نسخة الفيديو النصية
تبدأ متتابعة حسابية بالحد ﺣ واحد، وبها ﺣ٢٧ يساوي ٢٩، ويزيد مجموع الحدين الثامن والثاني عشر عن الحد الخامس عشر بمقدار سبعة. أوجد عدد الحدود التي مجموعها ٣٢٢.
نتذكر أن المتتابعة الحسابية هي متتابعة لها فرق مشترك بين حدودها (أساس المتتابعة الحسابية). سنعمل بطريقة عكسية عن طريق إيجاد تعبير يصف عددًا معينًا من حدود المتتابعة الحسابية.
لنفترض أن لدينا متتابعة حسابية حدها الأول ﺃ وأساسها ﺩ. في هذه الحالة، ﺟﻥ، الذي يصف مجموع أول عدد ﻥ من الحدود، يعطى بالعلاقة ﻥ مقسومًا على اثنين في اثنين ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد في ﺩ. في الواقع، نحن نعرف من السؤال أن الحد الأول هو ﺣ واحد. ونريد إيجاد عدد الحدود؛ أي قيمة ﻥ، حيث مجموعها يساوي ٣٢٢. لذا، سنجعل ﺟﻥ يساوي ٣٢٢. وبما أن الحد الأول في المتتابعة هو ﺣ واحد، فإن الطرف الأيسر يصبح ﻥ مقسومًا على اثنين في اثنين ﺣ واحد زائد ﻥ ناقص واحد في ﺩ.
والآن، لكي نتمكن من حساب قيمة ﻥ، علينا إيجاد قيمة ﺩ وقيمة ﺣ واحد. لدينا في السؤال بعض المعطيات التي تسمح لنا بفعل ذلك. في البداية، نعلم أن الحد رقم ٢٧ يساوي ٢٩، كما نعلم الصيغة التي تسمح لنا بإيجاد الحد النوني في أي متتابعة حسابية. وهذه الصيغة هي ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد في ﺩ. هذه المرة، سنجعل ﺣﻥ يساوي ﺣ٢٧. وهذا يساوي ٢٩. ومن ثم، يمكننا كتابة الطرف الأيسر من هذه المعادلة على الصورة ﺣ واحد زائد ﻥ ناقص واحد؛ أي ٢٧ ناقص واحد، ﺩ أو ٢٦ﺩ.
المعطى التالي لدينا هو مقارنة مجموع الحد الثامن والحد رقم ١٢ بالحد رقم ١٥. لذا، دعونا نكتب تعبيرات تدل على كل من الحد رقم ١٥ والحد الثامن والحد رقم ١٢. الحد رقم ١٥ يساوي ﺣ واحد زائد ١٥ ناقص واحد ﺩ، أو ﺣ١٤. أما الحد الثامن والحد رقم ١٢، فيساويان ﺣ واحد زائد سبعة ﺩ، وﺣ واحد زائد ١١ﺩ، على الترتيب. ونحن نعلم من السؤال أن مجموع الحد الثامن والحد رقم ١٢ معًا يزيد على الحد رقم ١٥ بمقدار سبعة. إذن، هيا نوجد مجموعهما. هذا يعطينا ﺣ واحد زائد سبعة ﺩ زائد ﺣ واحد زائد ١١ﺩ، وهو ما يساوي اثنين ﺣ واحد زائد ١٨ﺩ.
سوف نربط هذا التعبير بالتعبير الذي يدل على ﺣ١٥. نحن نعلم أن مجموع الحد الثامن والحد رقم ١٢ يساوي الحد رقم ١٥ زائد سبعة. ومن ثم، يمكننا تكوين المعادلة التالية. اثنان ﺣ واحد زائد ١٨ﺩ يساوي ﺣ واحد زائد ١٤ﺩ زائد سبعة. وإذا طرحنا ﺣ واحد و١٤ﺩ من كلا الطرفين، فسنحصل على المعادلة التالية. ﺣ واحد زائد أربعة ﺩ يساوي سبعة.
والآن، نلاحظ أن لدينا معادلتين آنيتين. يمكننا استخدام هذه المعادلة إلى جانب المعادلة التي تعبر عن الحد رقم ٢٧. دعونا نفرغ بعض المساحة لكي نتمكن من ذلك.
يمكننا إعادة ترتيب المعادلة الثانية لكي تتطابق مع صورة المعادلة الأولى. ومن ثم، نلاحظ أن معامل ﺣ واحد هو نفسه في كلتا المعادلتين. لذا، يمكننا طرح إحدى المعادلتين من الأخرى. ٢٩ ناقص سبعة يساوي ٢٢، وﺣ واحد ناقص ﺣ واحد يساوي صفرًا، و٢٦ ناقص أربعة يساوي ٢٢. إذن، نحصل على ٢٢ يساوي ٢٢ﺩ. بقسمة كلا الطرفين على ٢٢، نجد أن ﺩ يساوي واحدًا. هذا رائع؛ لأننا سنتمكن من التعويض بهذا الناتج في التعبير الذي توصلنا إليه لوصف مجموع عدد معين من الحدود.
قبل أن نفعل ذلك، دعونا نوجد قيمة ﺣ واحد. سوف نعوض بهذا الناتج في المعادلة سبعة يساوي ﺣ واحد زائد أربعة ﺩ. وعندما نفعل ذلك، نحصل على سبعة يساوي ﺣ واحد زائد أربعة في واحد، أو ﺣ واحد زائد أربعة فقط. بعد ذلك، نطرح أربعة من كلا الطرفين، ونحصل على ﺣ واحد يساوي ثلاثة.
والآن، أصبح لدينا كل المعلومات المطلوبة لوصف المتتابعة الحسابية. فنحن نعلم أن أساس المتتابعة يساوي واحدًا، وأن الحد الأول يساوي ثلاثة. كما نعلم أيضًا أننا نريد إيجاد عدد الحدود التي مجموعها ٣٢٢. لذا، دعونا نعوض بهاتين القيمتين في تلك المعادلة. هذا يعطينا ٣٢٢ يساوي ﻥ على اثنين في اثنين في ثلاثة زائد ﻥ ناقص واحد في واحد. بعد إيجاد قيم الحدود داخل القوسين، نبسط التعبير إلى خمسة زائد ﻥ.
سوف نكتب الآن بعض المعلومات الأساسية، ثم نفرغ بعض المساحة لحل هذه المعادلة. حسنًا، لحل هذه المعادلة، هيا نبدأ بالتعامل مع الكسر. سنضرب كلا طرفي المعادلة في اثنين. وهذا يعطينا ٦٤٤ يساوي ﻥ في خمسة زائد ﻥ. يمكننا بعد ذلك توزيع القوسين في الطرف الأيسر، مما يعطينا خمسة ﻥ زائد ﻥ تربيع.
نلاحظ هنا أن لدينا معادلة تربيعية في المتغير ﻥ. ولكي نحل هذه المعادلة، علينا أن نساويها بصفر. لذا، دعونا نطرح ٦٤٤ من كلا الطرفين. بعد ذلك، لتحليل التعبير الموجود في الطرف الأيسر، علينا إيجاد عددين حاصل ضربهما سالب ٦٤٤، ومجموعهما خمسة. بقليل من التجربة والخطأ، نحصل على سالب ٢٣ و٢٨. إذن، هذا التعبير التربيعي يساوي ﻥ ناقص ٢٣ في ﻥ زائد ٢٨. ولكي يساوي حاصل ضرب هذين التعبيرين صفرًا، يجب أن يساوي أحدهما صفرًا. لذا، سنحل كل معادلة على حدة لإيجاد قيمة ﻥ، ونجد أن ﻥ يساوي ٢٣ أو سالب ٢٨. وفي هذه المرحلة، يمكننا تجاهل ﻥ يساوي سالب ٢٨ مباشرة.
تذكر أننا نوجد عدد معين من الحدود؛ لذلك يجب أن يكون ﻥ عددًا طبيعيًّا. هذا يعني أن ﻥ يساوي ٢٣. وبذلك، نجد أن عدد الحدود التي مجموعها ٣٢٢ هو ٢٣ حدًّا. إذن، الإجابة هي ٢٣.
