فيديو: المتسلسلة الهندسية غير المنتهية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد إذا ما كانت المتسلسلة الهندسية متقاربة، وكيف نوجد قيمة نهايتها.

١٦:٤٥

‏نسخة الفيديو النصية

المتسلسلة الهندسية غير المنتهية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد إذا ما كانت المتسلسلة الهندسية متقاربة وكيف نوجد قيمتها، إذا كانت كذلك. تعد المتسلسلة الهندسية مثالًا مهمًا على المتسلسلة غير المنتهية. قد تصادف هذا النوع من المتسلسلات عند التعامل مع العمليات الفيزيائية، مثل ارتفاع كرة متواثبة، أو في موضوعات أخرى في مجال الرياضيات، مثل الهندسة الكسرية. يمكن كتابة المتسلسلة الهندسية على الصورة الآتية باستخدام رمز المجموع. سنقرأ هذه العبارة الرياضية على هذا النحو: المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ما لا نهاية لـ ‪𝑎‬‏ في ‪𝑟‬‏ أس ‪𝑛‬‏ ناقص واحد. وقد يعبر عنها أيضًا كالتالي: المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ما لا نهاية لـ ‪𝑎‬‏ في ‪𝑟‬‏ أس ‪𝑛‬‏.

عليك أن تعلم أن هذه مجرد صورة مكافئة، ولكن مع حدوث إزاحة لقيم الدليل. وبالنسبة لهذا الفيديو، التعريف الذي سنختاره للتعامل معه هو المجموع الذي يبدأ من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا. ومن ثم، الصورة العامة للمتسلسلة الهندسية ستكون مجموع الحدود الآتية. تذكر أنه بما أن هذه متسلسلة غير منتهية، فسيكون لدينا عدد لا نهائي من الحدود. وستلاحظ أنه يمكننا تمييز هذه المتسلسلة الهندسية باستخدام أمرين. الحد الأول لدينا هو ‪𝑎‬‏، والنسبة المشتركة لدينا هي ‪𝑟‬‏. بالنظر إلى المتسلسلة، نلاحظ أن كل حد تال يمكن الحصول عليه بضرب الحد الذي يسبقه في النسبة المشتركة. هذه هي الخاصية التي تتصف بها جميع المتسلسلات الهندسية. والجدير بالملاحظة أيضًا أنه كنتيجة مباشرة لهذه الخاصية، يمكننا إيجاد النسبة المشتركة من خلال قسمة أي حد على الحد الذي يسبقه. فلننظر الآن إلى مثال على متسلسلة هندسية ليعطينا سياقًا نفهمها من خلاله.

تخيل أن لدينا متسلسلة هندسية حدها الأول ‪𝑎‬‏ يساوي ثلاثة ونسبتها المشتركة ‪𝑟‬‏ تساوي نصفًا. الحدود في هذه المتسلسلة ستبدأ بالطبع بالحد الأول، وهو ثلاثة. وسنضربها في النسبة المشتركة، وهي نصف، للحصول على كل حد تال. وبالطبع، هذا النمط سيستمر لعدد لا نهائي من الحدود. وباستخدام رمز المجموع، يمكننا التعبير عن هذه المتسلسلة بالطريقة الآتية: المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ما لا نهاية لثلاثة في نصف أس ‪𝑛‬‏ ناقص واحد. حسنًا، بصفة عامة، عند التعامل مع أي متسلسلة، نريد أن نتمكن من تحديد قيمة المتسلسلة. إذا كانت المتسلسلة متباعدة، فبالطبع لا نستطيع تحديد قيمة محددة لها. أما إذا كانت المتسلسلة متقاربة، فيمكننا ذلك. ولكن عمليًا، يكون تحديد هذه القيمة صعبًا للغاية أحيانًا. ومع ذلك، بالنسبة للمتسلسلة الهندسية، لدينا صيغة مفيدة يمكن استخدامها. لننتقل الآن إلى إيجاد قيمة ذلك.

نريد أولًا أن نستبعد حالتين. فلنفترض الحالة التي فيها الحد الأول ‪𝑎‬‏ يساوي صفرًا والنسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ تأخذ أي قيمة. بما أن الحد الأول يساوي صفرًا ونضرب هذا الحد في النسبة المشتركة للحصول على الحدود التالية؛ فهذا سيعني أن جميع الحدود ستساوي صفرًا. وبالطبع، لا جدوى من تكوين مجموع من الأصفار. ولذا، من الآن فصاعدًا، سنفترض أننا سنتجاهل الحالة البديهية لـ ‪𝑎‬‏ يساوي صفرًا لجميع قيم ‪𝑟‬‏ التي نستخدمها. ماذا عن الحالة التي تساوي فيها النسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ واحدًا. هنا، ‪𝑎‬‏ لا يساوي صفرًا ولكن يتخذ أي قيمة محدودة. حسنًا، فالحد الأول، كما يتضح لنا، هو ‪𝑎‬‏ واحد. وبما أن كل حد تال نحصل عليه بضرب الحد السابق في واحد، فكل الحدود ستكون مماثلة للحد الأول.

لمتابعة الشرح، دعونا الآن نسترجع مفهوم المجموع الجزئي. إذا كان المجموع الجزئي، ‪𝑆𝑛‬‏، معرف بالمجموع لأول عدد ‪𝑛‬‏ من حدود متسلسلة ما، إذن، المجموع الجزئي للمتسلسلة الهندسية التي لها النسبة المشتركة واحد سيساوي ‪𝑛‬‏ في ‪𝑎‬‏ واحد. وبما إن كل الحدود لدينا متساوية، فسنضرب ببساطة الحد الأول ‪𝑎‬‏ واحد في عدد الحدود التي نجمعها. يمكننا الآن استخدام هذه النتيجة بالاقتران مع طريقة شائعة لإيجاد قيمة متسلسلة غير منتهية. وهي حساب قيمة النهاية عندما يقترب ‪𝑛‬‏ من ما لا نهاية للمجموع الجزئي. والآن، قد يكون من السهل إلى حد ما إقناع أنفسنا أنه عندما يقترب ‪𝑛‬‏ من ما لا نهاية، ستقترب أيضًا النهاية من موجب أو سالب ما لا نهاية، بناء على إشارة ‪𝑎‬‏ واحد. وبالطبع، هذه طريقة خاصة للتعبير عن عدم وجود النهاية.

قد أثبتنا هنا بإيجاز إلى حد ما أنه إذا كانت النسبة المشتركة لمتسلسلة هندسية تساوي واحدًا، فلا يمكننا إيجاد قيمتها. ومن ثم، تكون المتسلسلة متباعدة. الآن يمكننا الاستفادة من هذا الاستنتاج على نحو أوسع لحد ما وبشيء من المنطق. ماذا إذا كانت النسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ أكبر من واحد؟ هذا سيعني أن كل حد تال ستزداد قيمته أكثر فأكثر. ومرة أخرى، سيصبح من السهل نوعًا ما إقناع أنفسنا أنه إذا حدث ذلك، ستكون هذه المتسلسلة متباعدة. إذن، المتسلسلة الهندسية التي نسبتها المشتركة ‪𝑟‬‏ أكبر من واحد تكون متباعدة أيضًا. ولا يمكننا تحديد قيمة لها. حسنًا، هذا كاف بالنسبة للمتسلسلات التي لا نستطيع تحديد قيمة لها. ماذا عن تلك التي يمكننا تحديد قيمتها؟

لأجل ذلك، دعونا ننتقل الآن إلى المجموع الجزئي ‪𝑆𝑛‬‏. يمكننا كتابة حدود المجموع الجزئي بالطريقة المعتادة. بما أن هذا لا يمثل مجموعًا لا منتهيًا، فسوف نحصل على حد أخير، وهو ما يساوي ‪𝑎‬‏ في ‪𝑟‬‏ أس ‪𝑛‬‏ ناقص واحد. الخطوة التالية ستتمثل في ضرب المجموع الجزئي في النسبة المشتركة ‪𝑟‬‏. وستعرف سبب ذلك بعد لحظات. القيام بذلك سيعني أن كل حد من الحدود السابقة سيضرب في ‪𝑟‬‏. لدينا مجموعة من الحدود المتطابقة تقريبًا، ولكن يمكننا تخيل أن كلًا منها قد تمت إزاحته موضعًا واحدًا. ولم يعد لدينا حد في البداية، وهو ‪𝑎‬‏ بمفرده. لكننا حصلنا على حد في النهاية، وهو ‪𝑎‬‏ في ‪𝑟‬‏ أس ‪𝑛‬‏. إذا افترضنا أن السطر الأول هو المعادلة واحد والسطر الثاني هو المعادلة اثنين، فدعونا نر ما سيحدث عند طرح اثنين من واحد، أي ‪𝑆𝑛‬‏ ناقص ‪𝑟‬‏ في ‪𝑆𝑛‬‏.

بما أن جميع الحدود الوسطى متطابقة، فإنها تلغى معًا. سيتبقى لدينا ‪𝑎‬‏ ناقص ‪𝑎‬‏ في ‪𝑟‬‏ أس ‪𝑛‬‏. يمكننا تحليل هذه المعادلة والقسمة على واحد ناقص ‪𝑟‬‏. رائع، لقد حصلنا على نتيجة مفيدة للمجموع الجزئي حتى عدد ‪𝑛‬‏ من الحدود. ولكن ماذا عن مجموع غير منته، كما في المتسلسلة غير المنتهية التي نتناولها؟ لنفرغ مساحة لنتابع. دعونا نستخدم الطريقة نفسها كما فعلنا من قبل بحساب قيمة النهاية عندما يقترب ‪𝑛‬‏ من ما لا نهاية للمجموع الجزئي. حسنًا، قد يعتبر هذا ضربًا من التمهيد، ولكن دعونا نفكر فيما يلي. إذا كانت النسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ أكبر من سالب واحد ولكن أقل من واحد، إذن عندما يقترب ‪𝑛‬‏ من ما لا نهاية، فسيقترب ‪𝑟‬‏ أس ‪𝑛‬‏ من صفر. هذا لأننا نضرب في عدد أقل من واحد في نفسه عدة مرات. ومن ثم، فإن الناتج يقل أكثر فأكثر.

يمكننا التعبير عن ذلك على صورة نهاية؛ حيث قيمة النهاية عندما يقترب ‪𝑛‬‏ من ما لا نهاية لـ ‪𝑟‬‏ أس ‪𝑛‬‏ تساوي صفرًا. تذكر أن هذا يعد صحيحًا فقط في الحالة الخاصة التي تتحقق فيها هذه المتباينة. والأكثر شيوعًا، في واقع الأمر، هو أن تكتب هذه المتباينة على صورة المقدار أو القيمة المطلقة لـ ‪𝑟‬‏ أقل من واحد. حسنًا، فلنعد إلى عملياتنا الحسابية ونطبق ما توصلنا إليه. أول ما يمكننا فعله هو إخراج العامل ‪𝑎‬‏ مقسومًا على واحد ناقص ‪𝑟‬‏ خارج النهاية. بعد ذلك، نحن نعرف أن عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ما لا نهاية، يقترب ‪𝑟‬‏ أس ‪𝑛‬‏ من الصفر، بافتراض أن القيمة المطلقة لـ ‪𝑟‬‏ أقل من واحد. هذا يعني أنه يمكننا إعادة التعبير عن هذه النهاية على صورة واحد ناقص صفر. وبالطبع، واحد ناقص صفر يساوي واحدًا فقط. ما توصلنا إليه للتو هو أنه — في هذه الحالة الخاصة — عندما تكون القيمة المطلقة لـ ‪𝑟‬‏ أقل من واحد، فالنهاية عند اقتراب ‪𝑛‬‏ من ما لا نهاية للمجموع الجزئي تساوي ‪𝑎‬‏ مقسومًا على واحد ناقص ‪𝑟‬‏.

تذكر أننا نستخدم هذه النهاية لإيجاد قيمة المتسلسلة الهندسية. بما أن النهاية موجودة ومحددة، فهذا يعني أن هذه المتسلسلة الهندسية متقاربة. وقيمتها ستساوي أيضًا ‪𝑎‬‏ مقسومًا على واحد ناقص ‪𝑟‬‏. لاحظ أنه إذا افترضنا — بدلًا من ذلك — الحالة التي كانت فيها القيمة المطلقة لـ ‪𝑟‬‏ أكبر من أو تساوي واحدًا، كنا سنجد أن هذه النهاية غير موجودة ومن ثم ستكون المتسلسلة الهندسية متباعدة. حسنًا، لقد توصلنا الآن إلى استنتاجنا.

لنلخص إذن هذه المعلومات لتسهيل العملية. لدينا هنا تمثيل عام لمتسلسلة هندسية حدها الأول ‪𝑎‬‏ ونسبتها المشتركة ‪𝑟‬‏. تكون المتسلسلة متقاربة إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ أقل من واحد. وقيمة المجموع في هذه الحالة تساوي ‪𝑎‬‏ مقسومًا على واحد ناقص ‪𝑟‬‏. أما إذا كانت القيمة المطلقة لـ ‪𝑟‬‏ أكبر من أو تساوي واحدًا، تكون المتسلسلة متباعدة. حسنًا، لقد ذكرنا الكثير من المعلومات هنا، ولكن نأمل أن يكون هذا الجزء الأخير قد لخص المعلومات المهمة. فلننظر الآن في بعض الأمثلة لمعرفة كيف يمكننا تطبيق ما تعلمناه.

هل المتسلسلة ‪884‬‏، زائد ‪884‬‏ مقسومًا على تسعة، زائد ‪884‬‏ مقسومًا على ‪81‬‏، وهكذا، متقاربة أم متباعدة؟

لدينا في هذا السؤال متسلسلة كمعطى. وفي الواقع، ليس لدينا عدد كبير من الحدود. ولكن إذا نظرنا إلى المعطيات، فإنه يبدو أن كل حد تال يمكن إيجاده بضرب الحد السابق في واحد على تسعة. هذه خاصية مميزة للمتسلسلة الهندسية. التمثيل العام للمتسلسلة الهندسية موضح هنا. فهو المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ما لا نهاية لـ ‪𝑎‬‏ في ‪𝑟‬‏ أس ‪𝑛‬‏ ناقص واحد. ويمكن تمييز المتسلسلة الهندسية باحتوائها على الحد الأول ‪𝑎‬‏ والنسبة المشتركة ‪𝑟‬‏. ومرة أخرى، نعرف أن الحدود التالية يمكن إيجادها بضرب الحد السابق في النسبة المشتركة. ويمكننا الاستفادة من هذا المنطق لنقول إن النسبة المشتركة يمكن إيجادها بقسمة أي حد على الحد الذي يسبقه.

إذا حاولنا مطابقة المتسلسلة المعطاة في السؤال بالصورة العامة للمتسلسلة الهندسية، فإننا نلاحظ أن لدينا الحد الأول ‪𝑎‬‏ يساوي ‪884‬‏. ولدينا النسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ تساوي واحدًا على تسعة. إذا أردنا التعبير عن المتسلسلة المعطاة في السؤال باستخدام رمز المجموع، فسنعوض عن ‪𝑎‬‏ بـ ‪884‬‏ وعن ‪𝑟‬‏ بواحد على تسعة من التمثيل العام للمتسلسلة الهندسية. والآن، عند التعامل مع المتسلسلة الهندسية، يمكننا استخدام القاعدة الآتية. إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ أقل من واحد، تكون المتسلسلة متقاربة. وإذا كانت القيمة المطلقة لـ ‪𝑟‬‏ أكبر من أو تساوي واحدًا، تكون هذه المتسلسلة متباعدة. لدينا الآن النسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ تساوي واحدًا على تسعة، ويتضح من ذلك أن القيمة المطلقة لواحد على تسعة أقل من واحد. ونستنتج من ذلك أن المتسلسلة المعطاة في السؤال متقاربة. وهكذا، نكون قد أجبنا عن السؤال واستنتجنا أن المتسلسلة المعطاة متقاربة.

لننتقل الآن إلى مثال آخر.

أوجد النسبة المشتركة لمتتابعة هندسية غير منتهية إذا كان المجموع ‪52‬‏ والحد الأول ‪14‬‏.

في هذا السؤال، المطلوب هو إيجاد النسبة المشتركة لمتتابعة هندسية غير منتهية. ما علينا ملاحظته أولًا هو أن المتتابعات والمتسلسلات مرتبطتان ارتباطًا وثيقًا. ذكر السؤال أن مجموع المتتابعة يساوي ‪52‬‏. وهنا، نتذكر أن مجموع المتتابعة غير المنتهية هو ما يحدد المتسلسلة غير المنتهية. في واقع الأمر، سنحتاج إلى استخدام أدوات المتسلسلة الهندسية غير المنتهية في هذا السؤال. أول ما يمكننا فعله هو استرجاع الصورة العامة للمتسلسلة الهندسية غير المنتهية. هذا النوع من المتسلسلات يمكن تمييزه بوجود الحد الأول ‪𝑎‬‏ والنسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ حيث يمكن إيجاد الحدود التالية لها بضرب الحد السابق في النسبة المشتركة.

ثمة قاعدة عامة يمكننا استخدامها للمتسلسلة الهندسية، وهي أنه إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ أقل من واحد، فإن المتسلسلة تكون متقاربة. إذن في هذه الحالة، قيمة المجموع تساوي الحد الأول ‪𝑎‬‏ مقسومًا على واحد ناقص ‪𝑟‬‏، أي النسبة المشتركة. أما إذا كانت القيمة المطلقة لـ ‪𝑟‬‏ أكبر من أو تساوي واحدًا، فإن المتسلسلة تكون متباعدة. وبالطبع، لا يمكننا تحديد قيمة المجموع لأي متسلسلة متباعدة. بالعودة الآن إلى سؤالنا، أول ما يمكننا ملاحظته هو أن السؤال عين بالفعل قيمة محددة للمجموع. هذا يعني أن المتسلسلة متقاربة؛ ومن ثم يمكننا تجاهل حالة المتسلسلة المتباعدة. وهذا يعني أيضًا أنه يمكن التعبير عن المجموع على صورة ‪𝑎‬‏ مقسومًا على واحد ناقص ‪𝑟‬‏. وبالطبع، هذا المجموع يساوي ‪52‬‏.

المعطى الآخر لدينا في السؤال هو أن الحد الأول يساوي ‪14‬‏. هذا رائع حيث يمكننا استخدام قيمة ‪𝑎‬‏ المعطاة لإيجاد قيمة ‪𝑟‬‏ المجهولة باستخدام المعادلة لدينا. نعوض أولًا عن ‪𝑎‬‏ بـ ‪14‬‏. والآن، نوجد قيمة ‪𝑟‬‏، وهي النسبة المشتركة المطلوب إيجاد قيمتها في السؤال. يمكننا ضرب الطرفين في واحد ناقص ‪𝑟‬‏، وضرب الحدين داخل القوسين في ‪52‬‏. ثم نطرح ‪52‬‏ من كلا طرفي المعادلة. وفي الخطوة الأخيرة، يمكننا قسمة كلا الطرفين على سالب ‪52‬‏. بإجراء ذلك، نوجد قيمة ‪𝑟‬‏، النسبة المشتركة، وهي ‪19‬‏ مقسومًا على ‪26‬‏. وبهذه الخطوة، نكون قد أجبنا عن السؤال. استخدمنا المعطيات الموجودة ومعرفتنا بالمتسلسلات الهندسية وعلاقة هذه المتسلسلات بالمتتابعات الهندسية لإيجاد قيمة النسبة المشتركة التي تساوي ‪19‬‏ على ‪26‬‏.

وكملاحظة سريعة على هامش الدرس، لو كان المطلوب منا في السؤال هو التعبير عن المتسلسلة، لكان من الممكن القيام بذلك باستخدام رمز المجموع، كما هو موضح هنا. فلننتقل الآن إلى مثال يطلب منا فيه إيجاد قيمة متسلسلة.

هل المتسلسلة، المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ما لا نهاية لثلاثة في واحد على ‪10‬‏ أس ‪𝑛‬‏ ناقص واحد، متقاربة أم متباعدة؟ وإذا كانت متقاربة، فأوجد قيمة المتسلسلة.

أول ما يجب معرفته في هذا السؤال هو أنه معطى لدينا متسلسلة هندسية غير منتهية. الصورة العامة لهذا النوع من الأسئلة موضحة هنا باستخدام رمز المجموع كما في هذا السؤال. لاحظ أن هذا النوع من المتسلسلات يتميز بوجود حد أول ‪𝑎‬‏ ونسبة مشتركة ‪𝑟‬‏. وتوجد قاعدة عامة نستخدمها للمتسلسلات الهندسية، وهي أنه إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة أقل من واحد، فإن المتسلسلة تكون متقاربة. وعندئذ، قيمة المجموع تساوي الحد الأول ‪𝑎‬‏ مقسومًا على واحد ناقص النسبة المشتركة ‪𝑟‬‏. أما إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة أكبر من أو تساوي واحدًا، فإن المتسلسلة تكون متباعدة ولا يمكننا تحديد قيمة مجموعها. حسنًا، كل هذا رائع، ولكن دعونا نر كيف ينطبق ذلك على هذا السؤال.

إذا نظرنا إلى هذا السؤال، فإننا نلاحظ أن المتسلسلة المعطاة تتطابق تمامًا مع الصورة العامة للمتسلسلة الهندسية التي من المفترض أنها أصبحت مألوفة لنا. لدينا الحد الأول ‪𝑎‬‏ يساوي ثلاثة. ولدينا النسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ تساوي واحدًا على ‪10‬‏. لاحظ أن الدليل ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا يتطابق في كلا المجموعين، كما تتطابق الأسس ‪𝑛‬‏ ناقص واحد للنسبة المشتركة لدينا. إذا لم تتطابق قيم الدليل، فربما يكون علينا إزاحة الدليل. وإذا لم تتطابق الأسس، فقد نحتاج إلى إجراء تحليل ما. لحسن الحظ، هذه ليست الحالة لدينا، ولذلك سنستمر بشكل آمن بمعرفة أن النسبة المشتركة تساوي واحدًا على ‪10‬‏.

لمتابعة الحل، نجد أن الخطوة الأولى بسيطة نوعًا ما. لاحظنا أن القيمة المطلقة للنسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ أقل من واحد. هذا يجعلنا نستنتج أن هذه المتسلسلة متقاربة. ويخبرنا ذلك أيضًا أنه يمكننا إيجاد قيمة المجموع باستخدام هذه الصيغة. إذا طبقنا هذا على هذه المتسلسلة، فإن قيمة المجموع تساوي ‪𝑎‬‏ مقسومًا على واحد ناقص ‪𝑟‬‏. وبالطبع، بالتعويض عن ‪𝑎‬‏ بثلاثة وعن ‪𝑟‬‏ بواحد على ‪10‬‏، نحصل على ثلاثة مقسومًا على واحد ناقص واحد على ‪10‬‏. ويمكن التعبير عن هذا نفسه بقولنا إن ثلاثة مقسومًا على تسعة على ‪10‬‏، وهو ما يساوي ثلاثة في ‪10‬‏ على تسعة. أو إذا اختزلنا العامل المشترك ثلاثة من بسط ومقام الكسر، يتبقى لدينا ‪10‬‏ على ثلاثة. إذا نظمنا الحل، نجد أننا قد أجبنا الآن عن السؤال. باستخدام ما نعرفه عن المتسلسلات الهندسية غير المنتهية، استنتجنا أن المتسلسلة المعطاة في السؤال هي متسلسلة متقاربة وقيمتها تساوي ‪10‬‏ على ثلاثة.

والآن، قبل أن ننتهي من هذا السؤال، نلاحظ أن له سمة مثيرة للاهتمام وجديرة بالذكر. فلنعد إلى هذه المتسلسلة ونكتب حدودها. بالطبع، الحد الأول لدينا يساوي ثلاثة. يمكننا الحصول على الحد التالي بالضرب في النسبة المشتركة واحد على ‪10‬‏ للحصول على ثلاثة على ‪10‬‏. وبمتابعة هذا النمط، نحصل على ثلاثة على ‪100‬‏ وثلاثة على ‪1000‬‏ وهكذا. الآن، إذا مثلنا هذه الكسور على الصورة العشرية، فربما نبدأ في ملاحظة ظهور نمط ما. بما أننا بدأنا بالعدد ثلاثة ونضرب في واحد على ‪10‬‏ للحصول على كل حد تال، فسنحصل على الرقم ثلاثة في كل منزلة تلي العلامة العشرية. وعندما نقول كل منزلة، فهذا صحيح تمامًا. فبما أننا نتعامل مع متسلسلة غير منتهية، فلن تنفد الحدود أبدًا. ومن ثم، يتكرر الرقم ثلاثة بالفعل بشكل لا نهائي.

في الحقيقة، ما حصلنا عليه هنا هو عدد عشري دوري، وبالتحديد هو العدد ‪3.3‬‏ دوري. والآن، هذا مثير للغاية، حيث إننا مثلنا في الأساس هذه المتسلسلة الهندسية غير المنتهية على صورة عدد عشري دوري. لن نخوض في كثير من التفاصيل في هذا الفيديو، ولكن يكفي أن نقول إنه يمكن أيضًا إجراء العملية العكسية. إذا كان لدينا عدد عشري دوري، فيمكننا تمثيله على صورة متسلسلة هندسية غير منتهية. ولكن لماذا نفعل ذلك؟ حسنًا، لقد أوضحنا توًا أن هذه المتسلسلة متقاربة، وعليه فيمكننا إيجاد قيمتها. والقيمة التي أوجدناها كانت الكسر ‪10‬‏ على ثلاثة. يترتب على ذلك أن هذه المتسلسلة الهندسية غير المنتهية تساوي ‪3.3‬‏ دوري، وهو ما يساوي أيضًا ‪10‬‏ على ثلاثة. وختامًا للشرح، قد لا يبدو الأمر كذلك في البداية، ولكن المتسلسلات الهندسية تمنحنا طريقة لتمثيل الأعداد العشرية الدورية. وإذا وسعنا هذا المفهوم قليلًا، فهذه المتسلسلات تمنحنا أيضًا طريقة للتعبير عن الأعداد العشرية الدورية على صورة كسور، والتي تكون أحيانًا أكثر ملاءمة.

حسنًا، وفي ختام هذا الفيديو، دعونا نستعرض بعض النقاط الأساسية. الصورة العامة للمتسلسلات الهندسية غير المنتهية تكون كالآتي. سنقرأ هذا: المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا إلى ما لا نهاية لـ ‪𝑎‬‏ في ‪𝑟‬‏ أس ‪𝑛‬‏ ناقص واحد. قد تصادفك أيضًا الصورة البديلة، وهي المجموع من ‪𝑛‬‏ يساوي صفرًا إلى ما لا نهاية لـ ‪𝑎‬‏ في ‪𝑟‬‏ أس ‪𝑛‬‏. ويمكن تمييز المتسلسلة الهندسية باحتوائها على الحد الأول ‪𝑎‬‏ والنسبة المشتركة ‪𝑟‬‏. يمكن إيجاد الحدود التالية للمتسلسلة الهندسية بضرب الحد السابق في النسبة المشتركة ‪𝑟‬‏.

إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة ‪𝑟‬‏ أقل من واحد، فإن المتسلسلة تكون متقاربة. وفي هذه الحالة، قيمة المتسلسلة تكون محددة وتساوي الحد الأول ‪𝑎‬‏ مقسومًا على واحد ناقص النسبة المشتركة ‪𝑟‬‏. أما إذا كانت القيمة المطلقة للنسبة المشتركة أكبر من أو تساوي واحدًا، فإن المتسلسلة تكون متباعدة. وبالطبع، في هذه الحالة، لا يمكننا إيجاد قيمتها. المتسلسلات الهندسية غير المنتهية تمنحنا أيضًا طريقة لتمثيل الأعداد العشرية الدورية وطريقة للتعبير عنها على صورة كسر. ولكن لاحظ أننا لم نتطرق إلى مزيد من التفاصيل عن هذا المفهوم الخاص في هذا الفيديو. ومن ثم، فإنه موضوع ربما ترغب في استكشافه أكثر من ذلك.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.