فيديو السؤال: قوة مائلة تؤثر على جسم في حالة اتزان على مستوى أفقي خشن الرياضيات

وضع جسم وزنه ٤٥ نيوتن على مستوى أفقي خشن. إذا أثرت قوة أفقية مقدارها ١١ نيوتن على الجسم، فسيكون الجسم على وشك الحركة. افترض بدلًا من ذلك أن قوة، خط عملها يميل على الأفقي بزاوية قياسها ٦٠°، أثرت على الجسم. إذا كان الجسم على وشك الحركة، فأوجد مقدار هذه القوة لأقرب منزلتين عشريتين، إذا لزم الأمر.

٠٦:٢٢

‏نسخة الفيديو النصية

وضع جسم وزنه ٤٥ نيوتن على مستوى أفقي خشن. إذا أثرت قوة أفقية مقدارها ١١ نيوتن على الجسم، فسيكون الجسم على وشك الحركة. افترض بدلًا من ذلك أن قوة، خط عملها يميل على الأفقي بزاوية ٦٠ درجة، أثرت على الجسم. إذا كان الجسم على وشك الحركة، فأوجد مقدار هذه القوة لأقرب منزلتين عشريتين، إذا لزم الأمر.

في هذا السؤال، لدينا حالتان علينا التفكير فيهما. في كلتا الحالتين، يكون الجسم على وشك الحركة، وعليه، فإنه يكون في حالة اتزان. هذا يعني أنه عند تحليل القوى في الاتجاه الرأسي والاتجاه الأفقي، فإن مجموع القوى في الاتجاهين سيساوي صفرًا. إننا نعلم أيضًا أن أقصى قوة احتكاك ﺡﺱ بين جسم وسطح خشن، تساوي ﻡﺱ مضروبًا في ر، حيث ﻡﺱ هو معامل الاحتكاك، ور هو قوة رد الفعل العمودي.

دعونا نبدأ برسم مخطط جسم حر للحالة الأولى. علمنا من السؤال أن وزن الجسم هو ٤٥ نيوتن. ومن ثم، فإن هذه القوة ستؤثر رأسيًّا لأسفل. وبالتفكير في قانون نيوتن الثالث، نجد أنه سيكون لدينا قوة رد فعل عمودي تؤثر رأسيًّا لأعلى. وهناك أيضًا قوة أفقية مقدارها ١١ نيوتن تؤثر على الجسم. وعليه، ستؤثر قوة الاحتكاك ﺡﺱ في الاتجاه المعاكس لهذه القوة الأفقية. عند تحليل القوى في الاتجاه الرأسي، يصبح لدينا ر ناقص ٤٥ يساوي صفرًا؛ حيث الاتجاه الموجب هو الاتجاه رأسيًّا لأعلى. بإضافة ٤٥ إلى طرفي هذه المعادلة، نحصل على ر يساوي ٤٥. إذن، قوة رد الفعل العمودي المؤثرة على الجسم تساوي ٤٥ نيوتن.

بتحليل القوى بعد ذلك في الاتجاه الأفقي، نحصل على ١١ ناقص ﺡﺱ يساوي صفرًا. وبإضافة قوة الاحتكاك إلى طرفي هذه المعادلة، يصبح لدينا ﺡﺱ يساوي ١١. إذن، قوة الاحتكاك تساوي ١١ نيوتن. يمكننا استخدام هاتين القيمتين لحساب معامل الاحتكاك ﻡﺱ. لدينا إذن المعادلة ١١ يساوي ﻡﺱ مضروبًا في ٤٥. وبقسمة طرفي المعادلة على ٤٥، نجد أن ﻡﺱ يساوي ١١ على ٤٥.

دعونا الآن نتناول الحالة الثانية حيث تؤثر على الجسم قوة مائلة على الأفقي بزاوية ٦٠ درجة، بدلًا من قوة مقدارها ١١ نيوتن. هذه القوة ﻕ سيكون لها مركبة أفقية وأخرى رأسية. ويمكننا حساب قيمتي هاتين المركبتين بالاستعانة بما نعرفه عن حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية. المركبة الأفقية ﺱ مجاورة للزاوية التي قياسها ٦٠ درجة، أما المركبة الرأسية ﺹ فهي مقابلة للزاوية التي قياسها ٦٠ درجة. إننا نعلم أن جيب تمام أي زاوية 𝜃 في مثلث قائم الزاوية يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. هذا يعني أن جتا ٦٠ درجة يساوي ﺱ على ﻕ.

‏جتا ٦٠ درجة يساوي نصفًا. إذن، بضرب كلا الطرفين في ﻕ، نجد أن ﺱ يساوي نصف ﻕ. إذن، المركبة الأفقية للقوة تساوي نصف ﻕ. وبالمثل، بما أن جيب الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، فإن جا ٦٠ درجة يساوي ﺹ على ﻕ. وجا ٦٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. وبهذا، نجد أن ﺹ يساوي جذر ثلاثة على اثنين ﻕ. وهذه هي المركبة الرأسية للقوة.

يمكننا الآن تحليل القوى في الاتجاه الرأسي والاتجاه الأفقي مرة أخرى. بما أن الجسم ما زال في حالة اتزان، فعند تحليل القوى في الاتجاه الرأسي، نحصل على ر زائد جذر ثلاثة على اثنين ﻕ ناقص ٤٥ يساوي صفرًا. وبتحليل القوى في الاتجاه الأفقي، نحصل على نصف ﻕ ناقص قوة الاحتكاك ﺡﺱ يساوي صفرًا. وبما أن قوة الاحتكاك هذه تساوي ﻡﺱ مضروبًا في ر وﻡﺱ يساوي ١١ على ٤٥، يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة على صورة نصف ﻕ ناقص ١١ على ٤٥ر يساوي صفرًا.

حسنًا، لدينا الآن زوج من المعادلات الآنية التي يمكننا حلها لحساب قيمة ﻕ. وإحدى طرق فعل ذلك هي التعويض. سنبدأ بجعل ر المتغير التابع في المعادلة الأولى. وبإضافة ٤٥ وطرح جذر ثلاثة على اثنين ﻕ من كلا الطرفين، يصبح لدينا ر يساوي ٤٥ ناقص جذر ثلاثة على اثنين ﻕ. بعد ذلك، يمكننا التعويض بهذا التعبير عن ر في المعادلة الثانية. وهذا يعطينا نصف ﻕ ناقص ١١ على ٤٥ مضروبًا في ٤٥ ناقص جذر ثلاثة على اثنين ﻕ يساوي صفرًا. إذن، بفك القوسين لدينا بالتوزيع، نحصل على نصف ﻕ ناقص ١١ زائد ١١ جذر ثلاثة على ٩٠ﻕ يساوي صفرًا.

سنفرغ الآن بعض المساحة ونحل هذه المعادلة. يمكننا أولًا إضافة ١١ إلى كلا الطرفين. بعد ذلك، يمكننا جمع معاملي ﻕ معًا بحيث يصبح لدينا ٤٥ زائد ١١ جذر ثلاثة على ٩٠ﻕ يساوي ١١. سنقسم بعد ذلك كلا الطرفين على ٤٥ زائد ١١ جذر ثلاثة على ٩٠، ما يجعلنا نحصل على ﻕ يساوي ١٥٫٤٥٦٠ وهكذا مع توالي الأرقام. مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين. هذا يعني أن ﻕ يساوي تقريبًا ١٥٫٤٦. إذن، مقدار القوة ﻕ هو ١٥٫٤٦ نيوتن.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.