب الناتج لأقرب ثلاث منازل عشرية.

لنبدأ بإلقاء نظرة على الجدول. نلاحظ على سبيل المثال أن هناك ‪13‬‏ امرأة يفضلن موسيقى الكانتري، وأن هناك ‪24‬‏ امرأة يفضلن موسيقى الروك. وبالتالي يمكننا استنتاج أن هناك ‪37‬‏ امرأة هناك في هذه المجموعة، فهذا هو ناتج جمع ‪13‬‏ و‪24‬‏. وبالمثل، لحساب إجمالي عدد الرجال في هذه المجموعة، فبما أن هناك ثمانية رجال يفضلون موسيقى الكانتري و‪18‬‏ رجلًا يفضلون موسيقى الروك، إذن لا بد أن هناك ‪26‬‏ رجلًا في هذه المجموعة. كما يمكننا أن نحسب عدد الأشخاص الذين يفضلون موسيقى الكانتري. وبما أن ‪13‬‏ امرأة وثمانية رجال يفضلونها، إذن إجمالي عدد الأشخاص ‪21‬‏. وبالمثل، يمكننا إضافة خلية لعمود موسيقى الروك لتوضيح أن هناك ‪42‬‏ شخصًا يفضلون موسيقى الروك.

يمكننا بعد ذلك إيجاد إجمالي عدد الأشخاص في المجموعة بجمع إجمالي عدد الرجال وإجمالي عدد النساء أو بجمع إجمالي عدد من يفضلون موسيقى الكانتري ومن يفضلون موسيقى الروك. وبذلك، يمكننا أن نلاحظ أن كلتا عمليتي الجمع تعطينا ‪63‬‏ شخصًا في المجموعة. هيا إذن نلق نظرة على السؤال الأول لحساب التكرار النسبي.

نتذكر هنا طريقة إيجاد التكرار النسبي لحدث ما ‪𝐸‬‏، فهو يساوي عدد مرات وقوع الحدث ‪𝐸‬‏ مقسومًا على إجمالي عدد المحاولات. إذن لإيجاد التكرار النسبي للنساء اللاتي يفضلن موسيقى الكانتري، نكتب عدد النساء اللاتي يفضلن موسيقى الكانتري على إجمالي عدد الأشخاص. إذن، التكرار النسبي يساوي ‪13‬‏ على ‪63‬‏. وحيث إنه مطلوب منا تقريب الناتج لأقرب ثلاث منازل عشرية، نحول هذا الكسر إلى عدد عشري. وباستخدام الآلة الحاسبة، نجد أن ذلك يساوي ‪0.206349‬‏ دائري. والتقريب إلى ثلاث منازل عشرية يعني أن نتحقق من الرقم الذي في المنزلة العشرية الرابعة لنرى إذا ما كان خمسة أم أكثر. وبما أنه ليس كذلك، فإن الإجابة تظل ‪0.206‬‏. وهذه هي الإجابة عن الجزء الأول من السؤال.

يمكننا إفراغ بعض المساحة للإجابة عن السؤال الثاني. مطلوب منا هنا إيجاد التكرار النسبي لأن تكون المرأة التي تختار عشوائيًا تفضل موسيقى الروك. إذن لإيجاد هذا التكرار النسبي، علينا معرفة عدد النساء اللاتي يفضلن موسيقى الروك أو النساء المشجعات للروك. وفي هذه المرة، نقسم هذا العدد على إجمالي عدد النساء، وليس على إجمالي عدد الأشخاص، لأن السؤال يقول إننا نختار من مجموعة النساء وليس من مجموعة الأشخاص. وعليه، فإن التكرار النسبي على صورة كسر هو ‪24‬‏ على ‪37‬‏. وهذا يساوي ‪0.648‬‏ دائري، على صورة عدد عشري. وحيث إننا نريد تقريبه إلى ثلاث منازل عشرية، يمكننا اعتبار أنه يساوي ‪0.648648‬‏ وهكذا مع توالي الأرقام. فهذا يسهل قليلًا التحقق من الرقم الذي في المنزلة العشرية الرابعة. وحيث إن هذا الرقم أكبر من خمسة، فسنقرب العدد لأعلى ليصبح ‪0.649‬‏. وبذلك نكون قد أجبنا عن الجزء الثاني من السؤال.

والآن دعونا نلخص ما تعلمناه في هذا الفيديو. الاحتمال التجريبي لحدث ما ‪𝐸‬‏ هو تقدير لاحتمالية وقوع الحدث، احتمال ‪𝐸‬‏، حسب البيانات المأخوذة من عدد من المحاولات أو التجارب. الاحتمال التجريبي أو التكرار النسبي يحسب كالتالي: التكرار النسبي لحدث ما ‪𝐸‬‏ يساوي عدد مرات وقوع الحدث ‪𝐸‬‏ على إجمالي عدد المحاولات. لاحظنا في أحد الأمثلة أنه قد يكون من المفيد استخدام قاعدة الاحتمال الكلي، وتنص على أن مجموع احتمالات جميع النتائج الممكنة يساوي واحدًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.