فيديو السؤال: فهم العلاقة بين إعادة ترتيب معادلة وإيجاد الدالة العكسية الرياضيات

أعد ترتيب المعادلة ﺹ = (٢^(ﺱ + ١) − ١)‏/‏(٢^(ﺱ) + ١) لإيجاد ﺱ بدلالة ﺹ. وبناء عليه، أوجد المعكوس ﺭ⁻^١ للدالة ﺭ(ﺱ) = (٢^(ﺱ + ١) − ١)‏/‏(٢^(ﺱ) + ١).

٠٥:٠٠

‏نسخة الفيديو النصية

أعد ترتيب المعادلة ﺹ يساوي اثنين أس ﺱ زائد واحد ناقص واحد على اثنين أس ﺱ زائد واحد لإيجاد ﺱ بدلالة ﺹ. وبناء عليه، أوجد المعكوس ﺭ للدالة ﺭﺱ تساوي اثنين أس ﺱ زائد واحد ناقص واحد على اثنين أس ﺱ زائد واحد.

يطلب منا الجزء الأول من هذا السؤال جعل ﺱ المتغير التابع. إذن أول ما سنفعله هو ضرب الطرفين في مقام الكسر، أي في اثنين أس ﺱ زائد واحد. وفي الطرف الأيمن، نحصل على ﺹ أس اثنين ﺱ زائد واحد. وفي الطرف الأيسر، يتبقى لدينا بسط الكسر. وهو اثنان أس ﺱ زائد واحد ناقص واحد.

بعد ذلك، سنوزع القوسين بضرب اثنين أس ﺱ في ﺹ، وواحد في ﺹ. وهذا يعطينا اثنين أس ﺱ في ﺹ زائد ﺹ يساوي اثنين أس ﺱ زائد واحد ناقص واحد. تذكر أننا نريد جعل ﺱ المتغير التابع. لذا، سنبدأ بجعل جميع حدود ﺱ في أحد طرفي المعادلة.

دعونا نطرح اثنين أس ﺱ زائد واحد من الطرفين بحيث يكون لدينا اثنان أس ﺱ في ﺹ زائد ﺹ ناقص اثنين أس ﺱ زائد واحد يساوي سالب واحد. بعد ذلك، نطرح ﺹ من الطرفين. ومن ثم، نلاحظ أن اثنين أس ﺱ في ﺹ ناقص اثنين أس ﺱ زائد واحد يساوي سالب واحد ناقص ﺹ.

نتذكر هنا أحد قوانين الأسس. ينص هذا القانون على أن ﺱ أس ﺃ في ﺱ أس ﺏ هو نفسه ﺱ أس ﺃ زائد ﺏ. هذا يعني أنه يمكننا كتابة اثنين أس ﺱ زائد واحد على الصورة اثنان أس ﺱ في اثنين أس واحد، أو اثنان أس ﺱ في اثنين.

بعد ذلك، نحلل التعبير الموجود في الطرف الأيمن. فنحصل على اثنين أس ﺱ في ﺹ ناقص اثنين. خطوتنا التالية هي قسمة الطرفين على ﺹ ناقص اثنين. فنحصل على اثنين أس ﺱ يساوي سالب واحد ناقص ﺹ على ﺹ ناقص اثنين.

من المهم أن ندرك أنه في هذه المرحلة من الحل، إذا كنا قد طرحنا، بدلًا من ذلك، اثنين أس ﺱ في ﺹ من طرفي المعادلة، كنا سنحصل على واحد زائد ﺹ على اثنين ناقص ﺹ. هذان التعبيران متساويان. فهما كسران متكافئان. ويمكن الحصول عليهما بضرب بسط أحد الكسرين ومقامه في سالب واحد.

خطوتنا الأخيرة هي إيجاد لوغاريتم للأساس اثنين لطرفي المعادلة. وسبب أهمية هذه الخطوة هو أن أحد قوانين اللوغاريتمات ينص على أن لوغاريتم اثنين أس ﺱ للأساس اثنين هو نفسه ﺱ في لوغاريتم اثنين للأساس اثنين. لكن لوغاريتم اثنين للأساس اثنين يساوي واحدًا. حسنًا، لقد كتبنا ﺱ بدلالة ﺹ. ‏ﺱ يساوي لوغاريتم سالب واحد ناقص ﺹ على ﺹ ناقص اثنين للأساس اثنين. إذن كيف يساعدنا ذلك في إيجاد معكوس الدالة ﺭ؟

إحدى طرق إيجاد المعكوس هي تبديل ﺱ وﺹ. وعليه، يمكننا كتابة ذلك على صورة ﺱ يساوي اثنين أس ﺹ زائد واحد ناقص واحد على اثنين أس ﺹ زائد واحد. بعد ذلك، نعيد ترتيب هذه الصيغة لجعل ﺹ المتغير التابع. لقد فعلنا ذلك بطريقة مختلفة قليلًا. فأعدنا ترتيب الصيغة لجعل ﺱ المتغير التابع. نعلم بذلك أنه من خلال طريقة ترتيبنا لهذه المعادلة الثانية، سنحصل على ﺹ يساوي لوغاريتم سالب واحد ناقص ﺱ على ﺱ ناقص اثنين للأساس اثنين. هذا يعني أن هذا هو معكوس الدالة ﺭ. معكوس ﺭﺱ يساوي لوغاريتم سالب واحد ناقص ﺱ على ﺱ ناقص اثنين للأساس اثنين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.