فيديو السؤال: تبسيط المقادير المثلثية باستخدام متطابقات ضعف الزاوية

نسخة الفيديو النصية

بسط sin 𝑥 زائد 𝑦 في cos 𝑦 ناقص cos 𝑥 زائد 𝑦 في sin 𝑦.

لتبسيط هذا نستخدم متطابقات مجموع الزوايا لكل من sin وcos، وهو ما يتيح لنا كتابة كل من sin 𝑥 زائد 𝑦، وcos 𝑥 زائد 𝑦 في صورة sin 𝑥 و‏sin 𝑦 و‏cos 𝑥 وcos 𝑦. والآن لنكتب المقدار الذي نريد تبسيطه مرة أخرى ونطبق إحدى متطابقات مجموع الزوايا لإعادة كتابة sin 𝑥 زائد 𝑦 على هذا النحو. وبالتأكيد علينا ضرب هذا في cos 𝑦 قبل طرح الحد الآخر.

ويمكننا الآن تحويل تركيزنا إلى الحد الآخر. يحتوي هذا الحد على cos 𝑥 زائد 𝑦، وهو ما يمكننا إعادة كتابته باستخدام المتطابقة الأخرى. ويجب ألا ننسى أن علينا ضربه في sin 𝑦. والآن بعد تطبيق المتطابقات، علينا أن نفك الأقواس. فيصبح الحد الأول الذي حصلنا عليه هو sin 𝑥 cos تربيع 𝑦. ونجمع عليه cos 𝑥 sin 𝑦 cos 𝑦. ثم نفك القوسين الآخرين، وعلينا تذكر أننا بحاجة إلى طرح هذين الحدين، وعندها نحصل على ناقص cos 𝑥 cos 𝑦 sin 𝑦. وعند وضع علامتي الناقص معًا نحصل على زائد sin 𝑥 sin تربيع 𝑦. ونلاحظ أن الحدين في المنتصف متماثلان بعيدًا عن ترتيب معاملاتهما، ومن ثم يلغيان أحدهما الآخر. وكذلك نجد أن الحدين المتبقيين لهما عامل مشترك وهو sin 𝑥، والذي سنضعه خارج القوسين. وعند إخراج هذا العامل المشترك، يتبقى لدينا sin 𝑥 في cos تربيع 𝑦 زائد sin تربيع 𝑦 وcos تربيع كذا زائد sin تربيع كذا، وهذا من الواضح يساوي sin تربيع كذا زائد cos تربيع كذا، ويساوي واحدًا.

إذن الإجابة النهائية هي sin 𝑥. هذه هي الطريقة المباشرة لحل هذه المسألة، ولكن توجد طريقة أكثر إمتاعًا. ربما تعلم أن ثمة صيغة لجيب الفرق بين زاويتين، وهي sin 𝐴 ناقص 𝐵. إذا لم تكن تعرفها، فيمكنك استنتاجها من متطابقة مجموع الزوايا المكتوبة على الشاشة، وذلك بكتابة 𝑥 يساوي 𝐴 و𝑦 يساوي سالب 𝐵. ويمكننا بعد ذلك الاستفادة من حقيقة أن cos سالب 𝐵 يساوي cos 𝐵 وأن sin سالب 𝐵 يساوي سالب sin 𝐵.

وبعد كتابتها، يمكننا مقارنتها بالمقدار المطلوب منا تبسيطه، وسنلاحظ أنهما متماثلان تمامًا. في الواقع، هذا المقدار الذي نريد تبسيطه هو نفسه الطرف الأيمن من هذه المتطابقة، وذلك عند كتابة 𝐴 يساوي 𝑥 زائد 𝑦 و𝐵 يساوي 𝑦. وبالتعويض عن القيمتين 𝐴 و𝐵 في الطرف الأيسر من المتطابقة وتبسيط الحدود، نحصل على sin 𝑥.

إذن فهذه طريقة أسرع لتبسيط المقدار. ولكنها تحتاج منا إلى التوصل إلى متطابقة فرق الزوايا غير الواضحة بعض الشيء.