فيديو السؤال: حل معادلة مثلثية باستخدام متطابقات ضعف الزاوية الرياضيات

أوجد مجموعة قيم ﺱ الممكنة التي تحقق العلاقة ١‏/‏ الجذر التربيعي لـ (جتا^٢ﺱ − جتا^٤ﺱ) = ٢؛ حيث ٠° < ﺱ < ٣٦٠°.

٠٤:٣١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة قيم ﺱ الممكنة التي تحقق العلاقة واحدًا على الجذر التربيعي لـ جتا تربيع ﺱ ناقص جتا أس أربعة ﺱ يساوي اثنين؛ حيث ﺱ أكبر من صفر درجة وأقل من ٣٦٠ درجة.

لكي نجيب عن هذا السؤال، سنبدأ بتبسيط الطرف الأيسر من المعادلة باستخدام ما نعرفه عن متطابقات فيثاغورس والمتطابقات المثلثية لضعف الزاوية. حسنًا، مقام الطرف الأيسر لدينا كما هو موضح. وبأخذ جتا تربيع ﺱ عاملًا مشتركًا من التعبير الموجود تحت الجذر التربيعي، نحصل على الجذر التربيعي لـ جتا تربيع ﺱ مضروبًا في واحد ناقص جتا تربيع ﺱ.

حسنًا، تنص إحدى متطابقات فيثاغورس على أن جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. ويمكن إعادة كتابة هذه الصيغة على الصورة جا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا ناقص جتا تربيع 𝜃. باستخدام هذه الطريقة، يمكننا إعادة كتابة التعبير لدينا ليكون على الصورة: الجذر التربيعي لـ جتا تربيع جا ﺱ تربيع ﺱ. خطوتنا التالية هي أخذ الجذر التربيعي لكل جزء من التعبير على حدة. حسنًا، بما أننا سنوجد مربع جتا ﺱ ومربع جا ﺱ في التعبير قبل أخذ الجذر التربيعي، فإن أيًّا منهما يمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا، لكنه سيعطينا نتيجة موجبة عند التربيع في كلتا الحالتين. هذا يعني أن الجذر التربيعي لـ جتا تربيع جا ﺱ تربيع ﺱ هو القيمة المطلقة لـ جتا ﺱ جا ﺱ.

والآن، دعونا نسترجع إحدى متطابقات ضعف الزاوية، وهي جا اثنين 𝜃 يساوي اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃. بقسمة الطرفين على اثنين، يمكن إعادة كتابة هذه المتطابقة على الصورة: جا اثنان 𝜃 على اثنين يساوي جا 𝜃 جتا 𝜃. ويمكن إعادة كتابة التعبير لدينا على صورة القيمة المطلقة لـ جا اثنين ﺱ على اثنين. بأخذ الثابت عاملًا مشتركًا خارج علامة القيمة المطلقة، نجد أن مقام الطرف الأيسر في المعادلة يساوي نصفًا مضروبًا في القيمة المطلقة لـ جا اثنين ﺱ. بقسمة واحد على هذا التعبير، نحصل على اثنين على القيمة المطلقة لـ جا اثنين ﺱ. ونحن نعرف من المعادلة الأصلية أن هذا التعبير يساوي اثنين.

يمكننا هنا حل المعادلة بضرب الطرفين في القيمة المطلقة لـ جا اثنين ﺱ. نقسم بعد ذلك الطرفين على اثنين، وبذلك نجد أن القيمة المطلقة لـ جا اثنين ﺱ تساوي واحدًا. هذا يعطينا حلين ممكنين: إما جا اثنين ﺱ يساوي واحدًا أو جا اثنين ﺱ يساوي سالب واحد. حسنًا، علمنا من السؤال أن قيمة ﺱ تقع بين صفر و٣٦٠ درجة. هذا يعني أن قيمة اثنين ﺱ يجب أن تكون أكبر من صفر درجة وأقل من ٧٢٠ درجة.

برسم المنحنى ﺹ يساوي جا 𝜃 بين صفر و٧٢٠ درجة، يمكننا تحديد قيم 𝜃 حيث جا 𝜃 يساوي موجب أو سالب واحد. توجد قيمتان لـ 𝜃 يكون عندهما جا 𝜃 يساوي واحدًا في هذا النطاق. وهما ٩٠ و٤٥٠ درجة. وبالمثل، جا 𝜃 يساوي سالب واحد عندما يكون قياس 𝜃 يساوي ٢٧٠ و٦٣٠ درجة. ومن ثم يمكننا استنتاج أنه عندما يكون جا اثنين ﺱ يساوي واحدًا، فإن اثنين ﺱ يساوي ٩٠ درجة و٤٥٠ درجة. وبقسمة الطرفين على اثنين، نجد أن ﺱ يساوي ٤٥ درجة و٢٢٥ درجة. وعندما يكون جا اثنين ﺱ يساوي سالب واحد، فإن اثنين ﺱ يساوي ٢٧٠ درجة و٦٣٠ درجة. مرة أخرى، يمكننا قسمة الطرفين على اثنين؛ لنجد بذلك أن ﺱ يساوي ١٣٥ درجة و٣١٥ درجة.

إذن، توجد أربع قيم ممكنة لـ ﺱ تحقق المعادلة في النطاق المعطى. وهي ٤٥ درجة و١٣٥ درجة و٢٢٥ درجة و٣١٥ درجة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.