فيديو الدرس: مقدمة في المصفوفات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نحدد المصفوفات، ونحدد رتبة المصفوفة ومواضع عناصرها. المصفوفة هي شبكة من الأعداد. وهي مفيدة جدًا؛ إذ تتيح لنا تمثيل مجموعات الأعداد والتعامل معها كما لو كانت كيانًا واحدًا. فنستخدمها، على سبيل المثال، لحل المعادلات الآنية وتمثيل التحويلات. إننا نرتب كميات قياسية، نسميها عناصر، في مصفوفة، وجمعها مصفوفات، مكونة من صفوف وأعمدة. عندما نصف مصفوفة، دعونا نسمها ﺃ، باعتبارها مصفوفة رتبتها ﻡ في ﻥ، فهذا يعني أنها تحتوي على عدد ﻡ من الصفوف وعدد ﻥ من الأعمدة. ويمكننا تمثيل هذه المصفوفة كما هو موضح.

يمكننا الآن القول إن العنصر الذي يقع في الصف ﺱ والعمود ﺹ، وهو كمية قياسية، مثل الثابت أو المقدار الأحادي القيمة، هو ﺃﺱﺹ. على سبيل المثال، العنصر الموجود في الصف الثالث والعمود الخامس هو ﺃ ثلاثة خمسة. وإذا كان ﻡ يساوي ﻥ، بعبارة أخرى، عدد الصفوف والأعمدة متساويًا، فهذا يعني أن المصفوفة مربعة. فإذا كان خلاف ذلك، فهي مستطيلة. وبالمثل، إذا كان ﻡ أو ﻥ يساوي واحدًا، فإننا نقول إن لدينا متجهًا. ونستخدم هذه الطرق لتعريف النقاط في الفراغ.

هناك مصفوفتان خاصتان يجب أن نكون على دراية بهما، على الرغم من أننا لن نتناولهما بالتفصيل. إنهما مصفوفة الوحدة والمصفوفة الصفرية. في مصفوفة الوحدة 𝐼، جميع العناصر تساوي صفرًا، باستثناء العناصر الموجودة في القطر الرئيسي، كما هو موضح، والتي لها القيمة واحد. وفي المصفوفة الصفرية صفر، كل عنصر من العناصر يساوي صفرًا. وبذلك، نكون قد تناولنا أساسيات المصفوفات. دعونا نلق نظرة على بعض الأسئلة التي تعرفنا على هذه المفاهيم.

ما عدد عناصر المصفوفة التي رتبتها تسعة في سبعة؟

تذكر أننا نرتب كميات قياسية، نسميها عناصر، في مصفوفة مكونة من صفوف وأعمدة. عندما نصف مصفوفة، دعونا نسم هذه المصفوفة العامة ﺃ، باعتبارها مصفوفة رتبتها ﻡ في ﻥ، فإنها تحتوي على عدد ﻡ من الصفوف وعدد ﻥ من الأعمدة. وستبدو هذه المصفوفة بهذا الشكل. رتبة هذه المصفوفة هي ﻡ في ﻥ. لدينا الآن مصفوفة رتبتها تسعة في سبعة. وهذا يعني أن المصفوفة تحتوي على تسعة صفوف وسبعة أعمدة. إذن ما عدد العناصر التي يجب أن تتضمنها؟

حسنًا، إذا كانت لدينا تسعة صفوف، وكل صف من هذه الصفوف يحتوي على سبعة أعمدة ويوجد عنصر في كل منها، فيمكننا إيجاد عدد العناصر بضرب تسعة في سبعة. تسعة في سبعة يساوي ٦٣. إذن، في المصفوفة التي رتبتها تسعة في سبعة، لا بد أن يكون هناك إجمالي ٦٣ عنصرًا. وبالطبع، يمكننا تعميم ذلك وقول إن المصفوفة التي رتبتها ﻡ في ﻥ لا بد أن تتضمن عناصر عددها ﻡ في ﻥ.

سنتناول الآن كيفية إكمال مصفوفة بمعلومية كل عنصر من عناصرها.

إذا كانت ﺃ مصفوفة رتبتها ثلاثة في اثنين؛ حيث ﺃ واحد واحد يساوي صفرًا، وﺃ واحد اثنين يساوي ﺃ ثلاثة واحد ناقص ثلاثة، وﺃ اثنان واحد يساوي أربعة، وﺃ اثنان اثنين يساوي نصف ﺃ واحد واحد، وﺃ ثلاثة واحد يساوي ثمانية، وﺃ ثلاثة اثنين يساوي ربع ﺃ اثنين واحد؛ فأوجد ﺃ.

لكتابة المصفوفة ﺃ، دعونا نبدأ بتحديد عدد الصفوف والأعمدة بها. نحن نعرف أن المصفوفة التي رتبتها ﻡ في ﻥ تحتوي على عدد ﻡ من الصفوف وعدد ﻥ من الأعمدة. رتبة هذه المصفوفة ﺃ ثلاثة في اثنين. وبالتالي، يمكننا ملاحظة أنها يجب أن تحتوي على إجمالي ثلاثة صفوف وعمودين. إذن سيكون لدينا ثلاثة في اثنين، وهو ما يساوي ستة عناصر. لدينا الآن الكثير من المعلومات عن كل عنصر من العناصر، لكن دعونا نتذكر طريقة ملء المصفوفات. ستبدو المصفوفة التي رتبتها ﻡ في ﻥ على هذا النحو؛ حيث ﺃﺱﺹ هو العنصر الذي يظهر في الصف ﺱ والعمود ﺹ. حسنًا، دعونا نفكر في ﺃ واحد واحد. سيظهر هذا العنصر في الصف الأول والعمود الأول.

‏‏ﺃ واحد واحد يساوي صفرًا. إذن نضع صفرًا في الركن العلوي الأيمن من المصفوفة. لدينا الآن معلومات عن ﺃ واحد اثنين، بناء على معلومات حول ﺃ ثلاثة واحد. ولكننا لم نكتبه بعد، إذن لننتقل إلى المعلومة التالية. ‏‏ﺃ اثنان واحد يساوي أربعة. هذا يخبرنا أن العنصر الموجود في الصف الثاني والعمود الأول يساوي أربعة. حسنًا، هذا يقع هنا. ثم لدينا ﺃ اثنان اثنين يساوي نصف ﺃ واحد واحد. وهذا هو العنصر الموجود في الصف الثاني والعمود الثاني. إذن هذا يقع هنا. نحن نعلم أن ﺃ واحد واحد يساوي صفرًا، ونصف صفر يساوي صفرًا. إذن نضيف صفرًا في هذا المكان.

ثم لدينا ﺃ ثلاثة واحد يساوي ثمانية. تذكر أن هذا هو العنصر الموجود في الصف الثالث والعمود الأول. إذن لدينا هنا ثمانية. يمكننا الآن الرجوع إلى المعلومة المتعلقة بـ ﺃ واحد اثنين. وهو العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني. إنه هنا. وهو ﺃ ثلاثة واحد، وهو ما يساوي ثمانية ناقص ثلاثة. وبما أن ثمانية ناقص ثلاثة يساوي خمسة، سنضع خمسة في الركن العلوي الأيسر من المصفوفة. ثمة معلومة أخرى، وهي أن ﺃ ثلاثة اثنين يساوي ربع ﺃ اثنين واحد. ‏‏ﺃ ثلاثة اثنين هو العنصر الموجود في الصف الثالث والعمود الثاني. أي هنا.

لقد رأينا أن ﺃ اثنين واحد يساوي أربعة. إذن علينا إيجاد ربع أربعة، وهو ما يساوي واحدًا. عندما نقرأ المصفوفات، فإننا نقرأ عناصر الأعمدة من اليمين إلى اليسار. وبالتالي نجد أن عناصر المصفوفة ﺃ هي صفر، خمسة؛ وأربعة، صفر؛ وثمانية، واحد.

سنعمل الآن على تطوير هذه المهارة من خلال تناول كيفية إيجاد مدخلات في مصفوفة معطاة.

إذا كانت المصفوفة ﺃ تساوي سالب اثنين، أربعة، سالب سبعة؛ وسالب واحد، تسعة، تسعة؛ والمصفوفة ﺏ تساوي سالب سبعة، ثلاثة، اثنين؛ وسالب ستة، سالب أربعة، سالب ثمانية؛ وسبعة، ثلاثة، صفر؛ والمصفوفة ﺟ تساوي اثنين وسالب خمسة وسالب أربعة؛ فأوجد ﺃ اثنين ثلاثة، وﺏ اثنين واحد، وﺟ اثنين واحد.

سنبدأ بتذكر كيفية تعريف العناصر في المصفوفة. العنصر المشار إليه بـ ﺃﺱﺹ يقع في الصف ﺱ والعمود ﺹ في المصفوفة. حسنًا، نحن نبحث عن ﺃ اثنين ثلاثة، وهو أحد عناصر المصفوفة الأولى ﺃ؛ وﺏ اثنين واحد، وهو أحد عناصر المصفوفة ﺏ؛ وﺟ اثنين واحد، وهو أحد عناصر المصفوفة ﺟ. إذا قارنا ﺃ اثنين ثلاثة بالتعريف العام، فسنلاحظ أن ﺃ اثنين ثلاثة لا بد أن يكون العنصر الموجود في الصف الثاني والعمود الثالث. الصف الثاني من المصفوفة ﺃ هنا، والعمود الثالث هنا. العنصر الذي يقع عند تقاطعهما هو تسعة. إذن، ﺃ اثنين ثلاثة لا بد أن يساوي تسعة.

بعد ذلك، لدينا ﺏ اثنان واحد. وذلك في المصفوفة ﺏ، في الصف الثاني والعمود الأول. الصف الثاني هنا، والعمود الأول هنا. والعنصر الذي يقع عند تقاطعهما هو سالب ستة. وبذلك نجد أن ﺏ اثنين واحد يساوي سالب ستة. لدينا الموقف نفسه مع ﺟ اثنين واحد. إنه في الصف الثاني، الموجود هنا، والعمود الأول. لدينا هنا عمود واحد فقط. والعنصر الموجود في التقاطع هنا هو سالب خمسة. بذلك نجد أن ﺟ اثنين واحد لا بد أن يساوي سالب خمسة. وبالتالي ﺃ اثنان ثلاثة يساوي تسعة، وﺏ اثنان واحد يساوي سالب ستة، وﺟ اثنان واحد يساوي سالب خمسة.

لاحظ أننا حتى هذه اللحظة كنا نتعامل مع المصفوفة المعرفة بـ ﺃ، وعنصرها هو ﺃﺱﺹ. عند التعامل مع مصفوفات متعددة، يمكننا استخدام الحرف الصغير لوصف كل عنصر من العناصر. إذن في المصفوفة ﺏ، وصفنا عناصرها باستخدام ﺏﺱﺹ. وبالنسبة إلى المصفوفة ﺟ، فإن العناصر هي ﺟﺱﺹ.

في المثال التالي، سنعود إلى تكوين مصفوفة. لكن هذه المرة، سنستخدم معادلة لإيجاد كل عنصر من عناصرها.

أوجد المصفوفة ﺃ التي عناصرها ﺃ ﺱﺹ، ورتبتها ثلاثة في ثلاثة، وعناصرها معطاة بالصيغة ﺃ ﺱﺹ يساوي خمسة ﺱ زائد أربعة ﺹ.

لننظر أولًا إلى هذه المعلومات حول رتبة المصفوفة. يمكننا ملاحظة أن رتبتها ثلاثة في ثلاثة، ما يعني أنها مصفوفة مربعة. وبالطبع، هذا يعنى أيضًا أنها لا بد أن تحتوي على ثلاثة صفوف وثلاثة أعمدة. سيكون الإجمالي ثلاثة في ثلاثة، وهو ما يعني أن هناك تسعة عناصر في هذه المصفوفة. حسنًا، نحن نتذكر أننا نعرف العناصر الموجودة في المصفوفة بأنها ﺃﺱﺹ. أي العنصر في الصف ﺱ والعمود ﺹ. ومن ثم، فإن العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول هو ﺃ واحد واحد. العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الثاني هو ﺃ واحد اثنين، والعنصر الثالث في هذا الصف هو ﺃ واحد ثلاثة. في الصف الثاني والعمود الأول، لدينا ﺃ اثنان واحد. ثم يمكننا إكمال باقي المصفوفة كما هو موضح.

لاحظ أن المصفوفة معرفة بالعناصر ﺃ ﺱﺹ. وهكذا لإيجاد العنصر ﺃ واحد واحد، سنجعل ﺱ يساوي واحدًا وﺹ يساوي واحدًا. وسنستخدم هذه الصيغة هنا؛ ﺃ ﺱﺹ يساوي خمسة ﺱ زائد أربعة ﺹ. سنعوض ببساطة بقيمتي ﺱ وﺹ في هذه الصيغة، ليصبح لدينا ﺃ واحد واحد يساوي خمسة في واحد زائد أربعة في واحد، وهو ما يساوي تسعة. وبذلك يكون لدينا العنصر الأول في المصفوفة؛ وهو تسعة. سننتقل الآن إلى العنصر الثاني في الصف الأول. وهذه المرة، سنجعل ﺱ يساوي واحدًا وﺹ يساوي اثنين.

هذه المرة، ستصبح الصيغة خمسة في واحد زائد أربعة في اثنين، وهو ما يساوي ١٣. إذن، ١٣ هو العنصر الثاني في الصف الأول من المصفوفة. سنتناول الآن هذا العنصر. هذه المرة، سنجعل ﺱ يساوي واحدًا وﺹ يساوي ثلاثة. ومن ثم، يصبح لدينا ﺃ واحد ثلاثة يساوي خمسة في واحد زائد أربعة في ثلاثة، وهو ما يساوي ١٧. وبهذا نكون قد أكملنا الصف الأول من المصفوفة. سننتقل الآن إلى الصف الثاني من المصفوفة. لاحظ أنه لكل عنصر هنا، ﺱ يساوي اثنين دائمًا. وبالتالي يصبح لدينا ﺃ اثنان واحد عن طريق جعل ﺱ يساوي اثنين وﺹ يساوي واحدًا.

سنحصل بذلك على خمسة في اثنين زائد أربعة في واحد، ما يساوي ١٤. لدينا بعد ذلك ﺃ اثنان اثنين يساوي خمسة في اثنين زائد أربعة في اثنين، وهو ما يساوي ١٨. وﺃ اثنان ثلاثة يساوي خمسة في اثنين زائد أربعة في ثلاثة؛ أي ٢٢. وبذلك، نكون قد أكملنا الصف الثاني من المصفوفة. كل ما تبقى هو إيجاد القيم في الصف الثالث. هذه المرة ﺱ يساوي ثلاثة دائمًا. إذن، العنصر الأول هو خمسة في ثلاثة زائد أربعة في واحد، ما يساوي ١٩. والعنصر الثاني هو خمسة في ثلاثة زائد أربعة في اثنين، وهو ما يساوي ٢٣. والعنصر الثالث هو خمسة في ثلاثة زائد أربعة في ثلاثة، وهو ما يساوي ٢٧. وبذلك نكون قد أكملنا الصف الثالث في المصفوفة. يمكننا إذن القول إنه وفقًا لتعريف المصفوفة ﺃ، يصبح لدينا تسعة، ١٣، ١٧؛ و١٤، ١٨، ٢٢؛ و١٩، ٢٣، ٢٧.

حسنًا، هناك العديد من العمليات التي يمكننا تطبيقها على المصفوفات، ولا يمكننا تناولها كلها لأنها خارج نطاق هذا الفيديو. لكننا سنتناول إحداها؛ وهي ضرب المصفوفة في كمية قياسية. دعونا نتناول المصفوفة ﺃ كما هو موضح. سنضرب هذه المصفوفة في الكمية القياسية ﺏ. وللقيام بذلك، يمكننا ببساطة ضرب كل عنصر على حدة في ﺏ. إذن ﺏ في ﺃ يساوي ﺏﺃ واحد واحد، ﺏﺃ واحد اثنين، وهكذا. لنلق نظرة على مثال لتطبيق ذلك.

يمثل الجدول التالي أسعار بعض المشروبات في أحد المقاهي. غير صاحب المقهى أسعار المشروبات، فزاد سعر المشروب إلى ضعف سعره الأصلي. أوجد المصفوفة التي تمثل الأسعار الجديدة للمشروبات.

المصفوفة ببساطة هي شبكة من الأعداد. وإذا عرفنا ﺃ بأنها المصفوفة التي تمثل الأسعار القديمة للمشروبات، فيمكننا ببساطة تحويل كل عدد من الأعداد الموجودة بالجدول كما هو موضح. رتبة هذه المصفوفة هي ثلاثة في اثنين؛ بما أنها تتكون من ثلاثة صفوف وعمودين. إذن، عناصر المصفوفة ﺃ هي ١٫٥، ٥٫٥؛ واثنين، ٨٫٥؛ و٣٫٥، تسعة. نحن نعلم أن أسعار المشروبات تغيرت ليصبح سعر كل مشروب الآن ضعف سعره الأصلي. ومن ثم، علينا أن نضاعف. إننا نريد ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في اثنين. يمكننا التعبير عن ذلك في صورة اثنين ﺃ؛ وذلك لأننا نعرف أنه عند ضرب مصفوفة في كمية قياسية، فإننا نضرب كل عنصر على حدة. إذن المصفوفة اثنان ﺃ تمثل الأسعار الجديدة للمشروبات. وعناصرها هي اثنان في ١٫٥، واثنان في ٥٫٥؛ واثنان في اثنين، واثنان في ٨٫٥؛ واثنان في ٣٫٥، واثنان في تسعة.

دعونا نكمل هذه المصفوفة بعنصر تلو الآخر. اثنان في ١٫٥ يساوي ثلاثة. إذن ثلاثة هو العنصر الموجود في الصف الأول والعمود الأول. ثم اثنان في ٥٫٥ يساوي ١١، واثنان في اثنين يساوي أربعة، واثنان في ٨٫٥ يساوي ١٧. اثنان في ٣٫٥ يساوي سبعة، واثنان في تسعة يساوي ١٨، ما يعني أن العنصر الموجود في الصف الثالث والعمود الثاني هو ١٨. وبذلك نكون قد أكملنا المصفوفة التي تمثل الأسعار الجديدة للمشروبات. وهي ثلاثة، ١١؛ وأربعة، ١٧؛ وسبعة ١٨.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الدرس. في هذا الفيديو، تعلمنا أن المصفوفة هي شبكة من الأعداد. والعناصر داخل المصفوفة تكون مرتبة في صفوف وأعمدة. إذا كانت لدينا المصفوفة ﺃ التي رتبتها ﻡ في ﻥ، فهذا يعني أنها تحتوي على عدد ﻡ من الصفوف وعدد ﻥ من الأعمدة. وستبدو المصفوفة ﺃ بهذا الشكل، حيث نقول إن العنصر في الصف ﺱ والعمود ﺹ هو ﺃﺱﺹ. وعرفنا أنه إذا كان ﻡ يساوي ﻥ، فإننا نقول إن المصفوفة مربعة. فإذا كان خلاف ذلك، تكون المصفوفة مستطيلة. وإذا كان ﻡ أو ﻥ يساوي واحدًا، فإننا نسمي هذا متجهًا. ونستخدم هذه الطرق لتعريف النقاط في الفراغ.

عرفنا أن هناك مصفوفتين خاصتين، وهما مصفوفة الوحدة والمصفوفة الصفرية. مصفوفة الوحدة هي مصفوفة مربعة فيها جميع العناصر تساوي صفرًا ما عدا العناصر الموجودة على القطر الرئيسي، أي عند ﺱ يساوي ﺹ، حيث قيمة كل منها تساوي واحدًا. والمصفوفة الصفرية صفر فيها جميع العناصر تساوي صفرًا. وأخيرًا، عرفنا أنه يمكننا ضرب مصفوفة في كمية قياسية. افترض أننا نريد ضرب المصفوفة ﺃ في الكمية القياسية ﺏ. سنفعل ذلك عن طريق ضرب كل عنصر على حدة في ﺏ.