فيديو: إيجاد معادلة المنحنى من الرسم

أي من الدوال الآتية ممثل بيانيًا في الشكل الموضح؟ [أ] ‪𝑦 = −(𝑥 −7)³‬‏ [ب] ‪𝑦 = (𝑥 + 7)³‬‏ [ج] ‪𝑦 = −(𝑥 + 7)³‬‏ [د] ‪𝑦 = (𝑥 − 7)³‬‏ [هـ] ‪𝑦 = 𝑥³ + 7‬‏

٠٨:٤٠

‏نسخة الفيديو النصية

أي من الدوال الآتية ممثل بيانيًا في الشكل الموضح؟ هل هي (أ) 𝑦 يساوي سالب 𝑥 ناقص سبعة الكل تكعيب، أم (ب) 𝑦 يساوي 𝑥 زائد سبعة الكل تكعيب، أم (ج) 𝑦 يساوي سالب 𝑥 زائد سبعة الكل تكعيب، أم (د) 𝑦 يساوي 𝑥 ناقص سبعة الكل تكعيب، أم (هـ) 𝑦 يساوي 𝑥 تكعيب زائد سبعة؟

الملمح الأساسي المميز في التمثيل البياني أمامنا هو الجزء المقطوع من محور 𝑥 عند 𝑥 يساوي سبعة. إذا اعتبرنا أن هذا هو التمثيل البياني لـ 𝑦 يساوي الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥، فعندما يساوي 𝑥 سبعة، فإن 𝑦، وهو 𝑓 لسبعة، يساوي صفرًا. يمكننا فحص الخيارات التي لدينا، واستبعاد تلك الخيارات التي لا تحقق 𝑓 لسبعة يساوي صفرًا.

إذن نبدأ بالخيار (أ)، 𝑦 يساوي سالب 𝑥 ناقص سبعة الكل تكعيب. لنجرب الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 يساوي سالب 𝑥 ناقص سبعة الكل تكعيب. بالتعويض عن 𝑥 بسبعة، نجد أن 𝑓 لسبعة يساوي سالب سبعة ناقص سبعة الكل تكعيب، وهو ما يساوي صفرًا. ومن ثم، ففي حالة الخيار (أ)، 𝑓 لسبعة يساوي صفرًا كما هو مطلوب. بالطبع لا يعني هذا أن الخيار (أ) صحيح. وإنما كل ما يعنيه هو أننا لا يمكننا استبعاده بعد.

ننتقل إلى الخيار (ب)، حيث الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي 𝑥 زائد سبعة الكل تكعيب. وبالتالي 𝑓 لسبعة يساوي سبعة زائد سبعة الكل تكعيب. يعطينا ذلك 2744. هذه القيمة في حد ذاتها غير مهمة. المهم هو أن 𝑓 لسبعة لا يساوي صفرًا كما ينبغي. لهذا السبب، يمكننا استبعاد الخيار (ب) من الاحتمالات.

وينطبق الأمر نفسه في حالة الخيار (ج). فالفرق الوحيد بينه وبين الخيار (ب) هو إشارة السالب هذه. وبكتابة إشارة السالب هذه في حساباتنا على الطرف الأيمن، نجد أنه في حالة الخيار (ج) 𝑓 لسبعة يساوي سالب 2744 وليس صفرًا كذلك. لذلك يمكننا أيضًا استبعاد الخيار (ج).

ماذا عن الخيار (د)، حيث الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي 𝑥 ناقص سبعة الكل تكعيب؟ إذن 𝑓 لسبعة يساوي سبعة ناقص سبعة الكل تكعيب، وهو ما يساوي صفرًا. وهذا هو ما نريد له أن يتحقق. ومن ثم لا يمكننا استبعاد الخيار (د).

وأخيرًا، فيما يتعلق بالخيار (هـ)، الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي 𝑥 تكعيب زائد سبعة. وبالتالي 𝑓 لسبعة يساوي سبعة تكعيب زائد سبعة، وهو ما لا يساوي صفرًا. نستبعد الخيار (هـ) أيضًا. نظرًا إلى أننا رأينا في التمثيل البياني أن 𝑓 لسبعة يجب أن يساوي صفرًا، استطعنا استبعاد الخيارات (ب) و(ج) و(هـ)؛ حيث في كل خيار منها، 𝑓 لسبعة لا يساوي صفرًا.

يتبقى لدينا خياران: (أ) 𝑦 يساوي سالب 𝑥 ناقص سبعة الكل تكعيب و(د) 𝑦 يساوي 𝑥 ناقص سبعة الكل تكعيب. بما أن 𝑓 لسبعة يساوي صفرًا وكل الخيارات هي دوال كثيرة الحدود، فمن غير المستغرب أن تتضمن كلتا الدالتين المتبقيتين العامل 𝑥 ناقص سبعة. ومن غير المستغرب أيضًا أن نلاحظ أن أس هذا العامل هو ثلاثة.

فلو كان الأس واحدًا، لكان لدينا شيء يشبه إلى حد كبير خطًا مستقيمًا يمر عبر الجزء المقطوع من محور 𝑥، سبعة. ولو كان الأس اثنين، لكان لدينا منحنى يمس محور 𝑥 عند الجزء المقطوع من محور 𝑥، سبعة، ولكن لا يقطعه. وهذا صحيح في حالة أي أس زوجي حيث ينكمش المنحنى، الذي يكون في صورة قطع مكافئ، أكثر وأكثر كلما زاد الأس.

ما نراه حقًا في هذا التمثيل البياني هو شيء يشبه الحرف 𝑆، وهو ما نربطه بالمكعبات. ولكنك، في الحقيقة، ستحصل على منحنى مماثل للغاية في حالة أي أس فردي أكبر من الواحد.

على أي حال، الأسان في الخيارين (أ) و(د) متماثلان. في الواقع، الفرق الوحيد بين الخيارين (أ) و(د) هو إشارة السالب هذه هنا. ومن ثم علينا استخدام إشارة السالب هذه لتحديد الخيار الصحيح من بين هذين الخيارين.

بالنظر إلى التمثيل البياني، نلاحظ أنه إذا كان 𝑥 واحد أقل من أو يساوي 𝑥 اثنين، فإن 𝑓 في المتغير 𝑥 واحد أقل من أو يساوي 𝑓 في المتغير 𝑥 اثنين. هذا هو تعريف الدالة التزايدية. كلما زادت قيمة 𝑥، فإن قيمة الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تزيد. هل هذا صحيح بالنسبة إلى الدالة الموجودة في الخيار الأول؟

لنجرب بعض القيم، فنختار 𝑥 واحد يساوي سبعة و𝑥 اثنين يساوي ثمانية. إذن بالتأكيد 𝑥 واحد أقل من أو يساوي 𝑥 اثنين. نعلم بالفعل أنه في هذا الخيار 𝑓 لسبعة يساوي صفرًا. بالتعويض عن 𝑥 بثمانية ثم التبسيط، نلاحظ أن 𝑓 لثمانية يساوي سالب واحد. إذن 𝑓 لسبعة ليس أقل من أو يساوي 𝑓 لثمانية. ومن ثم، الدالة في الخيار (أ) ليست دالة تزايدية. وبالتالي نستبعد الخيار (أ) ويتبقى لدينا الخيار (د).

طريقة أخرى لمعرفة سبب وجوب استبعاد الخيار (أ) هي أن ننظر إلى التمثيل البياني ونسأل أنفسنا: هل من المنطقي أن 𝑓 لثمانية يساوي سالب واحد؟ هذا التمثيل البياني هو مجرد مخطط بسيط. فلا يمكننا معرفة قيمة 𝑓 لثمانية. ولكن يمكننا ملاحظة أنه في حالة قيم 𝑥 الأكبر من سبعة، يبدو أن قيمة الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 هي قيمة موجبة. وسالب واحد بالطبع ليس موجبًا.

باستبعاد كل الخيارات الأخرى، فلا بد أن الإجابة هي الخيار (د)، 𝑦 يساوي 𝑥 ناقص سبعة الكل تكعيب. يمكنك التحقق من أنه، فيما يتعلق بهذا الخيار، 𝑓 لثمانية يساوي واحدًا، وهو أمر معقول بقدر أكبر كثيرًا. فهو بالتأكيد أكبر من صفر. ويمكنك كذلك التأكد من أن هذه الدالة تزايدية. فكلما ازدادت قيمة 𝑥، ازدادت قيمة 𝑥 ناقص سبعة. وكلما ازدادت قيمة 𝑥 ناقص سبعة، ازدادت قيمة 𝑥 ناقص سبعة الكل تكعيب.

إذا كان لديك إلمام بتحويلات التمثيلات البيانية، فستعرف أن التمثيل البياني لـ 𝑦 يساوي 𝑥 ناقص سبعة الكل تكعيب يجب أن يكون هو نفسه التمثيل البياني لـ 𝑦 يساوي 𝑥 تكعيب بإزاحة سبع وحدات إلى اليمين. وهذا بالفعل ما نراه في الشكل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.