نسخة الفيديو النصية
أي من الآتي يمثل متتابعة هندسية؟ (أ) ﺡﻥ يساوي ثلاثة في ﻥ زائد ثلاثة تربيع؛ حيث ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا. (ب) ﺡﻥ يساوي ﻥ في ثلاثة أس ﻥ ناقص واحد؛ حيث ﻥ أكبر من أو يساوي اثنين. (ج) ﺡﻥ يساوي ﻥ في ﻥ زائد اثنين تربيع؛ حيث ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا. (د) ﺡﻥ يساوي خمسة في ﺡﻥ ناقص واحد؛ حيث ﻥ أكبر من أو يساوي اثنين.
سنبدأ باسترجاع أن المتتابعة الهندسية هي متتابعة بها نسبة ثابتة بين حدودها المتتالية. دعونا نتناول الآن كل متتابعة من المتتابعات الموضحة في خيارات الإجابة المعطاة بالترتيب. سيكون من المفيد إيجاد بعض الحدود الأولى في كل متتابعة لمعرفة إذا ما كانت هناك نسبة ثابتة بين الحدود.
دعونا نبدأ بالمتتابعة المعطاة في الخيار (أ)، وحدها النوني أو ﺡﻥ يساوي ثلاثة في ﻥ زائد ثلاثة تربيع. سنوجد الحد الأول في هذه المتتابعة عندما يكون ﻥ مساويًا لواحد. هذا يعني أنه يمكننا حساب الحد الذي دليله واحد بالتعويض بقيمة ﻥ التي تساوي واحدًا. وعليه، فإن ﺡ واحد يجب أن يساوي ثلاثة في واحد زائد ثلاثة تربيع. يمكننا تبسيط واحد زائد ثلاثة إلى أربعة. وبعد ذلك، نحسب ثلاثة في أربعة تربيع. حسنًا، نحن نعلم أن أربعة تربيع يساوي ١٦. وعندما نضرب هذا العدد في ثلاثة، فإننا نحصل على قيمة تساوي ٤٨. هذا يعني أن هذه المتتابعة ستبدأ بقيمة تساوي ٤٨.
والآن، دعونا نوجد الحد الذي دليله اثنان. هذه المرة، سنحسب ثلاثة في اثنين زائد ثلاثة تربيع. عندما نبسط اثنين زائد ثلاثة، فإننا نحصل على خمسة، ونحن نعلم أن خمسة تربيع يساوي ٢٥. وبهذا، نجد أن الحد الثاني في المتتابعة هو ٧٥. سنوجد بعد ذلك حدًّا آخر في هذه المتتابعة، وهو ﺡ ثلاثة. عندما نحسب ثلاثة في ثلاثة زائد ثلاثة تربيع، نحصل على قيمة تساوي ١٠٨. دعونا الآن نتناول هذه الحدود الثلاثة الأولى في المتتابعة لمعرفة إذا ما كان يمكننا إيجاد النسبة بين الحد الأول والحد الثاني والنسبة بين الحد الثاني والحد الثالث.
إذا كانت هاتان النسبتان متساويتين، فإن هذا يعني أن المتتابعة هي متتابعة هندسية. حسنًا، إذا ضربنا الحد الأول، وهو ٤٨، في الكسر ٧٥ على ٤٨، فسنحصل على الحد الثاني، وهو ٧٥. يمكننا تبسيط هذا الكسر إلى ٢٥ على ١٦. بعد ذلك، للانتقال من الحد الثاني إلى الحد الثالث، فإننا نضرب في ١٠٨ على ٧٥. عندما نبسط هذا الكسر، نحصل على ٣٦ على ٢٥. يمكننا هنا بسهولة ملاحظة أن هاتين النسبتين غير متساويتين. وبما أنهما غير متساويتين، فهذا يعني أنه لا توجد نسبة ثابتة بين الحدود المتتالية. ومن ثم، فإن المتتابعة في الخيار (أ) ليست متتابعة هندسية.
يمكننا اتباع الطريقة نفسها لمعرفة إذا ما كانت المتتابعة المعطاة في الخيار (ب) هي متتابعة هندسية. في هذه المتتابعة، نلاحظ أن الدليل هو ﻥ أكبر من أو يساوي اثنين. هذا يعني أننا سنبدأ بالحد ﺡ اثنين. وعليه، عندما نعوض بقيمة ﻥ التي تساوي اثنين في صيغة الحد النوني، فإننا نحصل على اثنين في ثلاثة أس اثنين ناقص واحد. وبتبسيط ذلك، نحصل على القيمة ستة. لإيجاد الحد التالي، أي الحد الذي دليله ثلاثة، سنحسب ثلاثة في ثلاثة أس ثلاثة ناقص واحد. وعندما نبسط ذلك، نحصل على الناتج ٢٧.
بعد ذلك، نجد أن الحد الذي دليله أربعة يساوي ١٠٨. يمكننا الآن حساب النسبتين بين هذه الحدود. النسبة الأولى هي ٢٧ على ستة. ويمكن تبسيط ذلك إلى تسعة على اثنين. النسبة التالية بين الحدين ١٠٨ و٢٧ ستبسط إلى أربعة. إذا كانت هاتان النسبتان متساويتين، فإن هذا يعني أن المتتابعة هي متتابعة هندسية. لكن بما أنهما غير متساويتين، سنستبعد الخيار (ب).
بالنسبة إلى الحد النوني في الخيار (ج)، نلاحظ أن الدليل هنا هو ﻥ أكبر من أو يساوي واحدًا. لذا، دعونا نحسب الحدود ﺡ واحد وﺡ اثنين وﺡ ثلاثة. عندما نعوض بـ ﻥ يساوي واحدًا واثنين وثلاثة في صيغة الحد النوني، فإننا نحصل على القيم تسعة و٣٢ و٧٥. سنوجد مرة أخرى النسبتين بين هذه الحدود الثلاثة. سنجد أنهما تساويان ٣٢ على تسعة و٧٥ على ٣٢. لا يمكن تبسيط أي من هذين الكسرين أكثر من ذلك. ونلاحظ أنهما غير متساويين. لذا، فإن المتتابعة في الخيار (ج) ليست متتابعة هندسية.
وأخيرًا، دعونا نلق نظرة على المتتابعة المعطاة في الخيار (د). تختلف هذه المتتابعة قليلًا؛ حيث إنها مثال على متتابعة تكرارية. بما أن الحد النوني يساوي ﺡﻥ، فإن الحد ﺡﻥ ناقص واحد هو الحد الذي يسبق ﺡﻥ. إذا أردنا وصف هذا الحد النوني بالكلمات، يمكننا قول إننا نوجد أي حد ﺡﻥ بضرب الحد الذي يسبقه في خمسة. إذا أردنا إيجاد الحدود الأولى في هذه المتتابعة، فقد تواجهنا مشكلة بسيطة. وهذا لأنه على الرغم من أننا نعلم أن الدليل ﻥ أكبر من أو يساوي اثنين، فعندما نوجد ﺡ اثنين، فإننا نعرف أنه يجب أن يساوي خمسة في ﺡ واحد.
لكننا لا نعرف قيمة ﺡ واحد. عادة عندما يكون الحد النوني للمتتابعة مكتوبًا بصيغة تكرارية، علينا أن نعرف قيمة الحد الأول في المتتابعة أو الحد الذي دليله واحد. لذا، دعونا نر إذا ما كان هذا مهمًّا في هذا السؤال.
حسنًا، نحن نعلم أن حدود المتتابعة ستكون ﺡ اثنين وﺡ ثلاثة وﺡ أربعة. ﺡ اثنان يساوي خمسة ﺡ واحد وﺡ ثلاثة يساوي خمسة ﺡ اثنين وﺡ أربعة يساوي خمسة ﺡ ثلاثة. ومن ثم، فإن النسبة بين أي حدين متتاليين تساوي خمسة. هذا يعني أن لدينا متتابعة بها نسبة ثابتة بين الحدود المتتالية. إذن، الإجابة هي أن المتتابعة ﺡﻥ يساوي خمسة ﺡﻥ ناقص واحد؛ حيث ﻥ أكبر من أو يساوي اثنين، تمثل متتابعة هندسية.
