فيديو الدرس: ميل المستقيمات المتوازية والمتعامدة الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم مفهوم الميل لتحديد إذا ما كان المستقيمان متوازيين أو متعامدين. ونستخدم تلك العلاقة الهندسية لحل المسائل.

يعد ميل الخط المستقيم خاصية بالغة الأهمية للخط المستقيم، وهي خاصية تصف مدى انحدار الخط المستقيم. يمكن حساب ميل الخط المستقيم من أي نقطتين مختلفتين على الخط المستقيم. بوجه عام، يمكننا القول إنه إذا كانت هناك نقطتان على خط مستقيم إحداثياتهما: (𝑥 صفر، 𝑦 صفر)، و(𝑥 واحد، 𝑦 واحد)، فإنه يمكننا حساب الميل، ويشار إليه عادة باستخدام الحرف ‪𝑚‬‏، من خلال الصيغة: ‪𝑦‬‏ واحد ناقص ‪𝑦‬‏ صفر على ‪𝑥‬‏ واحد ناقص ‪𝑥‬‏ صفر. لإيجاد الميل، فإننا نقسم الإزاحة الرأسية، وهي التغير في ‪𝑦‬‏، على الإزاحة الأفقية، أو التغير في ‪𝑥‬‏. لمراجعة كيفية تطبيق ذلك عمليًّا، دعونا نفترض أن لدينا الإحداثيات: (أربعة، ستة) و 12، 10. يمكننا تعريف الإحداثيين (أربعة، ستة) بـ (𝑥 صفر، 𝑦 صفر)، ومع ذلك فإنه لا يهم إذا عرفنا هذين الإحداثيين بـ (𝑥 واحد، 𝑦 واحد).

بالتعويض بهاتين القيمتين في صيغة الميل، يصبح لدينا: ‪𝑚‬‏ يساوي 10 ناقص ستة على 12 ناقص أربعة. يمكن تبسيط هذا إلى أربعة على ثمانية، وهو ما يبسط كذلك إلى نصف. ميل هذا الخط المستقيم يساوي نصفًا. غالبًا ما يطغى المفهوم الجبري على تفكيرنا في هذه العملية الحسابية، ولكن دعونا نلق نظرة عن كثب على المفهوم الهندسي الذي تتضمنه. عندما نوجد ميل خط مستقيم، فإننا ننشئ مثلثًا قائم الزاوية. يمثل طولا الضلعين القصيران الإزاحتين الأفقية والرأسية. إذن، عندما نفكر في الميل بدلالة المثلثات القائمة الزاوية، فإنه يمكننا استخدام النتائج التي نعرفها من حساب المثلثات لفهم الخواص الأخرى للخط المستقيم.

إحدى الخواص التي تعنينا عادة هي الزاوية الحادة التي يصنعها الخط المستقيم مع المحور الأفقي، ويمكننا الإشارة إليها بالرمز ‪𝛼‬‏. الشيء المهم الذي يجب ملاحظته هنا هو أن قياس الزاوية ‪𝛼‬‏ المحصورة بين الخط المستقيم ‪𝐴𝐵‬‏ وهذا الخط المستقيم الأفقي سيساوي قياس الزاوية ‪𝛼‬‏ المحصورة بين الخط المستقيم ‪𝐴𝐵‬‏ والمحور الأفقي؛ لأن هذين الخطين المستقيمين متوازيان. إذن، يمكننا إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم والمحور الأفقي بإيجاد قياس الزاوية ‪𝛼‬‏. وكما ذكرنا بالفعل، يمكننا فعل ذلك باستخدام حساب المثلثات. في هذه المسألة، لدينا الزاوية ‪𝛼‬‏، ولدينا طول الضلع المقابل للزاوية، ولدينا طول الضلع المجاور للزاوية.

ومن ثم، يمكننا استخدام حقيقة أن ظل الزاوية يساوي النسبة بين طول الضلع المقابل وطول الضلع المجاور في المثلث القائم الزاوية. وبذلك، يصبح لدينا: ‪tan 𝛼‬‏ يساوي ‪𝑦‬‏ واحد ناقص ‪𝑦‬‏ صفر على ‪𝑥‬‏ واحد ناقص ‪𝑥‬‏ صفر. بعبارة أخرى، ظل الزاوية ‪𝛼‬‏ يساوي ببساطة ‪𝑚‬‏؛ حيث ‪𝑚‬‏ هو ميل الخط المستقيم. تذكر أننا وجدنا أن ميل الخط المستقيم في هذا المثال يساوي نصفًا. إذا أردنا بعد ذلك حساب قياس الزاوية ‪𝛼‬‏، فإننا نعلم أن ‪tan 𝛼‬‏ يساوي نصفًا. ومن ثم، فإن ‪𝛼‬‏ يساوي الدالة العكسية لظل نصف. بحساب ذلك بالدرجات، نجد أن هذا يساوي تقريبًا 26.57 درجة لأقرب منزلتين عشريتين. يمكننا أيضًا استخدام هذه الطريقة لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم والمحور الأفقي عندما تكون الزاوية غير حادة.

نعرف أنه من الممكن أن يكون ميل الخط المستقيم سالبًا، وهذا يحدث إذا كانت إشارتا ‪𝑦‬‏ واحد ناقص ‪𝑦‬‏ صفر و‪𝑥‬‏ واحد ناقص ‪𝑥‬‏ صفر مختلفتين. في هذه الحالة، سينحدر الخط المستقيم لأسفل في الاتجاه من اليسار إلى اليمين. ومن ثم، فإن الزاوية الموجبة، وهي الزاوية المقيسة في اتجاه عقارب الساعة، والمحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور ‪𝑥‬‏ والخط المستقيم، تكون منفرجة. يمكننا باستخدام الآلة الحاسبة ملاحظة أن قيمة ظل الزاوية المنفرجة تكون سالبة. ومن ثم، فإن العلاقة التي أوجدناها بين ميل الخط المستقيم وظل الزاوية الموجبة، التي يصنعها الخط المستقيم مع الاتجاه الموجب للمحور ‪𝑥‬‏، تنطبق أيضًا على الزوايا المنفرجة.

يمكننا الآن تدوين ملحوظات أكثر منهجية عما تعلمناه. أولًا، نعرف أن الميل ‪𝑚‬‏ بين النقطتين اللتين إحداثياتهما: (𝑥 صفر، 𝑦 صفر) و(𝑥 واحد، 𝑦 واحد) يعطى بالصيغة: ‪𝑚‬‏ يساوي ‪𝑦‬‏ واحد ناقص ‪𝑦‬‏ صفر على ‪𝑥‬‏ واحد ناقص ‪𝑥‬‏ صفر. علاوة على ذلك، فإن هذا الميل يساوي ظل الزاوية الموجبة المحصورة بين الخط المستقيم والاتجاه الموجب للمحور ‪𝑥‬‏؛ أي إن ‪𝑚‬‏ يساوي ‪tan 𝛼‬‏. تقاس الزاوية ‪𝛼‬‏ من الاتجاه الموجب للمحور ‪𝑥‬‏ إلى الخط المستقيم في عكس اتجاه عقارب الساعة. يكون ظل الزاوية الحادة موجبًا، في حين يكون ظل الزاوية المنفرجة سالبًا. وآخر ملحوظة هي أنه نظرًا لأن ظل الزاوية التي قياسها 90 درجة غير معرف، فإنه يقال إن ميل الخطوط الرأسية غير معرف.

سنتناول الآن مثالًا لإيجاد ميل خط مستقيم بمعلومية الزاوية التي يصنعها مع المحور الأفقي.

أوجد، لأقرب منزلتين عشريتين، ميل المستقيم الذي يصنع زاوية موجبة قياسها 60 درجة مع الاتجاه الموجب للمحور ‪𝑥‬‏.

يمكننا البدء في حل هذا السؤال بتصور خط مستقيم يصنع زاوية قياسها 60 درجة مع الاتجاه الموجب للمحور ‪𝑥‬‏. لحل هذا السؤال، يجب علينا أيضًا أن نتذكر أن ميل الخط المستقيم ‪𝑚‬‏ يساوي ظل الزاوية الموجبة المحصورة بين الخط المستقيم والاتجاه الموجب للمحور ‪𝑥‬‏. في هذا السؤال، قياس تلك الزاوية يساوي 60 درجة. إذن، لدينا ‪𝑚‬‏ يساوي tan 60 درجة. ‏tan 60 يساوي جذر ثلاثة، ولكن على الصورة العشرية سيساوي 1.732 إلى آخر العدد. بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، يمكننا القول إن ميل الخط المستقيم يساوي 1.73.

سننتقل الآن إلى تناول الخطوط المستقيمة المتوازية والمتعامدة. دعونا نتناول حقيقة أن أي خطين مستقيمين يلتقيان عند نقطة ما، ما لم يكونا متوازيين أو منطبقين. سيقع الخطان المنطبقان أحدهما فوق الآخر. نعرف أن الخطين المستقيمين يكونان متوازيين إذا كان لهما الميل نفسه. ومما رأيناه منذ قليل في هذا الفيديو، يمكننا الآن إضافة أن الخطين يكونان متوازيين إذا صنع كل منهما الزاوية نفسها مع الاتجاه الموجب للمحور ‪𝑥‬‏. إذا كان ميل الخطين المستقيمين يساوي صفرًا، فإنهما يوازيان المحور ‪𝑥‬‏، ويوازي كل منهما الآخر، حتى إذا لم يقطعا المحور ‪𝑥‬‏. يكون الخطان المستقيمان متوازيين، لكن غير منطبقين، عندما يكون لهما نفس الميل، ولا يكون لهما نفس الجزء المقطوع من المحور ‪𝑦‬‏، كما هو موضح في الشكل.

علينا أن نتذكر أن المستقيمين المتعامدين يلتقيان في نقطة معينة، ويصنع كل منهما مع الآخر زاوية قياسها 90 درجة. سنرى الآن ما يعنيه ذلك بالنسبة إلى ميلي خطين مستقيمين متعامدين. دعونا نتناول هذين الخطين المستقيمين اللذين لهما الميلان ‪𝑚‬‏ واحد و‪𝑚‬‏ اثنان. إنهما يصنعان الزاويتين ‪𝛼‬‏ و‪𝛽‬‏ على الترتيب مع الاتجاه الموجب للمحور ‪𝑥‬‏.

يمكننا القول إنه بما أن الخطين المستقيمين متعامدان، فإن ‪𝛽‬‏ تساوي ‪𝛼‬‏ زائد 90 درجة. إحدى خواص دالة الظل هي أن ‪tan 𝛼‬‏ يساوي سالب واحد على ‪tan 𝛼‬‏ زائد 90 درجة. بدمج هاتين المعادلتين، يصبح لدينا: ‪tan 𝛼‬‏ يساوي سالب واحد على ‪tan 𝛽‬‏. بما أننا نعرف أن ‪𝑚‬‏ واحد يساوي ‪tan 𝛼‬‏، و‪𝑚‬‏ اثنين يساوي ‪tan 𝛽‬‏؛ إذن ‪𝑚‬‏ واحد يساوي سالب واحد على ‪𝑚‬‏ اثنين. أو، بشكل مكافئ، يمكن كتابة ذلك على الصورة: ‪𝑚‬‏ واحد في ‪𝑚‬‏ اثنين يساوي سالب واحد.

لعلك تتساءل عن أهمية ذلك، ولكن ما شرحناه بالفعل في هذا المثال هو أن حاصل ضرب ميلي الخطين المستقيمين المتعامدين يساوي سالب واحد. هذه إحدى الخواص المهمة جدًّا للخطين المستقيمين المتعامدين، ولكن لاحظ أنه إذا كان الخط المستقيم أفقيًّا، فإن ميله يساوي صفرًا. على سبيل المثال، إذا كان ‪𝑚‬‏ اثنان يساوي صفرًا، فإننا نقسم على صفر لإيجاد ‪𝑚‬‏ واحد. وهذا سيعطينا قيمة غير معرفة، ولكن ميل الخط المستقيم الرأسي بالطبع غير معرف. هذا منطقي؛ لأننا نعلم أن أي خط مستقيم رأسي يكون عموديًّا على أي خط مستقيم أفقي. ولكن لا يمكننا أن نستخدم تلقائيًّا هذه الحقيقة الجبرية، التي تنص على أن ‪𝑚‬‏ واحد في ‪𝑚‬‏ اثنين يساوي سالب واحد، مع الخطوط المستقيمة الأفقية والرأسية.

يمكننا الآن أن نلخص سريعًا حالات الخطوط المستقيمة المتوازية والمتعامدة. يمكننا قول إن المستقيمات المتوازية مستقيمات لها الميل نفسه، وإن جزأها المقطوع من المحور ‪𝑦‬‏ مختلف. أما المستقيمات المنطبقة فلها الميل نفسه ولها أيضًا نفس الجزء المقطوع من المحور ‪𝑦‬‏. عندما يكون حاصل ضرب ميلي الخطين المستقيمين يساوي سالب واحد، فإن الخطين المستقيمين يكونان متعامدين. وكما لاحظنا من قبل، إذا كان ميل الخط المستقيم يساوي صفرًا، فإن الخط المستقيم يكون أفقيًّا. وأي خط مستقيم عمودي عليه لن يكون ميله معرفًا.

في المثال التالي، سنرى كيف يمكننا إيجاد ميل خط مستقيم بمعلومية ميل الخط المستقيم العمودي عليه.

إذا كان المستقيم ‪𝐴𝐵‬‏ عموديًّا على المستقيم ‪𝐶𝐷‬‏، وميل المستقيم ‪𝐴𝐵‬‏ يساوي خمسين، فأوجد ميل ‪𝐶𝐷‬‏.

في هذا السؤال، نعلم من المعطيات أن لدينا خطين مستقيمين متعامدين هما ‪𝐴𝐵‬‏ و‪𝐶𝐷‬‏. بمعرفتنا أن الخطين المستقيمين متعامدان، فإن هذا يعني أننا نعرف شيئًا عن العلاقة بين ميليهما. إذا أشرنا إلى ميل الخط المستقيم ‪𝐴𝐵‬‏ بـ ‪𝑚‬‏ واحد، وإلى ميل الخط المستقيم ‪𝐶𝐷‬‏ بـ ‪𝑚‬‏ اثنين؛ فإننا نعلم أن ‪𝑚‬‏ اثنين يساوي سالب واحد على ‪𝑚‬‏ واحد. وبما أن الميل ‪𝑚‬‏ واحد للخط المستقيم ‪𝐴𝐵‬‏ يساوي خمسين، فإن ‪𝑚‬‏ اثنين يساوي سالب واحد على خمسين. يبسط هذا المقدار إلى سالب خمسة على اثنين. نظرًا لأن هذين الخطين المستقيمين متعامدان، فإن ميل كل منهما سيساوي سالب مقلوب ميل الآخر. ومن ثم، فإن ميل الخط المستقيم ‪𝐶𝐷‬‏ يساوي سالب خمسة على اثنين.

في المثال التالي، سنحدد العلاقة بين خطين مستقيمين.

افترض أن ‪𝐿‬‏ خط مستقيم يمر بالنقطتين (سالب سبعة، سالب سبعة) و(سالب تسعة، ستة)، وأن ‪𝑀‬‏ خط مستقيم يمر بالنقطتين (واحد، واحد) و 14، ثلاثة. أي من الآتي صواب عن العلاقة بين الخطين المستقيمين ‪𝐿‬‏ و‪𝑀‬‏؟ الخيار أ: الخطان متوازيان، الخيار ب: الخطان متعامدان، الخيار ج: الخطان متقاطعان، لكنهما ليسا متعامدين.

ربما يجدر بنا بدء الإجابة على السؤال برسم سريع للخطين المستقيمين من خلال مجموعتي النقاط. عندما نفعل ذلك، نلاحظ أن الخطين المستقيمين يتقاطعان بالفعل. ولذا، يمكننا قول إن هذين الخطين المستقيمين غير متوازيين؛ إذن يمكننا استبعاد الخيار أ. والآن، يمكننا أن نتذكر أن الخطين المستقيمين يكونان متعامدين إذا تقاطعا أو التقيا عند زاوية قائمة. يبدو من الشكل أن الخطين المستقيمين يصنعان زاوية قائمة. ولكن يمكن أن يكون الخطان المستقيمان متعامدين تقريبًا، ويصعب تمييز ذلك من الشكل. في الواقع، ليس من المستحسن الاكتفاء بالاستعانة بالرسم لتحديد إذا ما كان الخطان المستقيمان متوازيين أو متعامدين. في الواقع، يجب علينا إجراء بعض الحسابات.

نتذكر أنه إذا كان هناك خطان مستقيمان متوازيان ميلاهما ‪𝑚‬‏ واحد و‪𝑚‬‏ اثنان، فإنهما يكونان متعامدين إذا كان ‪𝑚‬‏ اثنان يساوي سالب واحد على ‪𝑚‬‏ واحد. علينا أولًا حساب ميلي الخطين المستقيمين ‪𝐿‬‏ و‪𝑀‬‏. يحسب ميل الخط المستقيم المار بنقطتين إحداثياتهما: (𝑥 صفر، 𝑦 صفر) و(𝑥 واحد، 𝑦 واحد)؛ من خلال الصيغة: الميل ‪𝑚‬‏ يساوي ‪𝑦‬‏ واحد ناقص ‪𝑦‬‏ صفر على ‪𝑥‬‏ واحد ناقص ‪𝑥‬‏ صفر. إذن، بالنسبة إلى الخط المستقيم ‪𝐿‬‏، فإن ميله ‪𝑚‬‏ واحد يساوي ستة ناقص سالب سبعة على سالب تسعة ناقص سالب سبعة، وهذا يبسط إلى سالب 13 على اثنين.

والآن، هيا نوجد ميل الخط المستقيم ‪𝑀‬‏. وسنوجد ميله ‪𝑚‬‏ اثنين بحساب ثلاثة ناقص واحد على 14 ناقص واحد، وهذا يساوي اثنين على 13. والآن، يمكننا التحقق من إذا ما كان ‪𝑚‬‏ اثنان يساوي سالب واحد على ‪𝑚‬‏ واحد أم لا. إذا كانت قيمة ‪𝑚‬‏ اثنين غير معلومة، فبإمكاننا إيجاد خط مستقيم عمودي على الخط المستقيم ‪𝐿‬‏ عن طريق مساواة ‪𝑚‬‏ اثنين بسالب واحد على سالب 13 على اثنين. وهذا سيعطينا بالفعل أن قيمة ‪𝑚‬‏ اثنين تساوي اثنين على 13. ومن ثم، يمكننا الإجابة بأن العبارة الصحيحة عن الخطين المستقيمين ‪𝐿‬‏ و‪𝑀‬‏ هي الخيار ب. الخطان متعامدان.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. ميل الخط المستقيم ‪𝑚‬‏ المار بالنقطتين (𝑥 صفر، 𝑦 صفر) و(𝑥 واحد، 𝑦 واحد) يعطى بالصيغة: ‪𝑚‬‏ يساوي ‪𝑦‬‏ واحد ناقص ‪𝑦‬‏ صفر على ‪𝑥‬‏ واحد ناقص ‪𝑥‬‏ صفر. تقاس الزاوية ‪𝛼‬‏ من المحور الأفقي بالدوران في عكس اتجاه عقارب الساعة حتى تلتقي بالخط المستقيم. بالنسبة إلى ميل الخط المستقيم ‪𝑚‬‏، فالنتائج الآتية صحيحة. إذا كان ‪𝑚‬‏ أكبر من أو يساوي صفرًا، يعبر عن الزاوية ‪𝛼‬‏ المحصورة بين هذا الخط المستقيم والمحور الأفقي بالصورة: ‪𝛼‬‏ يساوي الدالة العكسية للظل لـ ‪𝑚‬‏. إذا كان ‪𝑚‬‏ أقل من صفر، يعبر عن الزاوية ‪𝛼‬‏ المحصورة بين هذا الخط المستقيم والمحور الأفقي بالصورة: 180 درجة زائد الدالة العكسية للظل لـ ‪𝑚‬‏. بالنسبة إلى الخطوط المستقيمة الرأسية، فإن ‪𝛼‬‏ يساوي 90 درجة.

رأينا كذلك أننا إذا افترضنا أن لدينا خطين مستقيمين ميلاهما ‪𝑚‬‏ واحد و‪𝑚‬‏ اثنان، وأن الجزأين المقطوعين من المحور ‪𝑦‬‏ هما ‪𝑐‬‏ واحد و‪𝑐‬‏ اثنان؛ فإنه إذا كان ‪𝑚‬‏ واحد يساوي ‪𝑚‬‏ اثنين، و‪𝑐‬‏ واحد لا يساوي ‪𝑐‬‏ اثنين، فإن الخطين المستقيمين يكونان مختلفين ومتوازيين. هذا يعني أن الخطين المستقيمين لا يلتقيان أبدًا، ويصنعان الزاوية نفسها مع المحور الأفقي. أما إذا كان ‪𝑚‬‏ واحد يساوي ‪𝑚‬‏ اثنين، و‪𝑐‬‏ واحد يساوي ‪𝑐‬‏ اثنين، فإن الخطين المستقيمين يكونان منطبقين أو متطابقين. وأما إذا كان ‪𝑚‬‏ واحد في ‪𝑚‬‏ اثنين يساوي سالب واحد، فإن الخطين المستقيمين يكونان متعامدين.