فيديو الدرس: إيجاد أطوال الأضلاع باستخدام نسبة الجيب

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنرى كيف نستخدم نسبة الجيب لحساب طول الضلع المقابل أو طول الوتر في المثلث القائم الزاوية. أولًا، تذكير سريع بنسبة الجيب. لدي هنا مثلث قائم الزاوية. وسميت إحدى الزوايا الأخرى ‪𝜃‬‏. ثم سميت الأضلاع الثلاثة في المثلث بأسمائها — المقابل والمجاور والوتر — من حيث علاقتها بالزاوية ‪𝜃‬‏. تذكر أن نسبة الجيب هي النسبة بين طول المقابل وطول الوتر. وتحدد بالصيغة جيب الزاوية ‪𝜃‬‏ يساوي طول المقابل على طول الوتر. وإذا كنت على دراية بالاختصار ‪SOHCAHTOA‬‏ الذي يساعد في حساب المثلثات، فستعلم أن هذا بالتأكيد الجزء ‪SOH‬‏ منه. إذن، دعونا نر كيف نطبق هذا على السؤال الأول لدينا.

لدينا هنا مثلث قائم الزاوية، حيث لدينا طول أحد الأضلاع وقياس إحدى الزوايا. والمطلوب إيجاد قيمة ‪𝑥‬‏ لأقرب جزء من عشرة.

ومن الشكل، يمكننا رؤية أن ‪𝑥‬‏ يمثل طولًا. ومن ثم، فأول خطوة أقوم بها في أي مسألة تتضمن حساب المثلثات هي تسمية الأضلاع الثلاثة للمثلث بأسمائها. إذن بالنسبة ل 42 درجة، سأسمي الوتر في المثلث وهو هذا الضلع هنا، والمقابل وهو هذا الضلع هنا، والمجاور. ما يمكنني رؤيته هو أن لدي قياس زاوية واحدة. أعلم طول الوتر. وأريد إيجاد طول ‪𝑥‬‏، وهو المقابل. إذن، أريد ‪O‬‏ و‪H‬‏. وإذا كنت تتذكر الاختصار ‪SOHCAHTOA‬‏، فستعلم أن ‪O‬‏ و‪H‬‏ يظهران معًا في نسبة الجيب، وهكذا عرفت أنني سأستخدم نسبة الجيب. وهذا الفيديو بالطبع مخصص لتناول استخدام نسبة الجيب. لكن بشكل عام، هكذا تحدد ما إذا كنت ستستخدم نسبة الجيب، أم جيب التمام، أم الظل.

دعونا نكتب تعريف نسبة الجيب. تذكر أن جيب الزاوية ‪𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر. إذن ما سأفعله هو أنني سأكتب هذه النسبة مرة أخرى. وسأعوض بالمعطيات التي لدي. إذن سأعوض عن ‪𝜃‬‏ بـ 42. وسأعوض عن طول المقابل بـ ‪𝑥‬‏ لأنه هو الحرف الذي يمثله في هذا السؤال. ثم سأعوض عن طول الوتر بـ 10. فيصبح لدينا ‪sin‬‏42 يساوي ‪𝑥‬‏ على 10. والآن هذه معادلة يمكننا حلها لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏. بما أن لدينا 10 في المقام، فسأضرب كلا طرفي المعادلة في 10. والآن بدلت طرفي المعادلة لأنني أفضل أن يكون ‪𝑥‬‏ في الطرف الأيسر بمفرده. وما نحصل عليه هو أن ‪𝑥‬‏ يساوي ‪sin‬‏42 10. وهكذا تكتب 10 في ‪sin‬‏42. لا تحتاج لعلامة الضرب.

الآن يمكنني إيجاد قيمة ذلك باستخدام الآلة الحاسبة. حسنًا، أكتب 10‪sin‬‏42 على الآلة الحاسبة، وأتأكد من أنها على وضع الدرجات. وعندما أفعل ذلك، سأحصل على الإجابة 6.691. إذن، هذه هي إجابتي لقيمة ‪𝑥‬‏. والمطلوب في السؤال تقريبها لأقرب جزء من عشرة. لذا، علينا تقريب الإجابة. وبذلك نحصل على ‪𝑥‬‏ يساوي 6.7. إذن في هذا السؤال، سمينا الأضلاع أولًا. وحددنا أننا سنستخدم نسبة الجيب. وتذكرنا تعريف نسبة الجيب، وكتبناه باستخدام المعطيات التي لدينا في السؤال، ثم قمنا بحل المعادلة الناتجة لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏.

حسنًا، في السؤال الثاني، لدينا مثلث قائم الزاوية. والمطلوب إيجاد قيمة ‪𝑦‬‏، وهذه المرة لأقرب منزلتين عشريتين.

إذن كما فعلنا من قبل، أول خطوة لحل مسألة تتضمن حساب المثلثات هي تسمية أضلاع المثلث القائم الزاوية. لدينا المقابل، والمجاور، والوتر. حسنًا، نلاحظ أننا نعرف طول المقابل هذه المرة. إنه 22 سنتيمترًا. وعلينا إيجاد طول الوتر. إذن مرة أخرى، ‪O‬‏ و‪H‬‏ موجودان في هذه النسبة. إذن نعرف أنها نسبة الجيب. هيا نتذكر تعريفها. تذكر أن جيب الزاوية ‪𝜃‬‏ يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر. إذن كما فعلنا من قبل، سأكتب هذه النسبة مرة أخرى، لكن سأضع المعطيات التي لدينا. سأعوض عن ‪𝜃‬‏ بالزاوية 31 درجة. ثم سأعوض عن طول المقابل بـ 22. ثم سأعوض عن طول الوتر بـ ‪𝑦‬‏. إذن لدينا ‪sin‬‏31 يساوي 22 على ‪𝑦‬‏. وهذه معادلة سنحلها لإيجاد قيمة ‪𝑦‬‏.

حسنًا، هذه معادلة أكثر تعقيدًا بعض الشيء من المعادلة التي كانت لدينا بالسابق لأن ‪𝑦‬‏ يظهر هذه المرة في مقام كسر. إذن سيتضمن حل المعادلة خطوتين. الخطوة الأولى هي أن نضرب كلا طرفي المعادلة في ‪𝑦‬‏ لأن هذا سيخرجها من الكسر. عندما أفعل ذلك، فسأجد أن ‪𝑦‬‏ في ‪sin‬‏31، والذي يمكنني كتابته في صورة ‪𝑦 sin‬‏31، يساوي 22. والآن الخطوة التالية لحل هذه المعادلة هي أن نجعل ‪𝑦‬‏ في طرف بمفرده. لذا علينا أن نقسم كلا طرفي المعادلة على ‪sin‬‏31. هذا مجرد عدد. لذا من الطبيعي جدًّا أن أفعل ذلك. وعندما أفعل ذلك، سأجد أن ‪𝑦‬‏ يساوي 22 على ‪sin‬‏31.

وعند هذه المرحلة، سأستخدم الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة ذلك. وسأجد أن ‪𝑦‬‏ يساوي 42.71528. طلب منا في السؤال أن نوجد هذه القيمة لأقرب منزلتين عشريتين. لذا، سأقرب الإجابة. وسأجد أن ‪𝑦‬‏ يساوي 42.72. اتبعنا إذن عملية مشابهة جدًّا للسؤال السابق. ولأننا نحاول إيجاد طول الوتر والذي كان موجودًا في مقام كسر، فكان لدينا معادلة أكثر تعقيدًا علينا حلها بمجرد أن نصل لهذه النقطة. لكن المراحل الأولى لإعداد المعادلة كانت متماثلة تقريبًا. حسنًا، الآن سنرى مسألتين كلاميتين.

تقول المسألة الأولى، سلم بطول ستة أمتار يستند على جدار رأسي، صانعًا زاوية 15 درجة مع الحائط. كم تبعد قاعدة السلم عن الحائط؟

غالبًا يكون لديك في المسائل الكلامية وصف للموقف. ولكن لا يكون لديك شكل. فمن الجيد دائمًا أن تبدأ برسم الشكل بنفسك. سيكون لدينا شكل به سلم، وحائط، وأرضية. ونفترض الآن أن الأرضية أفقية. ومن ثم نحصل على زاوية قائمة بين الحائط والأرضية. هيا نضع المعطيات على الشكل. طول السلم يبلغ ستة أمتار. إذن هذا الطول هنا يبلغ ستة أمتار. وقياس الزاوية بين السلم والحائط 15 درجة. وهي هذه الزاوية. والمطلوب إيجاد كم تبعد قاعدة السلم عن الحائط. نريد إذن إيجاد هذه المسافة، التي سأسميها ‪𝑥‬‏ من الأمتار. برسم هذا الشكل، جعلنا هذه المسألة تبدو مشابهة جدًّا للسؤالين السابقين اللذين قمنا بحلهما بالفعل. في الخطوة الأولى، سنسمي الأضلاع الثلاثة: المجاور، والمقابل، والوتر. وكما هو الحال خلال هذا الفيديو، يمكننا رؤية أن طولي المقابل والوتر هما اللذان سنستخدمهما في هذه النسبة التي نريدها، وهما ‪𝑥‬‏ وستة.

وبما أننا سنستخدم طولي المقابل والوتر، فسنستخدم نسبة الجيب. تذكر أن جيب الزاوية يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الوتر. نكتب ذلك باستخدام المعطيات الموجودة في السؤال، حسنًا لدينا ‪sin‬‏15 يساوي ‪𝑥‬‏ على ستة. ونريد حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏. لدينا ستة في المقام. لذا علينا أن نضرب كلا طرفي المعادلة في ستة. وإذا فعلنا ذلك، نجد أن ‪𝑥‬‏ يساوي ستة ‪sin‬‏15. والآن سأوجد قيمة ذلك باستخدام الآلة الحاسبة. هذا يعطينا 1.55291.

لم يطلب منا السؤال التقريب إلى مستوى معين من الدقة. إذن، سأقرب الإجابة لأقرب جزء من مائة، ولأن ‪𝑥‬‏ يقاس بالمتر فسيكون أيضًا لأقرب سنتيمتر. بذلك تكون المسافة بين قاعدة السلم والحائط 1.55 متر. وبما أننا أوجدنا نسبة الجيب، فلم تعد هذه المسألة أكثر تعقيدًا من المسألة الأولى التي قمنا بحلها. فقط كانت هناك خطوة إضافية، وهي أن نتأكد من أننا قرأنا معطيات السؤال بعناية ورسمنا الشكل الصحيح الذي يساعدنا على الحل. المسألة الأخيرة التي لدينا هي مسألة كلامية أخرى.

إنها تقول، يطير جو طائرة ورقية. يصنع الخيط زاوية 61 درجة مع الأرض. وارتفاع الطائرة الورقية 48 مترًا فوق الأرض. المطلوب أن نحسب طول خيط الطائرة الورقية.

مرة أخرى، لا يوجد شكل في هذا السؤال، ما يعني أن علينا رسم شكل الأرض والطائرة الورقية فوقها بأنفسنا. لدينا هنا الشكل حيث جو والطائرة الورقية. هيا نضع المعطيات التي لدينا على الشكل. يصنع الخيط زاوية 61 درجة مع الأرض. إذن هذه 61 درجة. وارتفاع الطائرة الورقية 48 مترًا فوق الأرض. المطلوب أن نحسب طول خيط الطائرة الورقية. وهو هذا الطول هنا. وسأسميه ‪𝑦‬‏ من الأمتار. إذن، لدينا هنا مثلث قائم الزاوية. ولدينا طول ضلع واحد وقياس زاوية واحدة. ونريد حساب طول ضلع آخر، ما يعني أنه يمكننا تطبيق حساب المثلثات في هذه المسألة. كما فعلنا في الخطوة الأولى، نسمي هذه الأضلاع الثلاثة: المقابل، والمجاور، والوتر من حيث علاقتها بالزاوية 61 درجة.

كما فعلنا من قبل، يمكننا أن نرى أن طول المقابل، وهو 48 مترًا، وطول الوتر، ‪𝑦‬‏، هما اللذان سنستخدمهما في هذه النسبة. مرة أخرى، علينا استخدام نسبة الجيب في هذا السؤال. نعرف تعريف نسبة الجيب. وسنكتبه باستخدام القيم الموجودة في هذا السؤال. لدينا ‪sin‬‏61 يساوي 48 على ‪𝑦‬‏. والآن هذه المسألة مشابهة للمسألة الثانية التي قمنا بحلها، حيث إن القيمة غير المعروفة ‪𝑦‬‏ موجودة في مقام هذا الكسر. إذا كنت تتذكر الخطوة الأولى لحل هذه المعادلة، فإنها كانت ضرب كلا الطرفين في ‪𝑦‬‏. وعندما نفعل ذلك، سنحصل على ‪𝑦 sin‬‏61 يساوي 48. والآن لإيجاد قيمة ‪𝑦‬‏، علينا قسمة كلا طرفي المعادلة على ‪sin‬‏61. وهذا يعطينا ‪𝑦‬‏ يساوي 48 على ‪sin‬‏61. سأحسب قيمة ذلك باستخدام الآلة الحاسبة. وسأجد أن ‪𝑦‬‏ يساوي 54.88099.

لم يطلب السؤال التقريب لدرجة محددة. إذن مرة أخرى، التقريب لأقرب جزء من مائة سيكون المكافئ للتقريب لأقرب سنتيمتر هنا. إذن هكذا سأقرب إجابتي. لدينا إذن طول خيط الطائرة الورقية 54.88. ودائمًا الأمر يستحق أن تتحقق من إجابتك سريعًا للتأكد من أنك لم تستخدم النسبة معكوسة على سبيل المثال. نريد إيجاد قيمة ‪𝑦‬‏ التي تمثل طول الوتر في المثلث. وتذكر أن الوتر هو أطول ضلع. ومن ثم يجب أن يكون هذا القياس الذي أوجدناه أكبر من طولي الضلعين الآخرين في المثلث. وهو أكبر من 48. إذن هذا يعطينا بعض الثقة في أننا استخدمنا نسبة الجيب بطريقة صحيحة في النهاية.

لكي نلخص ذلك، لكل من هذه الأسئلة التي تتضمن نسبة الجيب، تذكر أولًا تعريف نسبة الجيب. واكتبه باستخدام المعطيات التي لديك في كل سؤال تجيب عنه. ثم حل المعادلة الناتجة. أحيانًا ستكون مباشرة. وأحيانًا ستتضمن خطوتين للحل. إذا كان لديك مسألة كلامية، فاقرأها جيدًا وابدأ برسم الشكل أولًا ليساعدك في تصور الموقف.