فيديو: دوران القطاعات المخروطية

التعرُّف على دوران المحاور. استخدام دوران المحاور في وضع القطاعات المخروطية في الصورة القياسية.

٠٦:٥٦

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم عن دوران القطاعات المخروطية.

الصورة العامَّة للقطاعات المخروطية كانت المعادلة: أ س تربيع، زائد ب س ص، زائد ج ص تربيع، زائد د س، زائد ﻫ ص، زائد و يساوي صفر. والمعادلة دي كانت بتعبّر عن أيّ قطاع مخروطي في أيّ صورة ليه. حالة خاصَّة من المعادلة العامة دي هو لمّا كان المعامل ب يساوي صفر. وفي الحالة دي، القطع المخروطي كان بيبقى رأسي أو أفقي. يعني المحاور بتاعته كانت بتبقى موازية للمحور السيني والمحور الصادي.

ويبقى المعادلة اللي بتعبّر عن القطع المخروطي في الحالة دي هي: أ س تربيع، زائد ج ص تربيع، زائد د س، زائد ﻫ ص، زائد و يساوي صفر. والصورة دي للمعادلة العامَّة بتخلّينا نكتب المعادلة بتاعة القطع المخروطي في الصورة القياسية بتاعته. وده عن طريق إكمال المربع. يبقى إحنا لو قدرنا نغيّر شكل المعادلة بتاعة القطع المخروطي، من الصورة اللي كتبناها فوق للصورة اللي كتبناها تحت. هنقدر بكلّ بساطة نحوّل المعادلة التانية للصورة القياسية. ومنها نعرف نوع القطع المخروطي، وأهمّ الخصائص بتاعته.

طيب إزاي نقدر نحوّل من الصورة الأولانية للصورة التانية؟ ده هيكون عن طريق دوران المحاور. دلوقتي هنشوف لو عندنا المحاور س وَ ص، ودوّرنا المحاور دي بزاوية 𝜃، فحصلنا على محاور جديدة، اللي هي س شرطة وَ ص شرطة. هنشوف إزاي لأيّ نقطة في المستوى ده، هنسمّيها ن. وإحداثياتها في المحاور الأصلية س وَ ص. وإحداثياتها في المحاور الجديدة س شرطة وَ ص شرطة. إزاي نقدر نربط ما بين الإحداثيات القديمة والإحداثيات الجديدة باستخدام الزاوية 𝜃.

أول حاجة، هنبدأ بإننا نوصّل قطعة مستقيمة من نقطة الأصل للنقطة ن. وهيبقى طولها ف. وهنسمّي الزاوية اللي ما بين القطعة المستقيمة ف والمحور السيني الجديد، اللي هو س شرطة، هنسمّيها الزاوية ع. أولًا بالنسبة للمحاور الأصلية س ص، زيّ ما ظاهر في المثلث اللي مرسوم بالأحمر. الإحداث السيني للنقطة ن هو عبارة عن س تساوي ف مضروبة في جتا، ع زائد 𝜃. ومن نفس المثلث، ص هتبقى بتساوي ف جا، ع زائد 𝜃.

باستخدام الخصائص المثلثية للدالتين جتا وَ جا، نقدر نعيد كتابة المعادلتين بتوع س وَ ص. هيبقوا: س تساوي ف جتا ع جتا 𝜃 ناقص ف جا ع جتا [جا] 𝜃. وَ ص تساوي ف جا ع جتا 𝜃 زائد ف جتا ع جا 𝜃.

أمَّا بالنسبة للمحاور الجديدة س شرطة وَ ص شرطة. فمن المثلث المرسوم بالأزرق قدّامنا نقدر نقول: إن س شرطة تساوي ف جتا ع، وَ ص شرطة تساوي ف جا ع. طيب لو عوّضنا بـ ف جتا ع وَ ف جا ع بـ س شرطة وَ ص شرطة، في المعادلات بتاعة المحاور الأصلية س وَ ص. هيطلع لنا معادلتين بيربطوا ما بين المحاور الأصلية والمحاور الجديدة، اللي همّ هيبقوا: س تساوي س شرطة جتا 𝜃 ناقص ص شرطة جا 𝜃. وَ ص تساوي س شرطة جا 𝜃 زائد ص شرطة جتا 𝜃.

ويبقى إذن المعادلتين دول نقدر من خلالهم نجيب علاقة ما بين أيّ مجموعتين من المحاور. عن طريق معرفة زاوية الدوران اللي ما بينهم؛ 𝜃. المعادلتين دول ليهم صورة تانية عن طريق إننا نكتبهم بدلالة س وَ ص. فالمعادلتين هيبقوا: س شرطة يساوي س جتا 𝜃 زائد ص جا 𝜃. وَ ص شرطة تساوي ص جتا 𝜃 ناقص س جا 𝜃.

زيّ ما قلنا في الأول، إحنا عايزين نستخدم دوران المحاور؛ علشان نغيّر شكل المعادلة العامَّة بتاعة القطاعات المخروطية للصورة اللي المعامل ب فيها بيساوي صفر. عشان من خلال المعادلة دي، نقدر نوصّلها للصورة القياسية للقطع المخروطي. المعادلة العامَّة للقطاعات المخروطية، زيّ ما ظاهرة قدامنا، كل اللي هنعمله إننا هنجيب المعادلتين بتوع دوران المحاور، ونعوّض بيهم في المعادلة العامَّة للقطاعات المخروطية. وبدل ما نحلّ المعادلة كلّها، إحنا بس دلوقتي هنشوف المعامل اللي هيبقى مضروب في س شرطة وَ ص شرطة. علشان ده المعامل اللي عايزينه يساوي صفر بعد الدوران.

لو عملنا كده، معامل س شرطة وَ ص شرطة هيبقى عبارة عن: ب جتا اتنين 𝜃 زائد، ج ناقص أ، مضروبة في جا اتنين 𝜃. والمعامل ده كله عايزينه يساوي صفر. من المعادلة دي، إحنا بندوّر على 𝜃 اللي لو دوّرنا المحاور بيها، المعامل بتاع س ص هيبقى بيساوي صفر. فيبقى من المعادلة دي، إحنا هنحاول نستنتج 𝜃 بدلالة المعاملات ب وَ ج وَ أ. ب جتا اتنين 𝜃 تساوي أ ناقص ج، مضروبة في جا اتنين 𝜃. فلو قسمنا الطرفين على جا اتنين 𝜃، وبرضو قسمنا الطرفين على ب. هيطلع لنا إن المعادلة هتبقى: ظتا اتنين 𝜃 يساوي أ ناقص ج، الكل مقسوم على ب.

يبقى المعادلة دي بتقول لنا: إننا لو عملنا دوران للمحاور بزاوية قيمتها 𝜃، حيث ظتا اتنين 𝜃 تساوي أ ناقص ج، الكل مقسوم على ب. المعامل بتاع س ص هيختفي من المعادلة العامَّة بتاعة القطع المخروطي. وفي المحاور الجديدة، القطع المخروطي هيبقى رأسي أو أفقي. فنقدر نكتب المعادلة في الصورة القياسية لمعادلة القطع المخروطي.

كده في الفيديو ده إحنا شُفنا إزاي نقدر نعمل دوران للمحاور، وإزاي نجيب علاقة بين المحاور الجديدة بعد الدوران، والمحاور الأصلية. واستخدمنا العلاقة دي في إننا نعمل دوران للمحاور بتاعة القطاعات المخروطية، بحيث إن هي تبقى رأسية أو أفقية في المحاور الجديدة. وده علشان المعادلة في المحاور الجديدة نقدر نوصّلها للصورة القياسية للمعادلة بتاعة القطع المخروطي. واللي من خلالها نقدر نعرف نوع القطع المخروطي وخصائصه مباشرةً.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.