فيديو الدرس: حل المتباينات الخطية المركبة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نحل بعض المتباينات الخطية المركبة ونقدم إجاباتنا بصور مختلفة، باستخدام رموز التباين، ومخططات خط الأعداد، والفترات، ورمز المجموعة. سنبدأ بأمثلة بسيطة حلولها أعداد صحيحة موجبة، وننتقل إلى أمثلة أصعب حلولها أعداد سالبة أو نسبية أو كسور.

أولًا، لنراجع الرموز سريعًا. لدينا ﺱ أكبر من ثلاثة، هذه متباينة. قيمة ﺱ أكبر من ثلاثة، لكن لا يمكن أن تساوي ثلاثة. ويمكننا تمثيل هذا على مخطط خط الأعداد، أو تمثيل بياني، عن طريق وضع دائرة مفرغة فوق الثلاثة لأن ﺱ لا يمكن أن يساوي ثلاثة. لكن يمكن لـ ﺱ أن يأخذ أي قيمة أكبر من ثلاثة، لذا فهي هذه المنطقة هنا.

يمكننا أيضًا تمثيل المتباينات باستخدام رمز الفترة. لقوس المفتوح يمثل فترة مفتوحة. إذن هذه الفترة تبدأ من العدد ثلاثة ولكنها لا تتضمنه. وفي نهاية الفترة، نتجه إلى ما لا نهاية، لكننا نضع قوسًا أيضًا، أي قوسًا مفتوحا، بدلًا من القوس المغلق. سنتناول الأقواس المغلقة بعد قليل.

يمكننا أيضًا تمثيل المتباينات باستخدام رمز المجموعة. يصبح لدينا مجموعة قيم ﺱ، حيث ﺱ ينتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية، وقيمة ﺱ أكبر من ثلاثة. لعلك تكون قد قابلت طرقًا أخرى لتمثيل المجموعة، لكن هذه هي الطريقة التي سنستخدمها في هذا الفيديو.

حسنًا، لنتناول متباينة أخرى، ﺱ أقل من أو يساوي خمسة. إذن القيم الممكنة لـ ﺱ، هي ﺱ قد يساوي خمسة، أو قد يساوي أقل من ذلك. فقد يساوي العدد أربعة، علامة عشرية، تسعة دائري؛ أو قد يكون سالب ما لا نهاية. على خط الأعداد، نضع دائرة مصمتة فوق الخمسة لنوضح أن العدد خمسة متضمن. قيمة ﺱ قد تكون خمسة أو أي عدد أقل من ذلك، لذا لدينا سهم كبير يشير إلى اليسار. وعلى صورة فترة، نستخدم الآن القوس المغلق على يسار الخمسة وهذا يشير إلى حقيقة أن العدد خمسة متضمن في تلك الفترة. ولأن الفترة تبدأ من سالب ما لا نهاية، تحاط ما لا نهاية دائمًا بالقوس المفتوح. وباستخدام رمز المجموعة، فهي مجموعة قيم ﺱ حيث ﺱ عدد حقيقي أقل من أو يساوي خمسة.

لنتناول الآن هذه الحالة، حيث لدينا هذه المتباينة الخطية المركبة. ببساطة، لدينا أن ﺱ أكبر من ثلاثة لكن يجب أن يكون أيضًا أقل من أو يساوي خمسة. إننا إذن ندمج هاتين المتباينتين في الأعلى، ويمكننا تمثيل ذلك بهذه الطريقة. نحصل على ثلاثة أقل من ﺱ أقل من أو يساوي خمسة. إذن ﺱ قد يساوي خمسة، لكن مع ذلك يجب أن يكون أكبر من ثلاثة دائمًا. أكبر من ثلاثة وأقل من أو يساوي خمسة؛ هذا يعني أن ﺱ يمكن أن يساوي خمسة، لذا نضع دائرة مصمتة فوق الخمسة. ونضع دائرة مفرغة فوق الثلاثة لأن ﺱ لا يمكن أن يساوي ثلاثة. لكنه يمكن أن يساوي أي عدد بين هذين العددين، لذا نصل بينهما بخط هكذا.

باستخدام رمز الفترة، ثلاثة وخمسة هما طرفا الفترة. لكن العدد خمسة متضمن في الفترة، لذا نضع عنده قوسًا مغلقا. بينما العدد ثلاثة غير متضمن في الفترة، لذا نضع عنده قوسًا مفتوحا. وباستخدام رمز المجموعة، لدينا مجموعة قيم ﺱ، حيث ﺱ عدد حقيقي أكبر من ثلاثة لكن أقل من أو يساوي خمسة.

حسنًا. إذن هذا هو الرمز الذي سنستخدمه في الأسئلة. دعونا نلق نظرة على بعض الأسئلة.

علينا إيجاد جميع قيم ﺱ التي تحقق المتباينة المركبة ٤٥ ناقص ﺱ أكبر من ﺱ ناقص خمسة أكبر من أو يساوي تسعة ناقص ﺱ. هذا معناه أن هذا الجزء أكبر من هذا الجزء، وهذا الجزء؛ أي هذا الجزء هنا، أكبر من أو يساوي هذا الجزء. إذن، ما دمنا نجري العملية نفسها على كل الأجزاء، فستظل العلاقة بين الأجزاء كما هي، من حيث أيها أكبر وأيها أصغر. ولكن علينا الانتباه، فإذا ضربنا أو قسمنا كل الأجزاء على عدد سالب، يجب عندئذ أن نعكس العلامات. لن نتناول ذلك الآن. لكن دعونا نكمل محاولين عزل ﺱ بمفرده في الوسط، والتخلص منه في الجزئين الخارجيين.

أولًا، نجد أن لدينا ﺱ، أو سالب ﺱ هنا، وسالب ﺱ هنا، ولدينا ﺱ هنا أيضًا. فإذا أضفت ﺱ إلى جميع الأجزاء، فستظل المتباينة كما هي. وسنتخلص من سالب ﺱ من هنا وهنا، حيث إن سالب ﺱ زائد ﺱ يساوي صفرًا. إذن سأضيف ﺱ إلى كل من هذه الأجزاء. لدينا ٤٥ ناقص ﺱ زائد ﺱ يساوي ٤٥ فقط. ثم نضع علامة أكبر من. لدينا ﺱ ناقص خمسة، نضيف ﺱ آخر، لنحصل على اثنين ﺱ ناقص خمسة. وفي الجزء الأخير، لدينا تسعة ناقص ﺱ، نضيف ﺱ، فنحصل على تسعة.

حسنًا. لدينا الآن حد ﺱ في الجزء الأوسط فقط، وهذا تقدم. لكن لدينا اثنان ﺱ ولدينا سالب خمسة. لذا سأضيف الآن خمسة إلى كل الأجزاء، للتخلص من سالب الخمسة الذي في الوسط. إذن ٤٥ زائد خمسة يعطينا ٥٠، اثنان ﺱ ناقص خمسة زائد خمسة يعطينا اثنين ﺱ فقط، وتسعة زائد خمسة يعطينا ١٤. الآن، نريد أن يكون لدينا واحد ﺱ فقط في الوسط، لكي نحصل على النصف فقط. إذا طرحنا ﺱ من كل الأجزاء، فسنلغي بذلك ما فعلناه هنا، وهذا سيعيد ﺱ إلى هنا وهنا أيضًا. لذا سأقسم كل الأجزاء على اثنين. نصف ٥٠ هو ٢٥، ونصف اثنين ﺱ هو ﺱ، ونصف ١٤ هو سبعة. إذن هذه الطريقة ناجحة، لأنه لنتخيل أن لدينا اثنين ﺱ ولدينا ١٤. نحن نقول إن اثنين ﺱ أكبر من أو يساوي ١٤، أي نقول إن هذا أكبر من ذاك، أو قد يساويه. إذا قسمت هذا نصفين وقسمت ذاك نصفين، فلأنه أصبح لدينا نصف الجزء الأكبر ونصف الجزء الأصغر، فهذه العلاقة بين الجزئين، من حيث أيهما أكبر وأيهما أصغر، ستظل كما هي.

ها هي تقريبًا الإجابة الأولى: ٢٥ أكبر من ﺱ أكبر من أو يساوي سبعة. لكننا عادة ما نميل إلى كتابة المتباينة بالطريقة العكسية. إننا نميل إلى البدء بالأعداد الأصغر على اليسار ونسير باتجاه تصاعدي، لأن ذلك يتماشى مع المخططات البيانية التي سنرسمها. إذن سأكتب ذلك بالطريقة العكسية. سبعة أقل من أو يساوي ﺱ أقل من ٢٥. إذن فقد عكسنا الأجزاء وعكسنا العلامات كلها أيضًا. إذن لنمثل ذلك على خط الأعداد. القيمتان الحرجتان هما سبعة و٢٥. لقد حددناهما على خط الأعداد، والآن علينا محاولة تحديد قيم ﺱ. ‏ﺱ أكبر من أو يساوي سبعة. بما أنه من الممكن أن يساوي، إذن نضع دائرة مصمتة. وبما أنها علامة أكبر من، إذن فقيم ﺱ تقع على يمين ذلك. ‏ﺱ لا يمكن أن يساوي ٢٥، لذا نضع دائرة مفرغة فوقه. لكن لا بد أنه أقل من ٢٥، لذا نتجه إلى يسار العدد. سيتصل إذن هذا الخط بهذا الخط هنا، وهذه هي الفترة.

باستخدام الفترات، سبعة و٢٥ هما طرفا الفترة. وبما أن ﺱ لا يمكن أن يساوي ٢٥، سنستخدم قوسًا مفتوحا هنا. ولأنه يمكن أن يساوي سبعة، سنستخدم قوسًا مغلقا لتوضيح ذلك.

وباستخدام رمز المجموعة، إنها مجموعة قيم ﺱ حيث ﺱ عدد حقيقي يقع بين سبعة، ويمكن أن يساويه، وبين ٢٥.

بالنسبة للسؤال الثاني، أوجد جميع قيم ﺱ التي تحقق اثنان ﺱ أقل من خمسة ﺱ زائد تسعة أقل من اثنين ﺱ زائد ٣٩. إذن لدينا متباينة خطية مركبة أخرى نريد حلها. سنتبع طريقة الحل السابقة، ونحاول أن نعزل ﺱ بمفرده في الوسط. نجد أن لدينا اثنين ﺱ هنا، وخمسة ﺱ هنا، واثنين ﺱ هنا. إذا طرحنا اثنين ﺱ من كل الأجزاء، وبطرح القيمة نفسها من كل الأجزاء تظل المتباينة كما هي، فإن ذلك سيخلصنا من ﺱ على اليمين وعلى اليسار. إذن على اليمين، لدينا اثنان ﺱ ناقص اثنين ﺱ، هذا يعطينا صفرًا. وهذه علامة أقل من. خمسة ﺱ ناقص اثنين ﺱ يساوي ثلاثة ﺱ، وما زال لدينا موجب تسعة. واثنان ﺱ ناقص اثنين ﺱ يساوي صفرًا، ويظل لدينا ٣٩. إذن، صفر أقل من ثلاثة ﺱ زائد تسعة أقل من ٣٩. الآن نريد أن نعزل ﺱ بمفرده، لذا سنتخلص من موجب تسعة وسنتخلص من الضرب في ثلاثة. إذن أولًا سنطرح تسعة من كل الأجزاء. صفر ناقص تسعة يساوي سالب تسعة، ثلاثة ﺱ زائد تسعة ناقص تسعة يساوي ثلاثة ﺱ فقط، ثم ٣٩ ناقص تسعة يساوي ٣٠. وأخيرًا، لدينا ثلاثة في ﺱ، لذا علينا قسمة كل الأجزاء على ثلاثة، ليصبح لدينا واحد فقط في ﺱ. ثلث سالب تسعة يساوي سالب ثلاثة، وثلث ثلاثة ﺱ يساوي واحد ﺱ، وثلث ٣٠ يساوي ١٠. إذن، سالب ثلاثة أقل من ﺱ أقل من ١٠. ها هي الإجابة الأولى.

الآن سنأخذ هذه المتباينة، ونرسم خط الأعداد، أو المخطط البياني. إننا نبحث عن قيم ﺱ، والقيمتان الحرجتان هما سالب ثلاثة و١٠. سنضع أيضًا صفرًا بينهما في مكان ما هنا. ‏ﺱ سيكون أكبر من سالب ثلاثة، حيث الطرف الأكبر للعلامة، علامة التباين، هو ﺱ، والطرف الأصغر هو سالب ثلاثة. إذن ﺱ يقع على يمين سالب ثلاثة، ولا يمكن أن يساوي ثلاثة، لذا نضع دائرة مفرغة فوق سالب ثلاثة. ‏ﺱ أقل من ١٠، ولا يمكن أن يساوي ١٠، لذا نضع دائرة مفرغة فوق العدد ١٠. لكن من الممكن أن يكون ﺱ أي قيمة بين هاتين القيمتين. ها هو إذن الحل باستخدام خط الأعداد.

وباستخدام الفترات، مرة أخرى، القيمتان الحرجتان هما سالب ثلاثة في طرف، و١٠ في الطرف الآخر. وفي كلا الطرفين، ليس هناك مساواة، لذا سنضع قوسين مفتوحين حولهما.

وباستخدام رمز المجموعة، لدينا مجموعة قيم ﺱ؛ حيث ﺱ عدد حقيقي ويقع بين سالب ثلاثة و١٠، ولا يساوي سالب ثلاثة و١٠. إذن فهذه الفترات يمكن أن تمتد إلى الجزء السالب من خط الأعداد.

والآن لننتقل إلى عالم الكسور.

علينا إيجاد جميع قيم ﺱ التي تحقق اثنان وثلثان ناقص ﺱ أقل من أو يساوي اثنين أقل من أو يساوي ثلاثة ونصف ناقص ﺱ. إذن لدينا ﺱ هنا وهنا، لكننا نريد ﺱ هنا، حبذا. بالتالي سنتخلص من ﺱ في الجزئين الخارجيين. ببساطة سنضيف ﺱ إلى كل الأجزاء. اثنان وثلثان ناقص ﺱ زائد ﺱ يساوي اثنين وثلثين فقط، وهذا أقل من أو يساوي اثنين. إذا أضفنا ﺱ هنا، فسنحصل على اثنين زائد ﺱ، وإذا أضفنا ﺱ إلى الجزء الأخير، ثلاثة ونصف ناقص ﺱ زائد ﺱ يساوي ثلاثة ونصف فقط. ها قد تخلصنا من ﺱ في الجزئين الخارجيين وحصلنا على ﺱ في الوسط. كل ما علينا فعله هو طرح اثنين من كل الأجزاء ليتبقى ﺱ بمفرده في الوسط. اثنان وثلثان ناقص اثنين يساوي ثلثين، واثنان زائد ﺱ ناقص اثنين يساوي ﺱ، وثلاثة ونصف ناقص اثنين يساوي واحدًا ونصفًا.

ها هي المتباينة الخطية المركبة المبسطة وهي تتضمن كسورًا هذه المرة. إذن برسم المخطط البياني، نريد تحديد قيم ﺱ، والقيمتان الحرجتان هما ثلثان وواحد ونصف. ويمكننا وضع صفر هنا، إذا أردنا أيضًا. ويمكننا حتى وضع واحد هنا أيضًا، إذا أردنا، لكنه ليس ضروريًّا. ولأن ﺱ من الممكن أن يساوي ثلثين، فسنضع دائرة مصمتة. ولأنه من الممكن أن يساوي واحدًا ونصفًا، فسنضع دائرة مصمتة أيضًا. وقيمة ﺱ يمكن أن تكون أي قيمة بين العددين، وبذلك سيكون المخطط البياني بهذا الشكل.

باستخدام الفترات، ثلثان وواحد ونصف هما طرفا الفترة. كل من هاتين القيمتين متضمنة، لذا سنستخدم الأقواس المغلقة لنوضح أنهما تنتميان إلى الفترة.

ثم باستخدام رمز المجموعة، لدينا مجموعة قيم ﺱ؛ حيث ﺱ عدد حقيقي ويقع بين ثلثين وواحد ونصف. ويمكن أن يساوي ثلثين وواحدًا ونصفًا.

ثم لدينا مثال آخر، أوجد جميع قيم ﺱ التي تحقق المتباينتين ثلاثة ﺱ زائد خمسة أقل من ١١ أو اثنان ﺱ ناقص ثلاثة أكبر من أو يساوي سبعة. إذن لدينا هنا منطقتان مختلفتان، وعندما نبدأ الحل ونبسطهما، سنرى ذلك عمليًّا. عندما يكون لدينا متباينتان كهاتين، علينا تبسيط كل منهما على حدة. أحيانًا تستطيع دمجهما في متباينة مركبة وأحيانًا لا تستطيع. إذن لنبدأ الحل. سنحل المتباينة التي على اليمين أولًا. لدينا ثلاثة ﺱ زائد خمسة أقل من ١١. إذا طرحنا خمسة من كلا الطرفين، فسيتبقى لدينا ثلاثة ﺱ فقط في الطرف الأيمن. إذن ثلاثة ﺱ أقل من ستة. الآن إذا قسمنا الطرفين على ثلاثة، نعلم أن ﺱ سيكون أقل من اثنين. لنلق نظرة الآن على المتباينة الأخرى. أولًا سنضيف ثلاثة إلى كلا الطرفين، للتخلص من سالب ثلاثة في الطرف الأيمن. تذكر أنه يمكننا فعل ذلك؛ يمكننا إضافة ثلاثة بدلًا من طرح خمسة، لأن هذه متباينة منفصلة تمامًا. إضافة ثلاثة إلى كلا الطرفين تعطينا اثنان ﺱ أكبر من أو يساوي ١٠. وبالقسمة على اثنين نجد أن ﺱ أكبر من أو يساوي خمسة. إذن ﺱ يمكن أن يكون أقل من اثنين ويمكن أن يكون أكبر من أو يساوي خمسة. إذن اثنان وخمسة هما القيمتان الحرجتان. ‏ﺱ يمكن أن يكون أكبر من أو يساوي خمسة، بالتالي يمكن أن يساوي خمسة أو أكبر منه؛ لذا سيقع في هذه المنطقة هنا. وﺱ لا يمكن أن يساوي اثنين لكن يمكن أن يكون أقل منه؛ لذا سيقع في هذه المنطقة هنا. إذن فمنطقة الحل غير متصلة، لذا يجب تمثيلها باعتبارها متباينتين منفصلتين. إذن القيم الممكنة لـ ﺱ أقل من اثنين أو أكبر من أو يساوي خمسة.

في هذه الحالة، باستخدام رمز الفترة، علينا تمثيل فترتين مختلفتين ثم نوضح أن الحل عبارة عن اتحادهما. المتباينة التي على اليمين تتضمن الأعداد من سالب ما لا نهاية حتى اثنين. والمتباينة التي على اليسار تتضمن الأعداد من خمسة حتى موجب ما لا نهاية. لكن علينا الانتباه إلى ما إذا كان العددان اثنان وخمسة متضمنين. ها قد كتبنا القيم الحرجة وسنضع رمز الاتحاد. ما لا نهاية تحاط دائمًا بقوس مفتوح. العدد اثنان غير متضمن، لذا نضع عنده قوسًا مفتوحا. لكن العدد خمسة متضمن، لذا نضع عنده قوسًا مغلقا. إذن هكذا نمثل هذه الإجابة باعتبارها اتحاد فترتين.

وباستخدام رمز المجموعة، لدينا مجموعة قيم ﺱ؛ حيث ﺱ عدد حقيقي، وﺱ أقل من اثنين أو ﺱ أكبر من أو يساوي خمسة.

إذن لنلخص ما تعلمناه عن المتباينات الخطية المركبة. يمكننا إضافة العدد نفسه إلى كل الأجزاء أو طرحه منها. في هذه المسألة، أضفنا ﺱ إلى كل الأجزاء، لكن كان يمكننا إضافة خمسة إلى كل منها. وما دمنا نجمع العدد نفسه أو نطرحه، ستظل المتباينة كما هي. ورأينا أيضًا أنه يمكننا الضرب في اثنين أو نصف أو ثلاثة؛ إذ يمكننا ضرب كل الأجزاء أو قسمتها على العدد نفسه، وستظل المتباينة كما هي. ومع ذلك فالأمر الذي يجب الانتباه إليه هو أننا إذا ضربنا في عدد سالب أو قسمنا عليه، عندئذ علينا عكس العلامات لتشير إلى الاتجاه المعاكس. والهدف من عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة هذه، هو عزل ﺱ بمفرده في الجزء الأوسط من المتباينة الخطية المركبة. وأخيرًا، يمكنك استخدام رمز الفترة، أو المخطط البياني، أو خط الأعداد، أو رمز المجموعة، أو رمز التباين، باعتبارها خيارات أو طرقًا مختلفة لتقديم الإجابة.