فيديو: امتحان الجبر والهندسة الفراغية الدور الثاني للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال التاسع عشر

امتحان الجبر والهندسة الفراغية الدور الثاني للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال التاسع عشر

٠٦:١٩

‏نسخة الفيديو النصية

باستخدام معكوس المصفوفة؛ حلّ نظام المعادلات الخطية الآتي: س ناقص اثنين ص يساوي خمسة. اثنين ع زائد ص يساوي س. س ناقص اثنين ع يساوي سالب واحد.

أول حاجة محتاجين نكتب نظام المعادلات على صورة معادلة مصفوفية: أ س يساوي ب. حيث أ هي مصفوفة المعامِلات، وَ س هي مصفوفة المتغيّرات، وَ ب هي مصفوفة الثوابت.

وعشان نوجد حلّ المعادلة المصفوفية، محتاجين نوجد مصفوفة المتغيّرات س؛ اللي بتتكوّن من المتغيّرات: س، وَ ص، وَ ع. وهنوجدها بالصيغة: س بتساوي معكوس المصفوفة أ في ب. وبالتالي محتاجين نوجد معكوس المصفوفة أ.

فعشان نحدّد المصفوفة أ، ومنها نوجد معكوس المصفوفة. هنعيد كتابة المعادلات بحيث إن كلها تحتوي على س، وَ ص، وَ ع؛ بالترتيب. فالمعادلات هتبقى على الصورة دي.

وبالتالي نقدر نستنتج إن المصفوفة أ هتساوي معامل س في المعادلة الأولى، اللي بيساوي واحد. بعد كده معامل ص في المعادلة الأولى، اللي بيساوي سالب اتنين. بعد كده معامل ع في المعادلة الأولى، اللي بيساوي صفر. وبنفس الطريقة مع باقي المعادلات.

وهتبقى المصفوفة س بتساوي المتغيّرات المطلوبة؛ اللي هي: س، وَ ص، وَ ع. ومصفوفة الثوابت ب هتبقى عناصرها هي القيم الثابتة في الطرف الأيسر من المعادلات بالترتيب. اللي هي: خمسة، وصفر، وسالب واحد. فهتبقى المعادلة المصفوفية بالصورة دي.

ودلوقتي نوجد معكوس المصفوفة أ. بما إن مش كل المصفوفات بيكون ليها معكوس، يبقى محتاجين في الأول نحسب محدّد المصفوفة. فإذا كان لا يساوي الصفر، يبقى المصفوفة ليها معكوس.

وعشان نوجد محدّد المصفوفة، بنضرب كل عنصر من عناصر الصف الأول في محدّد مصفوفة العوامل المرافقة ليه. فبالنسبة للواحد هتبقى مصفوفة العوامل المرافقة ليه؛ هي: واحد، اتنين، صفر، سالب اتنين. يعني لغينا عناصر الصف والعمود اللي بينتمي ليهم الواحد.

وبالنسبة لسالب اتنين؛ هتبقى: سالب واحد، اتنين، واحد، سالب اتنين. وبالنسبة للصفر؛ هتبقى: سالب واحد، واحد، واحد، صفر. ونفتكر إننا نضرب سالب اتنين في سالب واحد. وبعد كده نجمع حواصل الضرب، فهيبقى محدّد المصفوفة أ بالصورة دي.

وده هيساوي واحد في؛ واحد في سالب اتنين، ناقص اتنين في صفر. زائد اتنين في؛ سالب واحد في سالب اتنين، ناقص اتنين في واحد. زائد صفر في؛ سالب واحد في صفر، ناقص واحد في واحد. وده هيساوي سالب اتنين، يعني لا يساوي الصفر. وبالتالي المصفوفة أ ليها معكوس.

عشان نوجد معكوس المصفوفة، بنستخدم العلاقة دي. معكوس المصفوفة أ بيساوي واحد على محدّد المصفوفة أ، في المصفوفة الملحقة. المصفوفة الملحقة بتساوي مدوّر مصفوفة المرافقات.

مصفوفة المرافقات بتتكوّن من محدّدات مصفوفات العوامل المرافقة لكل عنصر من عناصر المصفوفة. مضروبة في سالب واحد أُس، ترتيب الصف زائد ترتيب العمود.

فمثلًا العنصر الأول فيها هيبقى سالب واحد أُس، واحد زائد واحد. لأن في الصف الأول، والعمود الأول. يعني سالب واحد أُس اتنين. وعناصر المحدّد هتبقى العناصر: واحد، اتنين، صفر، سالب اتنين.

والعنصر التاني هيبقى سالب واحد أُس تلاتة. وعناصر المحدّد هتبقى: سالب واحد، اتنين، واحد، سالب اتنين. وهنكرّر نفس الخطوات مع باقي العناصر.

وبعد إجراء الحسابات، مصفوفة المرافقات هتبقى بالصورة دي. وبما إن المصفوفة الملحقة بتساوي مدوّر مصفوفة المرافقات، يعني هنبدّل أماكن الصفوف مع أماكن الأعمدة في مصفوفة المرافقات. فهتبقى المصفوفة الملحقة بالصورة دي.

نعوّض بالقيم اللي أوجدناها في صيغة معكوس المصفوفة. فهيبقى معكوس المصفوفة أ بيساوي واحد على محدّد المصفوفة أ، اللي بيساوي سالب اتنين، مضروب في المصفوفة الملحقة.

وممكن نقول إن ده هيساوي واحد على اتنين، في المصفوفة: اتنين، أربعة، أربعة، صفر، اتنين، اتنين، واحد، اتنين، واحد. وبكده نبقى أوجدنا معكوس المصفوفة أ.

نعوّض بالقيم اللي أوجدناها في المعادلة المصفوفية: س بتساوي معكوس المصفوفة أ في ب. فهتبقى المصفوفة س ص ع بتساوي واحد على اتنين، في المصفوفة: اتنين، أربعة، أربعة، صفر، اتنين، اتنين، واحد، اتنين، واحد. في المصفوفة: خمسة، صفر، سالب واحد.

وبضرب المصفوفتين؛ ده هيساوي واحد على اتنين، في المصفوفة: ستة، سالب اتنين، أربعة. يعني هيساوي المصفوفة: تلاتة، سالب واحد، اتنين. فهيبقى العنصر المقابل للمتغيّر س، هو: تلاتة. وللمتغيّر ص، هو: سالب واحد. وللمتغيّر ع، هو: اتنين.

يعني حلّ نظام المعادلات؛ هو إن س بتساوي تلاتة، وَ ص بتساوي سالب واحد، وَ ع بتساوي اتنين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.