نسخة الفيديو النصية
تحتوي حقيبة على ٢٧ كرة بيضاء وست كرات سوداء. إذا سحبت كرتان بالتتابع من دون إحلال، فما احتمال أن تكون الكرة الثانية سوداء، مع العلم أن الأولى سوداء؟
بما أن هذا السؤال يتعلق بسحب كرتين واحدة تلو الأخرى من حقيبة، فسيكون من المفيد استخدام مخطط الشجرة البيانية لتوضيح الموقف. الحدث الأول هو اختيار الكرة الأولى، وله ناتجان: إما أن تكون الكرة بيضاء، وإما أن تكون الكرة سوداء. والحدث الثاني هو اختيار الكرة الثانية، وله نفس الناتجين أيضًا: إما أن تكون الكرة بيضاء، وإما أن تكون الكرة سوداء.
لاحظ أن الكرتين مسحوبتان من دون إحلال، لذا بمجرد اختيار الكرة الأولى، فإنها لا تعاد إلى الحقيبة قبل سحب الكرة الثانية. من ثم علينا أخذ ناتج لون الكرة الأولى في الاعتبار عند حساب احتمال وقوع كل ناتج من نواتج اختيار الكرة الثانية. لكن بالنسبة إلى الكرة الأولى، يمكننا فقط استخدام العدد الأصلي للكرات لكل لون في الحقيبة. في البداية توجد ٢٧ كرة بيضاء وست كرات سوداء. إذن إجمالي عدد الكرات في الحقيبة هو ٣٣. من ثم يمكننا كتابة احتمالي ناتجي الكرة الأولى في صورة كسرين مقامهما ٣٣.
بما أن هناك ٢٧ كرة بيضاء في البداية، فإن احتمال أن تكون الكرة الأولى المختارة بيضاء هو ٢٧ من ٣٣. وبما أن هناك ست كرات سوداء في البداية، فإن احتمال أن تكون الكرة الأولى المختارة سوداء هو ستة من ٣٣. الآن علينا التفكير في احتمالي ناتجي اختيار الكرة الثانية في كل حالة. بما أن الكرة الأولى لم تعد إلى الحقيبة، فإن عدد الكرات في الحقيبة يقل بمقدار كرة واحدة. إذن يمكن كتابة احتمالي ناتجي اختيار الكرة الثانية في كل حالة في صورة كسور مقاماتها ٣٢.
علينا الآن التفكير مليًّا فيما حدث بالفعل عند إيجاد قيمة بسط كل كسر. إذا كانت الكرة الأولى المسحوبة بيضاء، فسيقل عدد الكرات البيضاء في الحقيبة بمقدار كرة واحدة، ومن ثم تتبقى ٢٦ كرة بيضاء. من ثم احتمال أن تكون الكرة الثانية بيضاء، إذا كانت الكرة الأولى بيضاء، هو ٢٦ من ٣٢. إذا كانت الكرة الأولى بيضاء، فسيظل عدد الكرات السوداء كما هو. إذن لا تزال هناك ست كرات سوداء في الحقيبة. من ثم احتمال أن تكون الكرة الثانية سوداء، إذا كانت الكرة الأولى بيضاء، هو ستة من ٣٢.
من ناحية أخرى، إذا كانت الكرة الأولى المختارة سوداء، فسيكون عدد الكرات البيضاء في الحقيبة هو نفسه الذي كان موجودًا فيها في البداية، لكن عدد الكرات السوداء سيقل بمقدار كرة واحدة. إذن، احتمال أن تكون الكرة الثانية بيضاء، إذا كانت الكرة الأولى سوداء، هو ٢٧ من ٣٢. أما احتمال أن تكون الكرة الثانية سوداء، إذا كانت الكرة الأولى سوداء، فهو خمسة من ٣٢.
لاحظ أنه في كل حالة يساوي مجموع قيم الاحتمالات في كل مجموعة من فروع مخطط الشجرة البيانية واحدًا، وهو ما يمكن أن يساعد في إيجاد الاحتمالات.
دعونا الآن نستخدم مخطط الشجرة البيانية للإجابة عن السؤال، وهو إيجاد احتمال أن تكون الكرة الثانية سوداء، مع العلم أن الأولى كانت سوداء. يمكن إيجاد هذا الاحتمال في المجموعة الثانية من فروع مخطط الشجرة البيانية. إذا كانت الكرة الأولى سوداء، فإن احتمال أن تكون الكرة الثانية سوداء أيضًا هو خمسة من ٣٢؛ لأنه إذا سحبت كرة سوداء واحدة من الحقيبة، فستتبقى خمس كرات سوداء من إجمالي العدد المقلص البالغ ٣٢ كرة. يمكننا التعبير عن ذلك باستخدام ترميز الاحتمال الشرطي للخط الرأسي.
إذن برسم مخطط الشجرة البيانية، وجدنا أن احتمال أن تكون الكرة الثانية سوداء، مع العلم أن الأولى سوداء، هو خمسة على ٣٢.
