فيديو: امتحان الجبر والهندسة الفراغية الدور الثاني للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الرابع أ

امتحان الجبر والهندسة الفراغية الدور الثاني للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الرابع أ

٠٧:١٦

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ع يساوي ستة عشر على، واحد ناقص الجذر التربيعي لثلاثة في ت، فاكتب ع في الصورة المثلثية. ثم أوجد جذوره التكعيبية في الصورة الأسية.

عشان نكتب العدد ع في الصورة المثلثية، محتاجين أول حاجة نخلّيه على الصورة الجبرية: ع بتساوي س زائد ص في ت. فإذا كان العدد ع بيساوي ستاشر على، واحد ناقص الجذر التربيعي لتلاتة في ت، فهنضرب في مرافق المقام للتخلُّص من العدد التخيلي. يعني هنضرب في واحد زائد الجذر التربيعي لتلاتة في ت، الكل على واحد زائد الجذر التربيعي لتلاتة في ت. ده هيساوي ستاشر في، واحد زائد الجذر التربيعي لتلاتة في ت. الكل على، واحد ناقص الجذر التربيعي لتلاتة في ت، الكل في واحد زائد الجذر التربيعي لتلاتة في ت.

هنلاحظ إن حاصل الضرب في المقام هيساوي الفرق بين مربعين. يعني هيساوي واحد تربيع ناقص الجذر التربيعي لتلاتة في ت الكل تربيع. واحد تربيع هيساوي واحد. والجذر التربيعي لتلاتة في ت الكل تربيع، هيساوي الجذر التربيعي لتلاتة تربيع في ت تربيع. والجذر التربيعي لتلاتة تربيع هيساوي تلاتة. وَ ت تربيع هيساوي سالب واحد. يعني المربع التاني هيساوي تلاتة في سالب واحد. يعني المقام هيساوي واحد ناقص … تلاتة في سالب واحد، يعني سالب تلاتة. واحد ناقص سالب تلاتة، هيساوي أربعة. وباستخدام التبسيط، المقدار هيساوي أربعة في، واحد زائد الجذر التربيعي لتلاتة في ت. يعني العدد على الصورة الجبرية هيساوي أربعة زائد، أربعة في الجذر التربيعي لتلاتة في ت.

بعد كده عشان نكتب العدد على الصورة المثلثية أو القطبية، محتاجين نوجد سعة العدد، ومقياسه. سعة العدد بتساوي الدالة العكسية لِـ ظا ص على س. ومقياس العدد بيساوي الجذر التربيعي لِـ س تربيع زائد ص تربيع. س في العدد المركب المعطى بتساوي أربعة. وَ ص بتساوي أربعة في الجذر التربيعي لتلاتة. وممكن نلاحظ إن العددين أكبر من الصفر. وده معناه إن Θ تقع في الربع الأول. فَـ Θ هتساوي الدالة العكسية لِـ ظا أربعة في الجذر التربيعي لتلاتة، على أربعة. وباستخدام التبسيط Θ أو سعة العدد هتساوي الدالة العكسية لِـ ظا الجذر التربيعي لتلاتة. اللي بيساوي 𝜋 على تلاتة.

أمّا مقياس العدد ل هيساوي الجذر التربيعي لأربعة تربيع، زائد أربعة في الجذر التربيعي لتلاتة الكل تربيع. أربعة في الجذر التربيعي لتلاتة الكل تربيع هتساوي أربعة تربيع في الجذر التربيعي لتلاتة تربيع. يبقى ده هيساوي الجذر التربيعي لأربعة تربيع، اللي بتساوي ستاشر. زائد أربعة تربيع، اللي بتساوي ستاشر. في الجذر التربيعي لتلاتة تربيع، اللي بيساوي تلاتة. وده هيساوي الجذر التربيعي لأربعة وستين، اللي بيساوي تمنية.

الصيغة العامة للعدد المركب على الصورة المثلثية، هي: ع بتساوي ل في، جتا Θ زائد ت في جا Θ. وبالتعويض بقيم Θ وَ ل اللي أوجدناها، هيبقى العدد المركب المعطى على الصورة: تمنية في، جتا 𝜋 على تلاتة زائد ت في جا 𝜋 على تلاتة. وبكده نبقى أوجدنا المطلوب الأول.

المطلوب التاني إننا نوجد الجذور التكعيبية للعدد في الصورة الأسية. وعشان نوجدها هنستخدم نظرية ديموافر. فهيبقى الجذر التكعيبي لِـ ع بيساوي ع أُس، واحد على تلاتة، بيساوي الجذر التكعيبي لِـ ل مضروب في … جتا Θ زائد اتنين 𝜋 ر على ك، زائد ت في جا Θ زائد اتنين 𝜋 ر على ك. حيث ك هو مقام الأُس النسبي، وَ ر بتساوي صفر، واحد، اتنين، وهكذا … وسالب واحد، سالب اتنين، وهكذا … فهنختار تلات قيم متتالية لِـ ر، ولْتكن سالب واحد، وصفر، وواحد. وهنعوّض بقيم ك وَ ر في صيغة ديموافر، للوصول للجذور التكعيبية.

ك في الحالة دي، بما إن مطلوب الجذور التكعيبية، بتساوي تلاتة. فلمّا ر هتساوي واحد، هيبقى الجذر التكعيبي لِـ ع بيساوي الجذر التكعيبي لتمنية مضروب في … جتا 𝜋 على تلاتة زائد اتنين 𝜋 في واحد الكل على تلاتة، زائد ت في جا 𝜋 على تلاتة زائد اتنين 𝜋 في واحد الكل على تلاتة. الجذر التكعيبي لتمنية بيساوي اتنين. فهنبسّط المقدار ده. فممكن نقول إنه هيساوي 𝜋 على تلاتة على تلاتة، زائد اتنين 𝜋 في واحد، على تلاتة. يعني هيساوي 𝜋 على تسعة، زائد اتنين 𝜋 على تلاتة.

فهنوحّد المقامات. فهيبقى المقدار بيساوي 𝜋 زائد ستة 𝜋 الكل على تسعة. يعني هيساوي سبعة 𝜋 على تسعة. يبقى لمّا ر هتساوي واحد، الجذر التكعيبي لِـ ع هيساوي اتنين في جتا سبعة 𝜋 على تسعة، زائد ت في جا سبعة 𝜋 على تسعة. نكرّر نفس الخطوات لمّا ر بتساوي صفر، ولمّا ر بتساوي سالب واحد. يبقى كده أوجدنا الجذور التكعيبية التلاتة في الصورة القطبية. والمطلوب إيجادهم في الصورة الأسية.

حسب صيغة أويلر، فالعدد المركب اللي على الصورة القطبية: ل في جتا Θ زائد ت في جا Θ … هتبقى صورته الأسية هي ل في هـ أُس Θ ت. وبالتالي الصورة الأسية للجذر التكعيبي الأول، هتساوي اتنين في هـ أُس سبعة 𝜋 على تسعة في ت. والصورة الأسية للجذر التكعيبي التاني، هي اتنين في هـ أُس 𝜋 على تسعة في ت. والصورة الأسية للجذر التكعيبي التالت، هي اتنين في هـ أُس سالب خمسة 𝜋 على تسعة في ت. وبكده نبقى أوجدنا الجذور التكعيبية للعدد المركب في الصورة الأسية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.