فيديو السؤال: تحليل قوتين مستويتين تؤثران معًا لإيجاد المحصلة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

قوتان مقداراهما ١٥ ثقل كيلوجرامًا وسبعة ثقل كيلوجرامات تؤثران عند نقطة كما هو موضح في الشكل. أوجد مقدار المحصلة ﺡ، وقياس الزاوية 𝜃 المحصورة بين المحصلة واتجاه الشرق.

لدينا شكل يوضح القوتين والزاوية المحصورة بينهما. فلنبدأ إذن بتذكير أنفسنا بما نعنيه عندما نتحدث عن محصلة زوج من القوى. نفترض أن لدينا قوتين معرفتين بالمتجهين ق واحد وق اثنين. محصلة هاتين القوتين هي ببساطة مجموعهما معًا. والتفكير في هاتين القوتين بدلالة المتجهين يمكن أن يساعدنا بالفعل في التخطيط لما سنفعله بعد ذلك.

دعونا نعرف القوة التي مقدارها ١٥ ثقل كيلوجرامًا بأنها المتجه ق واحد، والقوة الأخرى بأنها المتجه ق اثنان. يمكن تمثيل مجموع هذين المتجهين بالمتجه الذي مقداره ﺡ كما هو موضح. هذا هو مثلث القوى. ويمكننا استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية والمثلث غير القائم الزاوية لمساعدتنا في إيجاد أي أبعاد غير معلومة.

لنبدأ بإيجاد قياس الزاوية التي يمكننا تسميتها 𝛼، وهي الزاوية المحصورة بين القوة التي مقدارها سبعة نيوتن والقوة التي مقدارها ١٥ نيوتن. نحن نعلم أن مجموع قياس 𝛼 وقياس الزاوية الأخرى، الذي يساوي ٣٠ درجة، هو ٩٠ درجة. وإذا طرحنا ٣٠ من كلا الطرفين، فإننا نعلم أن 𝛼 لا بد أن تساوي ٦٠. أصبح لدينا الآن مثلث غير قائم الزاوية، نعرف طولي ضلعين فيه وقياس الزاوية المحصورة بينهما. لذا يمكننا استخدام قانون جيوب التمام لإيجاد طول الضلع الثالث. لدينا ﺃ شرطة تربيع يساوي ﺏ شرطة تربيع زائد ﺟ شرطة تربيع ناقص اثنين ﺏ شرطة ﺟ شرطة جتا ﺃ. بعد ذلك، نسمي طول الضلع الذي نحاول إيجاده ﺃ شرطة، أما الزاوية المقابلة له، أي الزاوية التي قياسها ٦٠ درجة، فنسميها بحرف ﺃ. إذن، ﺡ تربيع يساوي سبعة تربيع زائد ١٥ تربيع ناقص اثنين في سبعة في ١٥ في جتا ٦٠. سبعة تربيع زائد ١٥ تربيع يساوي ٢٧٤، وجتا ٦٠ يساوي نصفًا. وعليه، يصبح الجزء الثاني هو سبعة في ١٥، أي ١٠٥. ‏٢٧٤ ناقص ١٠٥ يساوي ١٦٩. ومن ثم، تكون المعادلة لدينا هي ﺡ تربيع يساوي ١٦٩.

بما أن ﺡ مقدار، فلا بد أن يكون موجبًا. ويمكننا حل هذه المعادلة ببساطة بحساب موجب الجذر التربيعي لـ ١٦٩، وهو ما يساوي ١٣. إذن، مقدار المحصلة في هذا السؤال يساوي ١٣ ثقل كيلوجرامًا.

أصبحنا الآن مستعدين لحساب قياس الزاوية 𝜃. وهو قياس الزاوية المحصورة بين المحصلة واتجاه الشرق، كما يوضح الشكل. حسنًا، في هذا الشكل، تؤثر القوة التي مقدارها ١٥ نيوتن في اتجاه الشرق. لذا، الزاوية 𝜃 هي الزاوية التي يصنعها الضلع الذي حسبنا طوله بأنه يساوي ١٣ مع الضلع الذي طوله ١٥. يمكننا استخدام قانون الجيوب لحساب قياس هذه الزاوية. لدينا هنا جا ﺃ على ﺃ شرطة يساوي جا ﺏ على ﺏ شرطة. لقد حسبنا للتو قيمة ﺡ وهي ١٣. إذن، جا ٦٠ مقسومًا على ١٣ يساوي جا 𝜃 على سبعة. ‏جا ٦٠ يساوي جذر ثلاثة على اثنين. وعند ضرب الطرفين في سبعة، نجد أن جا 𝜃 يساوي سبعة جذر ثلاثة على ٢٦.

لإيجاد قيمة 𝜃، نأخذ الدالة العكسية للجيب لطرفي المعادلة. ‏𝜃 تساوي الدالة العكسية للجيب لسبعة جذر ثلاثة على ٢٦، أي ٢٧٫٧٩٥ وهكذا مع توالي الأرقام. بعد ذلك، نضرب الجزء العشري في ٦٠ لتقريب هذا لأقرب دقيقة. وهو ما يعطينا ٤٧٫٧ دقيقة، أي ٤٨ لأقرب دقيقة. وبذلك نكون قد أوجدنا قيمتي ﺡ و𝜃‏. ﺡ يساوي ١٣ ثقل كيلوجرامًا، و𝜃 تساوي ٢٧ درجة و٤٨ دقيقة.