فيديو: إيجاد النقاط على منحنى معرف ضمنيًا حيث المماس عند تلك النقاط عمودي على خط معطى

أوجد النقطتين الواقعتين على المنحنى 𝑥² + 𝑦² + 𝑥 + 8𝑦 = 0 اللتين يكون عندهما المماس للمنحنى عموديًا على الخط 7𝑦 + 4𝑥 + 𝑐 = 0.

٠٨:٣٣

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد النقطتين الواقعتين على المنحنى 𝑥 تربيع زائد 𝑦 تربيع زائد 𝑥 زائد ثمانية 𝑦 يساوي صفرًا اللتين يكون عندهما المماس للمنحنى عموديًا على الخط سبعة 𝑦 زائد أربعة 𝑥 زائد 𝑐 يساوي صفرًا.

لنلق نظرة على الجزء الأول من هذه المسألة الذي نعلم منه أن المماس عمودي على الخط، وهذا الخط هو سبعة 𝑦 زائد أربعة 𝑥 زائد 𝑐 يساوي صفرًا. حسنًا، لنستخدم ذلك أولًا.

إذن لدينا الخط هنا، وما علينا فعله هو أن نعيد ترتيبه. حسنًا، نحن نريد أن نعيد ترتيبه ليصبح في الصيغة 𝑦 يساوي 𝑚𝑥 زائد 𝑐؛ لأنه كما نرى هنا 𝑚 هو الميل وزائد 𝑐 هو الجزء المقطوع من المحور 𝑦. وفي هذه الحالة، هذا هو الميل الذي نبحث عنه. إذا طرحنا أربعة 𝑥 ناقص 𝑐، نحصل على سبعة 𝑦 يساوي سالب أربعة 𝑥 ناقص 𝑐. ثم إذا قسمنا الطرفين على سبعة، نحصل على 𝑦 يساوي سالب أربعة 𝑥 ناقص 𝑐 على سبعة.

سنعيد كتابة ذلك لتوضيح كيف ستكون دالة الميل. لدينا 𝑦 يساوي سالب أربعة على سبعة 𝑥 ناقص 𝑐 على سبعة. بالتالي، يمكننا القول: إن الميل سيكون 𝑚. وهو هنا يساوي سالب أربعة على سبعة.

حسنًا، لقد أوجدنا الميل. لكن فيم يفيد هذا؟ حسنًا، في الحقيقة كلمة “عمودي” هنا هي ما تجعله مفيدًا؛ لأن ما نبحث عنه حقًا هو النقاط على المنحنى التي يكون عندها المماس عموديًا على الخط. وإذا كان عموديًا، فإن الميل سيكون سالب المقلوب. بالتالي، يمكننا القول: إن الميل عند هذه النقاط هو سبعة على أربعة. وذلك لأن هذا هو سالب المقلوب للقيمة سالب أربعة على سبعة.

رائع، هكذا أصبحنا نعرف الميل الذي نبحث عنه. علينا الآن إيجاد دالة الميل للمنحنى الذي لدينا. إذا كان لدينا الدالة 𝑥 تربيع زائد 𝑦 تربيع زائد 𝑥 زائد ثمانية 𝑦 يساوي صفرًا، فإن ما سنفعله هو أننا سنشتقها لإيجاد دالة الميل. ولفعل ذلك، سنستخدم الاشتقاق الضمني.

الخطوة الأولى في الاشتقاق الضمني، التي لا أكتبها عادة لكنني سأضعها هنا لأبين ما الذي يحدث بالتفصيل، هي أننا نشتق كل الحدود التي لدينا بالنسبة للمتغير 𝑥، وهو ما يعطينا اثنين 𝑥 زائد اثنين 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 زائد واحد زائد ثمانية 𝑑𝑦 𝑑𝑥 يساوي صفرًا. وكتذكرة بالكيفية التي حصلنا بها على الحدين الثاني والرابع، نقول: إنه إذا كان لدينا حد يحتوي على 𝑦 — أي إنه دالة في المتغير 𝑦 — ونريد اشتقاقه بالنسبة لـ 𝑥، فإنه يساوي الدالة التي اشتققناها بالنسبة لـ 𝑦 في 𝑑𝑦 𝑑𝑥. ويأتي ذلك من تطبيق قاعدة السلسلة.

بالتالي، إذا نظرنا إلى الحد الثاني واشتققنا 𝑦 تربيع بالنسبة لـ 𝑥، يمكننا القول: إن ذلك سيكون مساويًا لاثنين 𝑦؛ لأننا إذا اشتققنا 𝑦 تربيع بالنسبة لـ 𝑦، فسنحصل على اثنين 𝑦 لأننا ضربنا المعامل في الأس — إذن، اثنان في واحد يعطينا اثنين — ثم نقلل الأس بمقدار واحد فيتبقى لدينا 𝑦. بعد ذلك، نضرب هذا في 𝑑𝑦 𝑑𝑥.

شيء رائع أننا عرفنا كيف نحصل على هذه النتيجة، والآن يمكننا الانتقال للمرحلة التالية. حسنًا، المرحلة التالية هي أن نجعل 𝑑𝑦 𝑑𝑥 المتغير التابع؛ لأننا قلنا سابقًا: إن هذه هي دالة الميل، وإن هذا هو ما نبحث عنه. بالتالي، نحصل على اثنين 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 زائد ثمانية 𝑑𝑦 𝑑𝑥 يساوي سالب اثنين 𝑥 ناقص واحد. والآن بما أننا نجد العامل 𝑑𝑦 𝑑𝑥 في كلا حدي الطرف الأيسر، فيمكننا أخذه عاملًا مشتركًا بهدف التحليل. بالتالي، لدينا 𝑑𝑦 𝑑𝑥 في اثنين 𝑦 زائد ثمانية يساوي سالب اثنين 𝑥 ناقص واحد.

وأخيرًا، لكي نجد دالة الميل، فإن كل ما علينا فعله هو قسمة الطرفين على اثنين 𝑦 زائد ثمانية. بالتالي يمكننا أن نقول: إن 𝑑𝑦 𝑑𝑥 — أي دالة الميل لدينا — تساوي سالب اثنين 𝑥 ناقص واحد على اثنين 𝑦 زائد ثمانية.

حسنًا، الآن حصلنا على هذا. فما هي المرحلة التالية؟ أجرينا حساباتنا من البداية لنحدد كيف سيكون الميل عند النقاط على المنحنى الذي لدينا، حيث يكون المماس عموديًا على الخط سبعة 𝑦 زائد أربعة 𝑥 زائد 𝑐 يساوي صفرًا. لذا، يمكننا التعويض بالقيمة التي لدينا عن الميل في دالة الميل ثم إيجاد معادلة المماس.

بهذا نكون قد عوضنا بسبعة على أربعة عن الميل؛ لأننا نعرف أن الميل الذي نريده يوجد عند هذه النقاط. إذن يمكننا القول: إن سالب اثنين 𝑥 ناقص واحد على اثنين 𝑦 زائد ثمانية يساوي سبعة على أربعة. بالتالي، أربعة في سالب اثنين 𝑥 ناقص واحد يساوي سبعة في اثنين 𝑦 زائد ثمانية، وهو ما يعطينا سالب ثمانية 𝑥 ناقص أربعة يساوي 14𝑦 زائد 56، والذي إذا أعدنا ترتيبه يعطينا 14𝑦 زائد ثمانية 𝑥 زائد 56 زائد أربعة يساوي صفرًا. وإذا جمعنا كل الحدود معًا، نحصل على 14𝑦 زائد ثمانية 𝑥 زائد 60 يساوي صفرًا.

الآن أمامنا مرحلة أخرى، وهي إجراء القسمة على اثنين من أجل تسهيل الأمر. إذن لدينا معادلة المماس عند النقاط التي نبحث عنها، وهي سبعة 𝑦 زائد أربعة 𝑥 زائد 30 يساوي صفرًا.

لنراجع من جديد رأس المسألة؛ لأننا نفذنا خطوات عديدة وأوجدنا أجزاء مختلفة كثيرة. لكن ما المطلوب تحديدًا في رأس المسألة؟ حسنًا، تطلب المسألة منا تحديد النقاط على المنحنى. في هذه الحالة، علينا إيجاد قيم 𝑥 و𝑦. ومن أجل إيجادهما، نكتب معادلتين آنيتين.

يمكنك الآن رؤية أن المعادلتين اللتين نسعى لحلهما معًا في آن واحد هما دالة المنحنى الذي لدينا، أي 𝑥 تربيع زائد 𝑦 تربيع زائد 𝑥 زائد ثمانية 𝑦 يساوي صفرًا، ومعادلة الخط الذي أوجدناه، وهو المماس، سبعة 𝑦 زائد أربعة 𝑥 زائد 30 يساوي صفرًا. فعلنا ذلك لأن النقطتين اللتين يلتقي عندهما 𝑥 و𝑦 هما النقطتان اللتان نبحث عنهما.

أولًا، سنعيد ترتيب المعادلة الثانية لجعل 𝑥 المتغير التابع. إذن سنحصل على أربعة 𝑥 يساوي سالب 30 ناقص سبعة 𝑦، ثم نطرح 30 وسبعة 𝑦 من طرفي المعادلة. ثم إذا قسمنا طرفي المعادلة على أربعة، نحصل على 𝑥 يساوي سالب 30 ناقص سبعة 𝑦 على أربعة. رائع، هكذا نكون قد حصلنا على هذه، ويمكننا التعويض بها في المعادلة الأولى لإيجاد قيمة 𝑦. عندما نفعل ذلك، نحصل على سالب 30 ناقص سبعة 𝑦 على أربعة الكل تربيع؛ لأننا عوضنا بسالب 30 ناقص سبعة 𝑦 على أربعة عن قيمة 𝑥 زائد 𝑦 تربيع زائد سالب 30 ناقص سبعة 𝑦 على أربعة زائد ثمانية 𝑦 يساوي صفرًا.

ثم نفك الأقواس. وبذا نحصل على 900 زائد 420𝑦 زائد 49𝑦 تربيع على 16 زائد 𝑦 تربيع زائد سالب 30 ناقص سبعة 𝑦 على أربعة زائد ثمانية 𝑦 يساوي صفرًا. ثم نضرب الكل في 16 لحذف الكسور، وهو ما يعطينا 900 زائد 420𝑦 زائد 49𝑦 تربيع زائد 16𝑦 تربيع ناقص 120 ناقص 28𝑦 زائد 128𝑦 يساوي صفرًا. والآن نبسط الحدود المتشابهة ونجمعها، لنحصل على 65𝑦 تربيع زائد 520𝑦 زائد 780 يساوي صفرًا.

حسنًا، يمكننا التحليل الآن. لكن، هل من الممكن التبسيط أكثر من ذلك؟ فلنحاول التبسيط دائمًا، وبمقدورنا فعل ذلك. يمكننا قسمة الحدود الثلاثة على 65، وهو ما يعطينا نتيجة يمكن التعامل معها بسهولة أكبر، وهذه النتيجة هي 𝑦 تربيع زائد ثمانية 𝑦 زائد 12 يساوي صفرًا. حسنًا، يمكننا تحليل ذلك لإيجاد قيم 𝑦. فنحصل على 𝑦 زائد ستة في 𝑦 زائد اثنين يساوي صفرًا. بالتالي، 𝑦 يساوي سالب ستة أو سالب اثنين. رائع، الآن توصلنا إلى إحداثيات 𝑦 النقاط الواقعة على المنحنى التي نبحث عنها. لنعوض بهذه القيم في إحدى المعادلات لدينا لإيجاد قيمة 𝑥.

ثم نعوض بقيم 𝑦 في المعادلة التي كتبناها لـ 𝑥 من أجل إيجاد قيم 𝑥. إذا بدأنا بـ 𝑦 يساوي سالب ستة، فإننا سنحصل على 𝑥 يساوي سالب 30 ناقص سبعة في سالب ستة على أربعة، وهو ما يعطينا قيمة 𝑥 وهي ثلاثة. ثم نعوض بـ 𝑦 يساوي سالب اثنين، لنحصل على 𝑥 يساوي سالب 30 ناقص سبعة في سالب اثنين الكل على أربعة، وهو ما يعطينا قيمة 𝑥 وهي سالب أربعة.

بالتالي، يمكننا القول: إن النقطتين على المنحنى 𝑥 تربيع زائد 𝑦 تربيع زائد 𝑥 زائد ثمانية 𝑦 يساوي صفرًا، واللتين يكون المماس عندهما عموديًا على الخط سبعة 𝑦 زائد أربعة 𝑥 زائد 𝑐 يساوي صفرًا، هما ثلاثة، سالب ستة، وسالب أربعة، سالب اثنين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.