فيديو: امتحان التفاضل والتكامل • ٢٠١٧/٢٠١٦ • السؤال الثاني عشر أ

امتحان التفاضل والتكامل • ٢٠١٧/٢٠١٦ • السؤال الثاني عشر أ

٠٥:٤٧

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة د س تساوي اتنين ناقص س، الكل مضروب في هـ أُس س، إن وجدت.

لو عندنا بشكل عام دالة د س. وعايزين نوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة دي. أول خطوة بنعملها إننا بنحدِّد مجال الدالة. بعد كده بنوجد المشتقَّة الأولى للدالة اللي عندنا، واللي من خلالها بنقدر نوجد النقاط الحرجة للدالة، وهي النقاط اللي بيكون عندها المشتقَّة الأولى للدالة بتساوي صفر أو غير موجودة.

بعد كده هوجد المشتقَّة التانية للدالة، واللي من خلالها هنقدر نحدِّد إذا كان النقاط الحرجة للدالة اللي عندنا دي عندها قيم عظمى ولا صغرى محلية. فاللي هنعمله بعد ما نوجد المشتقّة التانية، إن إحنا هنوجد قيمتها عند كل نقطة من النقاط الحرِجة اللي أوجدناها. فلو لقينا قيمة المشتقَّة التانية عند النقطة دي سالبة؛ فده معناه إن النقطة دي عندها قيمة عظمى محلية. أما لو كانت قيمة المشتقَّة التانية موجبة؛ فده معناه إن النقطة دي عندها قيمة صغرى محلية. أما لو لقينا إن قيمة المشتقَّة التانية عند النقطة دي بصفر؛ فده معناه إن اختبار المشتقَّة التانية مش هيصلح عشان نحدِّد من خلاله القيم العظمى والصغرى المحلية. وفي الحالة دي هنعوز نرجع وندرس إشارة المشتقَّة الأولى.

هنشوف الدالة اللي عندنا اللي مُعطاة في السؤال. الدالة د س تساوي اتنين ناقص س في هـ أُس س. الدالة اللي عندنا دالة متَّصِلة، فهنلاقي إن مجال الدالة هو ح.

الخطوة اللي بعد كده هي إن إحنا هنوجد المشتقّة الأولى للدالة. هناخد بالنا إن الدالة اللي عندنا نقدر نعتبارها حاصل ضرب دالتين. الأولى اتنين ناقص س والتانية هـ أُس س. ولما بنيجي نجيب مشتقّة حاصل ضرب دالتين، فبيبقى عبارة عن الدالة الأولى اللي هي اتنين ناقص س، في مشتقّة التانية يعني في مشتقّة هـ أُس س. زائد … الدالة التانية اللي هي هـ أُس س، في مشتقّة الأولى؛ يعني في مشتقّة اتنين ناقص س. وده هيساوي … اتنين ناقص س هتبقى زي ما هي، في مشتقّة هـ أُس س بالنسبة لِـ س، اللي هتبقى هـ أُس س زي ما هي. زائد … الدالة التانية، اللي هي هـ أُس س، في مشتقّة اتنين ناقص س بالنسبة لِـ س، اللي هتبقى بتساوي سالب واحد. نقدر ناخذ عامل مشترك هـ أُس س بالشكل ده. وهيتبقّى داخل الأقواس اتنين ناقص س ناقص واحد. وفي النهاية هنوصل لأن المشتقّة الأولى للدالة هتبقى بتساوي هـ أُس س في واحد ناقص س.

دلوقتي بعد ما أوجدنا المشتقّة الأولى للدالة، عايزين نوجد النقاط الحرِجة. بعد كده هنساوي المشتقّة الأولى للدالة بصفر؛ عشان نوجد النقاط الحرجة. يعني هنساوي هـ أُس س في واحد ناقص س بصفر. وده معناه إن يا إمّا هـ أُس س بصفر يا إمّا واحد ناقص س بصفر. وَ هـ أُس س مش ممكن تبقى بتساوي صفر. يبقى واحد ناقص س هي اللي بتساوي صفر. ومن هنا هنستنتج إن قيمة س اللي هتخلي المشتقّة الأولى بصفر، هي س بتساوي واحد، هي دي اللي عندها نقطة حرجة للدالة.

دلوقتي بعد ما أوجدنا المشتقّة الأولى، ومن خلالها قدرنا نوجد النقاط الحرجة، عايزين نوجد دلوقتي المشتقّة التانية للدالة. عشان نوجد المشتقّة التانية للدالة هنرجع للمشتقة الأولى ونشتقها مرة أخرى. بنفس الطريقة، المشتقّة الأولى للدالة عبارة عن حاصل ضرب دالتين. فبالتالي لما نشتقها دلوقتي هيبقى عندنا الدالة الأولى اللي هـ أُس س، في مشتقّة الدالة التانية اللي هي واحد ناقص س بالنسبة إلى س. زائد الدالة التانية اللي هي واحد ناقص س في مشتقّة الأولى اللي هي مشتقّة هـ أُس س بالنسبة إلى س. مشتقّة واحد ناقص س بالنسبة إلى س، هتبقى بتساوي سالب واحد. ومشتقة هـ أُس س بالنسبة إلى س، هتفضل هي نفسها هـ أُس س. نقدر ناخذ عامل مشترك هـ أُس س. فهيتبقّى عندنا سالب واحد زائد واحد ناقص س. سالب واحد زائد واحد بصفر، وهيتبقّى ناقص س مضروبة في هـ أُس س.

كده يبقى أوجدنا المشتقّة التانية للدالة اللي هي هتساوي سالب س في هـ أُس س. وباقي إننا نبحث قيمة المشتقّة التانية عند النقاط الحرجة. وإحنا كان عندنا في الدالة دي نقطة حرجة واحدة عند س بتساوي واحد. فعايزين نبحث المشتقّة التانية عند س بتساوي واحد. لما نعوّض عن س بواحد، فهنلاقي إن قيمة المشتقّة التانية للدالة عند س بواحد هتساوي سالب هـ. وزي ما هو واضح إنها قيمة سالبة. قيمة سالبة؛ فده معناه إن عند النقطة دي فيه قيمة عظمى محلية للدالة. يبقى ده معناه إن عند س بواحد الدالة ليها قيمة عظمى محلية. وعشان نوجد قيمة الدالة دي، هنعوّض عن س بواحد في الدالة الأصلية اللي هي د س. فهنلاقي إن قيمة الدالة عند واحد هتساوي هـ. يبقى كده عرفنا إن عند س بواحد، الدالة ليها قيمة عظمى محلية وهتساوي هـ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.