فيديو الدرس: تحليل الدوائر الكهربية المركبة الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعرف على خصائص الدوائر الكهربية المركبة، وهي دوائر تحتوي على مقاومات موصلة على التوالي ومقاومات موصلة على التوازي. سنبدأ بتعلم كيفية إيجاد المقاومة المكافئة للدائرة المركبة. لكن أولًا، لنتذكر كيفية إيجاد المقاومة المكافئة للمقاومات الموصلة على التوالي فقط أو على التوازي فقط.

تتصل المقاومات الموصلة على التوالي عبر مسار موصل واحد، كما هو موضح في الشكل. أما المقاومات الموصلة على التوازي، فهي تتصل عبر عدة مسارات موصلة بحيث ينقسم التيار بينها، كما هو موضح في الشكل.

لإيجاد المقاومة المكافئة لدائرة موصلة على التوالي، وهي قيمة مقاومة واحدة يمكنها أن تحل محل الدائرة بالكامل وتعرف أيضًا باسم المقاومة الكلية، نجمع كل المقاومات معًا. بالنسبة إلى الشكل الذي رسمناه، المقاومة الكلية تساوي ‪𝑅‬‏ واحد زائد ‪𝑅‬‏ اثنين زائد ‪𝑅‬‏ ثلاثة. إذا كان لدينا المزيد من المقاومات الموصلة على التوالي، فسوف سنحتاج إلى أخذ هذه القيم في الاعتبار وإضافتها إلى المعادلة. في الدوائر الموصلة على التوالي، تكون المقاومة الكلية دائمًا أكبر من أي من المقاومات المنفردة.

لكن في الدوائر الموصلة على التوازي، يكون إيجاد المقاومة الكلية أصعب بعض الشيء. فواحد على المقاومة الكلية يساوي واحدًا على ‪𝑅‬‏ واحد زائد واحد على ‪𝑅‬‏ اثنين زائد واحد على ‪𝑅‬‏ ثلاثة. ويجب أن نضع في الاعتبار قيمة أي مقاومة إضافية تضاف على التوازي. المقاومة الكلية لدائرة موصلة على التوازي تكون دائمًا أصغر من أصغر مقاومة. لنطبق الآن قاعدتي إيجاد المقاومة المكافئة للدوائر الموصلة على التوالي والدوائر الموصلة على التوازي، على الدوائر المركبة.

لإيجاد المقاومة المكافئة لدائرة مركبة، علينا تبسيط الدائرة إلى دائرة بسيطة موصلة على التوالي أو دائرة بسيطة موصلة على التوازي. بالنظر إلى هذه الدائرة المركبة، نلاحظ أنها كانت ستبسط إلى دائرة موصلة على التوالي لولا وجود هاتين المقاومتين الموصلتين على التوازي. هذا يعني أننا إذا استعضنا عن هاتين المقاومتين بمقاومة واحدة مكافئة، فسيكون لدينا دائرة بسيطة موصلة على التوالي.

لنرسم الدائرة المبسطة. في الدائرة المبسطة، يظل لدينا ‪𝑅‬‏ واحد التي تساوي خمسة أوم، و‪𝑅‬‏ أربعة التي تساوي أربعة أوم، تمامًا كما فعلنا في الدائرة أعلاه. لكن هذه المرة لدينا مقاومة واحدة فقط بدلًا من المقاومتين الموصلتين على التوازي. والآن علينا إيجاد المقاومة المكافئة لهاتين المقاومتين الموصلتين على التوازي باستخدام معادلة إيجاد المقاومة المكافئة للمقاومات الموصلة على التوازي.

تذكر أن واحدًا على المقاومة المكافئة يساوي واحدًا على المقاومة الأولى زائد واحد على المقاومة الثانية زائد واحد على المقاومة الثالثة، وهكذا دواليك لكل المقاومات الموصلة على التوازي. بالتعويض بالقيم التي لدينا، يبقى الطرف الأيسر من المعادلة كما هو: واحد على المقاومة المكافئة. وفي الطرف الأيمن من المعادلة، بما أن قيمة المقاومة اثنين تساوي ستة أوم، يصبح لدينا واحد مقسومًا على ستة أوم زائد واحد مقسومًا على ثلاثة أوم؛ حيث إن قيمة المقاومة ثلاثة تساوي ثلاثة أوم.

عند جمع الكسور، علينا إيجاد المقام المشترك الأصغر. وهو، في هذه الحالة، ستة أوم. علينا ضرب واحد على ثلاثة أوم في اثنين على اثنين، ليصبح لدينا بذلك اثنان على ستة أوم. واحد على ستة أوم زائد اثنين على ستة أوم يساوي ثلاثة على ستة أوم، وهو ما يمكن تبسيطه إلى واحد على اثنين أوم. لإيجاد المقاومة المكافئة، علينا ضرب طرفي المعادلة في اثنين أوم والمقاومة المكافئة. في الطرف الأيسر من المعادلة، تلغى ‪𝑅‬‏ المكافئة. وفي الطرف الأيمن من المعادلة، يلغى اثنان أوم، ليتبقى لدينا مقاومة مكافئة مقدارها اثنان أوم.

يمكننا إذن القول إن المقاومة ‪𝑅‬‏ المنفردة تساوي اثنين أوم، وهي قيمة المقاومة المكافئة للمقاومتين ثلاثة أوم وستة أوم الموصلتين على التوازي. نستخدم الحرف ‪𝑅‬‏ لتمثيل هذه المقاومة كي لا يختلط علينا الأمر عند إيجاد المقاومة المكافئة للدائرة بأكملها. والآن لدينا دائرة بسيطة موصلة على التوالي بها ثلاث مقاومات: ‪𝑅‬‏ واحد، و‪𝑅‬‏، و‪𝑅‬‏ أربعة. يمكننا استخدام معادلة المقاومات الموصلة على التوالي لإيجاد المقاومة الكلية للدائرة.

تذكر أن المقاومة المكافئة لدائرة موصلة على التوالي تساوي المقاومة الأولى زائد المقاومة الثانية زائد المقاومة الثالثة، وهكذا دواليك، لكل المقاومات الموصلة على التوالي. بالتعويض بالقيم التي لدينا، تكون المقاومة الكلية للدائرة تساوي ‪𝑅‬‏ واحد، خمسة أوم، زائد ‪𝑅‬‏، اثنين أوم، زائد ‪𝑅‬‏ أربعة، أربعة أوم. عندما نجمع هذه القيم الثلاث معًا، نحصل على قيمة مقاومة مكافئة مقدارها 11 أوم. وهذا يماثل وجود دائرة بها مقاومة واحدة فقط قيمتها 11 أوم موصلة بالبطارية.

بعد ذلك، سنلقي نظرة على دائرة مركبة يمكن تبسيطها إلى دائرة بسيطة موصلة على التوازي.

بالنظر إلى هذه الدائرة، يمكننا أن نرى أنها كانت ستبسط إلى دائرة موصلة على التوازي لولا هذا الفرع الذي توجد فيه مقاومتان موصلتان على التوالي. هذا يعني أننا إذا استعضنا عن هاتين المقاومتين بمقاومة واحدة مكافئة، فسيكون لدينا دائرة بسيطة موصلة على التوازي.

لنرسم الدائرة المبسطة. في الدائرة المبسطة، يظل لدينا المقاومة واحد التي مقدارها اثنان أوم، والمقاومة أربعة التي مقدارها أربعة أوم، كما فعلنا بالأعلى. لكن هذه المرة لدينا مقاومة واحدة على الفرع الموصلة عليه المقاومتان ‪𝑅‬‏ اثنان و‪𝑅‬‏ ثلاثة على التوالي. هذا يعني أن هذه المقاومة الواحدة مكافئة للمقاومتين الموصلتين على التوالي.

لإيجاد المقاومة المكافئة لهاتين المقاومتين الموصلتين على التوالي، علينا استخدام معادلة إيجاد المقاومة الكلية في الدائرة الموصلة على التوالي. في الطرف الأيسر من المعادلة، نحافظ على ‪𝑅‬‏ المكافئة للمقاومة الكلية للفرع. في الطرف الأيمن من المعادلة، نعوض بواحد أوم عن قيمة ‪𝑅‬‏ اثنين، وثلاثة أوم عن قيمة ‪𝑅‬‏ ثلاثة. عند جمع واحد أوم زائد ثلاثة أوم، نحصل على أربعة أوم. هذا يعني أن قيمة المقاومة ‪𝑅‬‏ تساوي أربعة أوم، وهي المقاومة المكافئة لـ ‪𝑅‬‏ اثنين و‪𝑅‬‏ ثلاثة الموصلتين على التوالي. نستخدم المتغير ‪𝑅‬‏ كي لا يختلط علينا الأمر عند إيجاد المقاومة المكافئة للدائرة بالكامل.

والآن صار لدينا دائرة بسيطة موصلة على التوازي تتكون من ثلاث مقاومات: ‪𝑅‬‏ واحد، و‪𝑅‬‏، و‪𝑅‬‏ أربعة. ويمكننا استخدام معادلة الدوائر الموصلة على التوازي لإيجاد المقاومة الكلية. يظل الطرف الأيسر من المعادلة كما هو، واحد على ‪𝑅‬‏ المكافئة. وفي الطرف الأيمن من المعادلة، لدينا واحد على اثنين أوم للمقاومة الأولى، وواحد على أربعة أوم للمقاومة الثانية، وواحد على أربعة أوم للمقاومة الثالثة.

عند جمع الكسور، علينا استخدام المقام المشترك الأصغر. وفي هذه الحالة، سيكون أربعة أوم. هذا يعني أن علينا ضرب واحد على اثنين أوم في اثنين على اثنين. يمكننا الآن إضافة اثنين على أربعة أوم زائد واحد على أربعة أوم زائد واحد على أربعة أوم، وهو ما يعطينا مجموعًا يساوي أربعة على أربعة أوم، ويمكن تبسيطه إلى واحد على واحد أوم. نضرب طرفي المعادلة في واحد أوم و‪𝑅‬‏ المكافئة، بحيث تلغى ‪𝑅‬‏ المكافئة في الطرف الأيسر من المعادلة ويلغى واحد أوم في الطرف الأيمن للمعادلة. وتتبقى مقاومة مكافئة للدائرة تساوي واحد أوم. وهذا مماثل لوجود دائرة بها مقاومة واحدة فقط قيمتها واحد أوم موصلة بالبطارية.

لتحديد أي خواص أخرى للدوائر المركبة، علينا استخدام قانون أوم. قانون أوم هو معادلة تربط فرق الجهد عبر المقاومة ‪𝑉‬‏ بشدة التيار المار خلال المقاومة ‪𝐼‬‏ وقيمة المقاومة ‪𝑅‬‏. إذا أردنا إيجاد شدة التيار الكلية خلال كل من الدائرتين المركبتين، فعلينا استخدام فرق الجهد لكل من البطاريتين، وكذلك المقاومة المكافئة لكل من الدائرتين.

ولإيجاد شدة التيار باستخدام قانون أوم، علينا قسمة طرفي المعادلة على ‪𝑅‬‏. في الطرف الأيمن من المعادلة، سيلغى حدا ‪𝑅‬‏ معًا. وفي الطرف الأيسر من المعادلة، يتبقى ‪𝑉‬‏ على ‪𝑅‬‏. يمكننا تطبيق هذه الصيغة الجديدة للمعادلة على كلتا الدائرتين لإيجاد شدة التيار الكلية في كل منهما.

بالنسبة إلى الدائرة العليا، جهد البطارية يساوي 12 فولت، والمقاومة المكافئة للدائرة تساوي واحد أوم. ‏12 فولت على واحد أوم يساوي 12 أمبير. هذا يعني أن شدة التيار الكلية في الدائرة تساوي 12 أمبير. في الدائرة السفلى، فرق جهد البطارية يساوي 22 فولت، والمقاومة المكافئة للدائرة تساوي 11 أوم. إذن 22 فولت على 11 أوم يساوي اثنين أمبير. شدة التيار الكلية عبر هذه الدائرة تساوي اثنين أمبير.

شدة التيار التي أوجدناها في كلتا الدائرتين هي شدة التيار الكلية وليست شدة التيار عبر كل مقاومة. يمكننا أيضًا استخدام قانون أوم لإيجاد فرق الجهد عبر إحدى المقاومتين. إذا أردنا إيجاد فرق الجهد عبر المقاومة التي تبلغ قيمتها أربعة أوم، فعلينا معرفة شدة التيار المار عبرها، وكذلك قيمتها.

شدة التيار المار عبر المقاومة التي تبلغ قيمتها أربعة أوم تساوي اثنين أمبير. ونعرف ذلك لأن المقاومة التي تبلغ قيمتها أربعة أوم موصلة على التوالي مع المكونات الأخرى للدائرة. في الدوائر الموصلة على التوالي، لا يتفرع التيار. ومن ثم، يمر التيار الكلي عبر كل مكون من المكونات الموصلة على التوالي. وجدنا أن شدة التيار الكلية تساوي اثنين أمبير. ومن ثم، فإن شدة التيار المار عبر المقاومة التي تبلغ قيمتها أربعة أوم تساوي أيضًا اثنين أمبير. وقيمة المقاومة أربعة أوم. عندما نضرب اثنين أمبير في أربعة أوم، نحصل على فرق جهد عبر المقاومة التي تبلغ قيمتها أربعة أوم يساوي ثمانية فولت.

ثمة طريقة أخرى لحل أي مسألة عندما لا تصلح المقاومة المكافئة، وهي تطبيق قانوني كيرشوف. دعونا نسترجع هذين القانونين قبل أن نطبقهما على الدوائر السابقة.

ينص قانون كيرشوف الأول على أن شدة التيار الداخل إلى نقطة تساوي شدة التيار الخارج من النقطة. نطبق هذا القانون على دائرة موصلة على التوازي ينقسم فيها التيار عبر عدة مسارات، بحيث تكون شدة التيار في أحد المسارات هي ‪𝐼‬‏ واحد، وشدة التيار في المسار الثاني هي ‪𝐼‬‏ اثنين، وشدة التيار في المسار الثالث هي ‪𝐼‬‏ ثلاثة، وهكذا. ثم بجمع كل قيم شدة التيار معًا، نحصل على شدة التيار الكلية ‪𝐼𝑇‬‏. بتطبيق هذا القانون على دائرة موصلة على التوالي لا ينقسم فيها التيار، فإن شدة التيار الكلية ستساوي شدة التيار خلال كل مقاومة: ‪𝐼‬‏ واحد للمقاومة واحد، ‪𝐼‬‏ اثنين للمقاومة اثنين، ‪𝐼‬‏ ثلاثة للمقاومة ثلاثة، وهكذا.

ينص قانون كيرشوف الثاني على أن مجموع كل فروق الجهد حول أي مسار مغلق في دائرة لا بد أن يساوي صفرًا. يمكننا تطبيق هذا القانون على دائرة موصلة على التوالي؛ لأن فرق الجهد يكون موزعًا أو مقسمًا على المكونات الموصلة على التوالي. هذا يعرفنا بأنه في الدوائر الأحادية البطارية، مجموع فروق الجهد عبر جميع المقاومات – ‪𝑉‬‏ واحد للمقاومة واحد، و‪𝑉‬‏ اثنين للمقاومة اثنين، و‪𝑉‬‏ ثلاثة للمقاومة ثلاثة، وهكذا – يساوي فرق جهد البطارية ‪𝑉𝑇‬‏.

في الدوائر البسيطة الموصلة على التوازي، يكون هذا هو السبب في أن المقاومات في كل الفروع لها نفس فرق جهد البطارية. إذا أردنا معرفة شدة التيار المار خلال المقاومة التي تبلغ قيمتها ثلاثة أوم، فعلينا تطبيق قانون كيرشوف الثاني لتحديد فرق الجهد عبر الفرع. إذا اتبعنا المسار من البطارية إلى المقاومة التي تبلغ قيمتها خمسة أوم، ثم لأعلى إلى المقاومة التي تبلغ قيمتها ثلاثة أوم، ثم لأسفل إلى المقاومة التي تبلغ قيمتها أربعة أوم، ثم العودة إلى البطارية، يمكننا تطبيق قانون كيرشوف الثاني على هذا المسار.

فرق الجهد الكلي هو فرق جهد البطارية، وهو 22 فولت. ‏‪𝑉‬‏ واحد هو فرق الجهد عبر المقاومة التي تبلغ قيمتها خمسة أوم. ‏‪𝑉‬‏ اثنان هو فرق الجهد عبر المقاومة التي تبلغ قيمتها ثلاثة أوم. و‪𝑉‬‏ ثلاثة هو فرق الجهد عبر المقاومة التي تبلغ قيمتها أربعة أوم. وبما أننا لا نعرف فرق الجهد عبر أي من المقاومات، فسنحتاج إلى التعويض بقانون أوم في كل واحدة على حدة.

إذن، نعوض بـ ‪𝐼𝑅‬‏ عن كل فرق جهد. بالنسبة إلى المقاومة التي تبلغ قيمتها خمسة أوم، لدينا ‪𝐼‬‏ تساوي اثنين أمبير و‪𝑅‬‏ تساوي خمسة أوم. بالنسبة إلى المقاومة التي تبلغ قيمتها ثلاثة أوم، ليس معلومًا لدينا شدة التيار، لذا نتركها في صورة ‪𝐼‬‏. والمقاومة تساوي ثلاثة أوم. بالنسبة إلى المقاومة التي تبلغ قيمتها أربعة أوم، سنعوض بمقدار اثنين أمبير للتيار وأربعة أوم للمقاومة.

بالتبسيط من خلال التوزيع، اثنان في خمسة يساوي 10، واثنان في أربعة يساوي ثمانية. ولعزل شدة التيار في طرف وحدها، علينا طرح ثمانية فولت من كلا الطرفين و 10 فولت من كلا الطرفين أيضًا. سيؤدي هذا إلى حذف ثمانية فولت و10 فولت من الطرف الأيمن من المعادلة. بطرح 18 فولت من 22 فولت، يتبقى في الطرف الأيسر من المعادلة أربعة فولت. الخطوة الأخيرة هي قسمة كلا طرفي المعادلة على ثلاثة أوم، ما يلغي ثلاثة أوم في الطرف الأيمن من المعادلة. وهذا يعطينا شدة تيار قيمتها أربعة أثلاث من الأمبير.

إذا طبقنا قانون كيرشوف الأول، يمكننا إيجاد شدة التيار عبر المقاومة التي تبلغ قيمتها ستة أوم. في هذه الحالة، لا بد أن تساوي شدة التيار الكلية للتيار الذي يدخل إلى نقطة التقاطع، ‪𝐼𝑇‬‏، شدة التيار الذي يمر عبر المقاومة التي تبلغ قيمتها ثلاثة أوم زائد شدة الجزء من التيار الذي يمر خلال المقاومة التي تبلغ قيمتها ستة أوم. لتحديد شدة التيار المجهولة، علينا طرح شدة التيار المار عبر المقاومة التي تبلغ قيمتها ثلاثة أوم من طرفي المعادلة. سيلغي هذا شدة التيار المار عبر المقاومة التي تبلغ قيمتها ثلاثة أوم في الطرف الأيمن من المعادلة.

عندما نطرح شدة التيار المار عبر المقاومة التي تبلغ قيمتها ثلاثة أوم من شدة التيار الكلية، فإننا نحصل على شدة التيار الذي يمر عبر المقاومة التي تبلغ قيمتها ستة أوم. نعوض باثنين أمبير عن شدة التيار الكلية، وبأربعة أثلاث أمبير عن شدة التيار المار عبر المقاومة التي تبلغ قيمتها ثلاثة أوم، كما عرفنا. عند طرح الكسور، علينا التأكد من وجود المقام المشترك الأصغر. في هذه الحالة، سيكون ثلاثة. إذن نضرب اثنين في ثلاثة على ثلاثة، وهو ما يساوي ستة أثلاث. عندما نطرح أربعة أثلاث أمبير من ستة أثلاث أمبير، نحصل على ثلثي أمبير.

هيا نطبق ما تعلمناه توًّا عن الدوائر المركبة من خلال مثال.

في الدائرة الكهربية الموضحة، يسلك التيار مسارات متعددة من طرف البطارية الموجب إلى طرف البطارية السالب. أوجد المقاومة الكلية للدائرة الكهربية.

يوضح هذا الشكل دائرة مركبة، المقاومات فيها موصلة على التوازي وأيضًا على التوالي. قبل أن نبسط الدائرة لإيجاد المقاومة الكلية، دعونا نذكر أنفسنا بكيفية إيجاد المقاومة الكلية في كل من الدوائر الموصلة على التوالي والموصلة على التوازي. في الدوائر الموصلة على التوالي، المقاومة الكلية أو المقاومة المكافئة تساوي مجموع كل مقاومة منفردة، ‪𝑅‬‏ واحد، و‪𝑅‬‏ اثنين، و‪𝑅‬‏ ثلاثة، وهكذا، حتى تحسب جميع المقاومات. في الدوائر الموصلة على التوازي، واحد على المقاومة الكلية أو المقاومة المكافئة يساوي واحدًا على ‪𝑅‬‏ واحد زائد واحد على ‪𝑅‬‏ اثنين زائد واحد على ‪𝑅‬‏ ثلاثة، وهكذا دواليك حتى تحسب جميع المقاومات.

بالنظر إلى الشكل، يمكننا أن نرى أنه إذا استطعنا التعويض عن المقاومتين الموصلتين على التوازي بمقاومة مكافئة، فسنحصل على دائرة بسيطة موصلة على التوالي. لقد رسمنا نسخة مبسطة من الدائرة بالأسفل. علينا تحديد قيمة ‪𝑅‬‏ المكافئة للمقاومتين اللتين تبلغ قيمتاهما 12 أوم و18 أوم والموصلتين على التوازي. للقيام بذلك، علينا استخدام معادلة إيجاد المقاومة الكلية لدائرة موصلة على التوازي.

استخدمنا ‪𝑅‬‏ للمقاومة المكافئة، وبذلك يصبح الطرف الأيسر من المعادلة واحدًا على ‪𝑅‬‏. في الطرف الأيمن من المعادلة، لدينا المقاومتان، واحد على 12 أوم زائد واحد على 18 أوم. عند جمع الكسور، علينا إيجاد المقام المشترك الأصغر. المقام المشترك الأصغر لـ 12 أوم و18 أوم هو36 أوم. لكي يكون لكل كسر مقام يساوي 36 أوم، يجب ضرب الكسر واحد على 12 أوم في ثلاثة على ثلاثة، ويجب ضرب الكسر واحد على 18 أوم في اثنين على اثنين. وهذا يجعل الكسرين ثلاثة على 36 أوم زائد اثنين على 36 أوم. عندما نجمع ثلاثة على 36 أوم زائد اثنين على 36 أوم، نحصل على خمسة على 36 أوم.

لعزل ‪𝑅‬‏ في طرف وحدها، نضرب كلا طرفي المعادلة في 36 أوم و‪𝑅‬‏. يلغي ذلك ‪𝑅‬‏ في الطرف الأيسر من المعادلة و36 أوم في الطرف الأيمن من المعادلة، ما يعطينا المعادلة 36 أوم يساوي خمسة ‪𝑅‬‏. ثم نقسم كلا الطرفين على خمسة، ما يلغى العدد خمسة الموجود في الطرف الأيمن من المعادلة، وهو ما يعطينا مقاومة مكافئة مقدارها 36 على خمسة أوم. في الصورة العشرية، يساوي ذلك 7.2 أوم.

بالنظر إلى الدائرة المبسطة، يمكننا أن نرى أن المقاومات الثلاثة موصلة على التوالي. وبالتالي، علينا استخدام معادلة إيجاد المقاومة الكلية لمقاومات موصلة على التوالي. المقاومة الكلية للدائرة، ‪𝑅‬‏ المكافئة، تساوي 14 أوم، وهي قيمة المقاومة الأولى، زائد 10 أوم، وهي قيمة المقاومة الثانية، زائد 7.2 أوم، وهي قيمة المقاومة المكافئة لكل من المقاومتين اللتين تبلغ قيمتاهما 12 و18 أوم والموصلتين على التوازي. عندما نجمع المقاومات الثلاث معًا، نحصل على القيمة 31.2. جميع القيم في المسألة معطاة لأقرب رقمين معنويين. ومن ثم، علينا تقريب المقاومة الكلية لأقرب رقمين معنويين، ما يعطينا مقاومة كلية للدائرة قيمتها 31 أوم.

النقاط الرئيسية

يمكن تحديد خصائص الدوائر التي تحتوي على مقاومات موصلة على التوالي ومقاومات موصلة على التوازي عن طريق حساب المقاومة المكافئة لفروع الدائرة. يمكن استخدام قانوني كيرشوف لحساب قيم شدة التيار في فروع الدوائر التي لا يمكن فيها حساب شدة التيار باستخدام طرق المقاومة المكافئة.