نسخة الفيديو النصية
أوجد المسافة بين النقطة اثنين، سالب واحد، ثلاثة، والمستوى ر ضرب قياسي المتجه سالب اثنين، اثنين، واحد يساوي ثلاثة.
في هذا السؤال، المطلوب منا هو إيجاد المسافة بين نقطة معطاة ومستوى. والسؤال الأول الذي يمكننا طرحه هو: ماذا تعني المسافة بين نقطة ومستوى؟ عندما يطلب منا السؤال إيجاد المسافة بين نقطة ومستوى أو بين نقطة وخط مستقيم، فإن هذا يعني دائمًا البعد العمودي بينهما. وذلك لأن البعد العمودي هو أقصر مسافة. ومن المفيد جدًّا أن تكون قادرًا على إيجاد أقصر مسافة بين نقطة ومستوى أو بين نقطة وخط مستقيم.
لإيجاد هذه المسافة، علينا أولًا تذكر صيغة إيجاد هذه المسافة. نحن نتذكر أن صيغة البعد العمودي من النقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد، ع واحد إلى المستوى ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟع زائد د يساوي صفرًا هي ﻝ يساوي القيمة المطلقة لـ ﺃﺱ واحد زائد ﺏﺹ واحد زائد ﺟع واحد زائد د، الكل مقسوم على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع زائد ﺟ تربيع. لذا، سنحاول تطبيق هذه الصيغة على السؤال الذي لدينا. في البداية، نحن نريد إيجاد المسافة من النقطة اثنين، سالب واحد، ثلاثة.
سنفترض أن قيمة ﺱ واحد تساوي اثنين، وقيمة ﺹ واحد تساوي سالب واحد، وقيمة ع واحد تساوي ثلاثة. ومع ذلك، سنلاحظ وجود مشكلة فيما بعد. في هذا السؤال، لدينا المستوى معطى بالصورة المتجهة. لكننا نريد كتابته على الصورة الكارتيزية. لذا، علينا تحويل المستوى إلى الصورة الكارتيزية. هناك طرق كثيرة مختلفة لفعل ذلك. ولكن أسهل طريقة هي إعادة كتابة المتجه ر على صورة المتجه ﺱ، ﺹ، ع. من ثم، بافتراض أن المتجه ر هو المتجه ﺱ، ﺹ، ع، تصبح معادلة المستوى الآن هي ﺱ، ﺹ، ع ضرب قياسي سالب اثنين، اثنين، واحد يساوي ثلاثة.
نريد الآن إيجاد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين. وتذكر أنه لإيجاد حاصل الضرب القياسي لأي متجهين، علينا ضرب المركبات المتناظرة معًا ثم جمع نواتج حواصل الضرب الثلاثة كلها. حسنًا، سنبدأ بضرب أول مركبتين معًا. هذا يعطينا ﺱ مضروبًا في سالب اثنين. بعد ذلك، سنضيف حاصل ضرب ثاني مركبتين. لذا، سنضيف ﺹ مضروبًا في اثنين. وأخيرًا، سنضيف إلى كل ما سبق حاصل ضرب ثالث مركبتين. وهذا يعطينا ع مضروبًا في واحد. وكل ذلك بالطبع لا يزال يساوي القيمة ثلاثة.
في النهاية، نبسط هذه المعادلة ونعيد ترتيبها للحصول على الصورة الكارتيزية للمستوى. وبذلك، نحصل على سالب اثنين ﺱ زائد اثنين ﺹ زائد ع ناقص ثلاثة يساوي صفرًا. يمكننا الآن استخدام الصورة الكارتيزية للمستوى لإيجاد قيم ﺃ وﺏ وﺟ ود. تذكر أن ﺃ هو معامل ﺱ في الصورة الكارتيزية للمستوى. وهذا يعني أنه يساوي سالب اثنين. وﺏ سيكون معامل ﺹ، وهو ما يساوي اثنين. وﺟ سيكون معامل ع، وهو ما يساوي واحدًا. ود هو الثابت، وهو ما يساوي سالب ثلاثة.
هناك أمر جدير بالذكر هنا. يمكننا إعادة كتابة صيغة المسافة باستخدام الصورة المتجهة بدلًا من ذلك. فالمتجه العمودي في المعادلة المتجهة التي لدينا يعطينا قيم ﺃ وﺏ وﺟ. وقيمة د هي القيمة السالبة لناتج هذه المعادلة. في كلتا الحالتين، لقد أوجدنا الآن قيم ﺃ وﺏ وﺟ ود وﺱ واحد وﺹ واحد وع واحد. من ثم، يمكننا الآن إيجاد البعد العمودي بين النقطة والمستوى. سنعوض بهذه القيم في الصيغة التي لدينا.
وبذلك، فإننا نجد أن المسافة، التي يرمز لها بـ ﻝ، تساوي القيمة المطلقة لسالب اثنين في اثنين زائد اثنين في سالب واحد زائد واحد في ثلاثة ناقص ثلاثة، الكل مقسوم على الجذر التربيعي لسالب اثنين تربيع زائد اثنين تربيع زائد واحد تربيع. لم يتبق لدينا الآن سوى إيجاد قيمة هذا المقدار. بتبسيط المقدار الموجود في البسط، فإننا نحصل على القيمة المطلقة لسالب ستة. وبحساب المقدار الموجود في المقام، فإننا نحصل على الجذر التربيعي لتسعة.
القيمة المطلقة لسالب ستة هي ستة بالطبع، والجذر التربيعي لتسعة يساوي ثلاثة. من ثم، فإننا نجد أن المسافة، ﻝ، تساوي ستة مقسومًا على ثلاثة. ويمكننا تبسيط ذلك لنحصل على اثنين. تذكر أن هذا الناتج يمثل مسافة. لذا، يمكننا القول إن المسافة تساوي وحدتي طول. وبذلك، نكون قد تمكنا من توضيح أن هناك مسافة مقدارها وحدتي طول بين النقطة اثنين، سالب واحد، ثلاثة، والمستوى ر ضرب قياسي المتجه سالب اثنين، اثنين، واحد يساوي ثلاثة.
