نسخة الفيديو النصية
أوجد قيم ﺟ التي تجعل الدالة ﺩ متصلة عند ﺱ يساوي ﺟ، حيث الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين زائد ﺱ تربيع لكل ﺱ أقل من أو يساوي ﺟ؛ وسالب ثلاثة ﺱ لكل ﺱ أكبر من ﺟ.
لكي تكون الدالة ﺩﺱ متصلة عندما يكون ﺱ يساوي ﺟ، يجب أن تتحقق ثلاثة معايير. أولًا، لا بد أن تكون ﺩﺟ موجودة، أي، أن تكون الدالة ﺩﺱ معرفة عندما يكون ﺱ يساوي ﺟ. ثانيًا، لا بد أن تكون نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺟ موجودة، بحيث تكون النهايتان اليسرى واليمنى موجودتين ومتساويتين. وثالثًا، لا بد لنهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺟ أن تساوي ﺩﺟ.
دعنا نتحقق من هذه الأمور واحدًا تلو الآخر. أولًا، يلزم أن تكون ﺩﺟ موجودة. حسنًا، عندما يكون ﺱ أقل من أو يساوي ﺟ، ما يتضمن أن يكون ﺱ يساوي ﺟ، فإن ﺩﺱ تساوي اثنين زائد ﺱ تربيع. إذن، ﺩﺟ تساوي اثنين زائد ﺟ تربيع. وهي بالتالي تكون معرفة لأي قيمة حقيقية لـ ﺟ، ومن ثم، يتحقق المعيار الأول.
والآن، ننتقل إلى التأكد من أن نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺟ موجودة. أولًا، نحسب قيمة النهاية اليسرى، أي، نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺟ من الاتجاه الأقل. بالنسبة لهذه النهاية من جهة واحدة، فإننا لا يعنينا إلا قيم ﺱ الأقل من ﺟ، وبالتالي، تكون الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين زائد ﺱ تربيع. ونحسب قيمة هذه النهاية عن طريق التعويض المباشر، عن ﺱ بـ ﺟ لنحصل على اثنين زائد ﺟ تربيع. والآن، علينا إيجاد قيمة النهاية من الجهة الأخرى، أي، نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺟ من الاتجاه الأعلى. عندما يكون ﺱ أكبر من ﺟ، فإن الدالة ﺩﺱ تساوي سالب ثلاثة ﺱ. إذن، هذه نهاية سالب ثلاثة ﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺟ، وهي تساوي سالب ثلاثة ﺟ. هكذا أثبتنا أن النهايتين في الجهتين موجودتان، إلا أنه لكي تكون نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺟ موجودة، فلا بد أن تكون قيمتا هاتين النهايتين في الجهتين متساويتين. اثنان زائد ﺟ تربيع لا بد وأن تساوي سالب ثلاثة ﺟ.
دعونا نخل بعض المساحة ونحل هذه المعادلة. أولًا، نضيف ثلاثة ﺟ لكلا الطرفين ونعيد ترتيب الحدود. لدينا الآن معادلة تربيعية في المتغير ﺟ بالصورة التي اعتدنا على حلها. يمكننا تحليل هذه المعادلة التربيعية بمجرد النظر، وبالتالي، يمكننا أن نرى أن حلي المعادلة هما ﺟ يساوي سالب واحد وﺟ يساوي سالب اثنين. بالطبع، كان من الممكن أن نستخدم طريقة مختلفة، قد تكون إكمال المربع أو تطبيق الصيغة العامة لحل المعادلة التربيعية. وكنا سنحصل على نفس الحلين. إذن، هاتان هما قيمتا ﺟ، اللتان ستجعلان نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺟ موجودة.
الشيء الوحيد المتبقي للتحقق منه هو أن نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺟ تساوي ﺩﺟ. تذكر أن اثنين زائد ﺟ تربيع كانت نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺟ من الاتجاه الأقل وأن سالب ثلاثة ﺟ كانت نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺟ من الاتجاه الأعلى. وأثبتنا أن هاتين النهايتين تكونان متساويتين عند ﺟ يساوي سالب واحد أو سالب اثنين. وعندما تكونان متساويتين، فإنه من المنطقي الحديث عن نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺟ. لنجرب أولًا ﺟ يساوي سالب واحد. في هذه الحالة، تكون نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺟ من الاتجاه الأقل هي اثنان زائد سالب واحد تربيع بالتعويض المباشر، وهو ما يساوي ثلاثة. كذلك سنعوض تعويضًا مباشرًا لإيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺟ من الاتجاه الأعلى، ونحصل على سالب ثلاثة في سالب واحد، وهو ما يساوي أيضًا ثلاثة. وبما أن هاتين النهايتين في الجهتين متساويتان، فيمكننا القول إن نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺟ تساوي ثلاثة. لكي يتحقق المعيار الثالث، يجب أن تساوي هذه النهاية قيمة الدالة ﺩﺟ. وﺩﺟ تساوي اثنين زائد ﺟ تربيع، إذن، عندما يساوي ﺟ سالب واحد، فإن ﺩﺟ يساوي اثنين زائد سالب واحد تربيع، وهو ما يساوي ثلاثة. ويمكننا أن نرى أن المعيار الثالث تحقق، حيث إن نهاية الدالة ﺩﺟ عندما يقترب ﺱ من ﺟ تساوي ﺩﺟ عندما يكون ﺟ يساوي سالب واحد.
الآن، ليس علينا سوى التأكد بالتعويض عن ﺟ بسالب اثنين. عند ﺟ يساوي سالب اثنين، وبما أننا نعلم أن قيمتي النهايتين في الجهتين متساويتان، فإن نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺟ تساوي قيمة إحدى النهايتين في إحدى الجهتين. سنختار نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺟ من الاتجاه الأقل، التي تساوي اثنين زائد ﺟ تربيع. وبالتعويض بقيمة ﺟ، سالب اثنين، نحصل على اثنين زائد سالب اثنين تربيع، وهو ما يساوي ستة. وبالطبع، يمكنك التحقق أن ذلك ما سنحصل عليه تمامًا بالتعويض المباشر في النهاية من الجهة الأخرى. ما قيمة ﺩﺟ في هذه الحالة؟ حسنًا، ﺩﺟ تساوي أيضًا اثنين زائد ﺟ تربيع. وبالتعويض بسالب اثنين، نحصل على القيمة ستة. ومرة أخرى، تحقق المعيار الثالث. إذن، نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺟ تساوي ﺩﺟ، وكلاهما يساوي ستة عند ﺟ يساوي سالب اثنين. إذن، في هذه الحالة، فإن نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺟ تساوي ﺩﺟ ما دامت نهاية الدالة ﺩﺱ عندما يقترب ﺱ من ﺟ موجودة؛ أي، عند ﺟ يساوي سالب واحد أو سالب اثنين.
بالتالي، توجد قيمتان لـ ﺟ تجعلان الدالة ﺩ متصلة عندما يكون ﺱ يساوي ﺟ، وهما ﺟ يساوي سالب واحد وﺟ يساوي سالب اثنين.
