فيديو: النموذج التجريبي الثاني • الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٩ • السؤال التاسع عشر

النموذج التجريبي الثاني • الجبر والهندسة الفراغية • ٢٠١٩ • السؤال التاسع عشر

٠٦:٠٥

‏نسخة الفيديو النصية

باستخدام معكوس المصفوفة، حُل نظام المعادلات الخطية الآتي. اثنان س زائد ص يساوي سالب واحد. ثلاثة س زائد اثنان ص ناقص ع يساوي سالب خمسة. اثنان ع زائد ص يساوي واحد.

أول حاجة نكتب نظام المعادلات على صورة معادلة مصفوفية في الصورة: أ س تساوي ب. حيث أ هي مصفوفة المعاملات، وَ س هي مصفوفة المتغيرات، وَ ب هي مصفوفة الثوابت. وعشان نوجد حل المعادلة المصفوفية، محتاجين نوجد قيم عناصر مصفوفة المتغيرات. فهنوجدها باستخدام الصيغة: س بتساوي معكوس المصفوفة أ في ب. وبالتالي محتاجين نوجد معكوس المصفوفة أ.

فأول حاجة هنحدّد المصفوفة أ عشان نوجد معكوسها. وده بإننا هنعيد كتابة المعادلات؛ بحيث إنها تحتوي على س وَ ص وَ ع بالترتيب. فالمعادلات هتبقى في الصورة دي. وبالتالي مصفوفة المعاملات أ هتساوي معامل س في المعادلة الأولى، اللي هو اتنين. بعد كده معامل ص في المعادلة الأولى، اللي هو واحد. بعد كده معامل ع في المعادلة الأولى، اللي هو صفر. وبنفس الطريقة مع باقي المعادلات. ومصفوفة المتغيرات س هتبقى عناصرها: س، وَ ص، وَ ع. أما مصفوفة الثوابت ب، فهتبقى عناصرها هي القيم الثابتة في الطرف الأيسر من المعادلات بالترتيب. يعني سالب واحد، وسالب خمسة، وواحد.

بعد كده نوجد معكوس المصفوفة أ. وبما إن مش كل المصفوفات بيكون ليها معكوس، يبقى محتاجين نوجد في الأول محدّد المصفوفة أ. فإذا كان لا يساوي صفر، فده معناه إن المصفوفة ليها معكوس. وعشان نوجد محدّد المصفوفة، بنضرب كل عنصر من عناصر الصف الأول، في محدّد مصفوفة العوامل المرافقة ليه. فبالنسبة لاتنين، هتبقى عناصر مصفوفة العوامل المرافقة ليه هي: اتنين، وسالب واحد، وواحد، واتنين. وبالنسبة لواحد، هتبقى: تلاتة، وسالب واحد، وصفر، واتنين. وبالنسبة لصفر، هتبقى: تلاتة، واتنين، وصفر، وواحد. وما ننساش نضرب الواحد في سالب واحد.

فده هيساوي اتنين في؛ اتنين في اتنين، ناقص سالب واحد في واحد. ناقص؛ تلاتة في اتنين، ناقص سالب واحد في صفر. وده هيساوي عشرة ناقص ستة، اللي بيساوي أربعة. وده معناه إن محدّد المصفوفة أ لا يساوي صفر. وبالتالي المصفوفة ليها معكوس. عشان نوجد معكوس المصفوفة بنستخدم العلاقة: معكوس المصفوفة أ بيساوي واحد على محدّد المصفوفة أ، في المصفوفة الملحقة. المصفوفة الملحقة بتساوي مدوَّر مصفوفة المرافقات. ومصفوفة المرافقات بتتكوّن من محدِّدات مصفوفات العوامل المرافقة لكل عنصر من عناصر المصفوفة، مضروبة في سالب واحد أُس رقم الصف زائد رقم العمود.

فبالنسبة للعنصر الأول من مصفوفة المرافقات، في الحالة دي هيساوي سالب واحد أُس واحد زائد واحد. يعني سالب واحد تربيع، اللي بيساوي واحد. مضروب في محدّد المصفوفة أ اتنين اتنين، اللي بيقابل العنصر اتنين. وَ أ اتنين تلاتة، اللي بيقابل العنصر سالب واحد. وَ أ تلاتة اتنين، اللي بيقابل العنصر واحد. وَ أ تلاتة تلاتة، اللي بيقابل العنصر اتنين. وبنفس الطريقة مع باقي عناصر المصفوفة. وبعد إجراء العمليات، المصفوفة هتبقى بالصورة دي.

بعد كده نوجد المصفوفة الملحقة اللي بتساوي مدوَّر مصفوفة المرافقات. وده معناه إننا هنبدّل أماكن الصفوف مع الأعمدة. وبالتالي المصفوفة الملحقة هتساوي المصفوفة: خمسة، سالب اتنين، سالب واحد، سالب ستة، أربعة، اتنين، تلاتة، سالب اتنين، واحد. وبالتعويض بمحدّد المصفوفة أ والمصفوفة الملحقة في صيغة معكوس المصفوفة أ … معكوس المصفوفة أ هيساوي واحد على أربعة، في المصفوفة: خمسة، سالب اتنين، سالب واحد، سالب ستة، أربعة، اتنين، تلاتة، سالب اتنين، واحد.

وبالتعويض في الصيغة س بتساوي معكوس المصفوفة أ في ب … هتبقى مصفوفة المتغيرات س ص ع بتساوي واحد على أربعة، في المصفوفة: خمسة، سالب اتنين، سالب واحد، سالب ستة، أربعة، اتنين، تلاتة، سالب اتنين، واحد. في مصفوفة الثوابت: سالب واحد، سالب خمسة، واحد. وبِضَرب المصفوفتين، ده هيساوي واحد على أربعة، في المصفوفة: أربعة، سالب اتناشر، تمنية. اللي هيساوي المصفوفة: واحد، سالب تلاتة، اتنين. وبالتالي هيبقى حل نظام المعادلات إن س بتساوي واحد، وَ ص بتساوي سالب تلاتة، وَ ع بتساوي اتنين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.