فيديو السؤال: إيجاد المركبة الناقصة لمتجه بمعلومية أن ضربه في عدد ثابت عبارة عن متجه وحدة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺃ يساوي ثلاثة س زائد ص زائد ﻡع ، وكان ﺏ متجه وحدة يساوي خمسًا في ﺃ، فأوجد قيم ﻡ الممكنة.

لإيجاد المطلوب علينا أن نعرف ما الذي يعنيه متجه الوحدة، وكذلك كيفية إجراء عملية الضرب في كمية قياسية، خمس مضروبًا في ﺃ. السمة المميزة لمتجه الوحدة، كما تشير كلمة «وحدة» في اسمه، تكمن في كون معيار متجه الوحدة يساوي واحدًا. يعني هذا أن معيار المتجه ﺏ المعرف بأنه خمس في ﺃ، يساوي واحدًا. نمثل المعيار باستخدام خطين مزدوجين رأسيين، ونتذكر أن معيار المتجه هو الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته. في هذه الصيغة، ﻡﻥ هي المركبة رقم ﻥ للمتجه ﻡ، حيث نفترض عادة أن المركبة س لمتجه تكون المركبة الأولى، والمركبة ص هي المركبة الثانية، والمركبة ع هي المركبة الثالثة.

والآن، لكي نضرب متجهًا في كمية قياسية، حيث في هذه الحالة، ﺃ هو الكمية القياسية وﻡ هو المتجه، فإننا نضرب ببساطة كل مركبة في هذه الكمية القياسية. باستخدام المعادلة السابقة لمعيار المتجه، يمكننا التوصل أيضًا إلى علاقة مفيدة للغاية بشأن معيار المتجه المضروب في كمية قياسية. إذا كان ﺃ كمية قياسية، فإن معيار المتجه ﺃ في ﻡ يساوي القيمة المطلقة لـ ﺃ في معيار ﻡ. جبريًّا، يبدو ذلك منطقيًّا لأنه في صيغة المعيار، ﻡﻥ يصبح ﺃ في ﻡﻥ. إذن، ﻡﻥ تربيع يصبح ﺃ تربيع في ﻡﻥ تربيع. ولكن، عندما نأخذ هذا العامل المشترك ﺃ تربيع من كل حد في المجموع، فسنحصل على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع، وهو القيمة المطلقة لـ ﺃ، مضروبًا في الصيغة السابقة لمعيار ﻡ.

وهندسيًّا، يبدو هذا منطقيًّا لأن ﺃ يحدد طول المتجه. إذن، اثنان في المتجه يجب أن يساوي ضعف الطول، في حين أن نصف في المتجه يجب أن يكون نصف الطول. نستخدم القيمة المطلقة لـ ﺃ؛ لأنه، للأعداد السالبة، سيتغير اتجاه المتجه، وكذلك معياره. لكن معيار المتجه لا يعتمد على اتجاهه. على أية حال، ستفيدنا هذه العلاقة بالتحديد كثيرًا. بدلًا من إجراء عملية الضرب في عدد ثابت لإيجاد المتجه خمس في ﺃ ثم تطبيق صيغة المعيار، يمكننا بدلًا من ذلك إيجاد معيار المتجه ﺃ ثم الضرب في خمس.

إذن، معيار خمس في ﺃ يساوي خمسًا في معيار ﺃ. ولحساب معيار ﺃ نفسه، نأخذ الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته. في هذه المسألة نجد أن المركبات هي ثلاثة، موجب واحد، ﻡ. إذن، معيار ﺃ يساوي الجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد واحد تربيع زائد ﻡ تربيع. ثلاثة تربيع زائد واحد تربيع يساوي تسعة زائد واحد، ما يساوي ١٠. لدينا الآن ثلاث نواتج علينا الجمع بينها لنحصل على معادلة واحدة للقيمة المجهولة ﻡ. نعلم أن واحدًا يساوي معيار خمس في ﺃ؛ ومعيار خمس في ﺃ يساوي خمسًا في معيار ﺃ؛ وأن معيار ﺃ يساوي الجذر التربيعي لـ ١٠ زائد ﻡ تربيع.

بجمع كل هذه النتائج معًا، يصبح لدينا خمس في الجذر التربيعي لـ ١٠ زائد ﻡ تربيع يساوي واحدًا، حيث يكون الطرف الأيمن، مرة أخرى، مفكوك معيار خمس في ﺃ. ولحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻡ، سنبدأ بضرب كلا طرفي المعادلة في خمسة. والآن، لحذف الجذر التربيعي، سنقوم بتربيع الطرفين. وهذا يعطينا ١٠ زائد ﻡ تربيع يساوي ٢٥. أخذنا الآن مربع الجذر التربيعي. لذلك، يجب أن يكون الطرف الأيمن في هذه المعادلة هو القيمة المطلقة لـ ١٠ زائد ﻡ تربيع.

ومع ذلك، لاحظ أنه بما أن ﻡ عدد حقيقي، فإن ﻡ تربيع دائمًا ما سيكون أكبر من أو يساوي صفرًا. لذا ١٠ زائد ﻡ تربيع يكون دائمًا موجبًا، ولا داعي لذكر أنه يمثل قيمة مطلقة. لإتمام حل هذه المعادلة، نطرح ١٠ من كلا الطرفين. وهذا يعطينا ﻡ تربيع يساوي ١٥. عند هذه المرحلة، قد نرغب في استنتاج أن ﻡ هو الجذر التربيعي لـ ١٥. لكن علينا أن ننتبه جيدًا لإشارة هذه القيمة.

تذكر أنه يوجد حلان لـ ﻡ تربيع يساوي ١٥؛ موجب الجذر التربيعي لـ ١٥ وسالب الجذر التربيعي لـ ١٥. لم يرد بهذه المسألة ما يجعل ﻡ مقتصرة على عدد موجب أو سالب. فمركبات المتجهات يمكن أن تكون موجبة أو سالبة أو أن تساوي صفرًا. في الواقع، تكمن إحدى النتائج المهمة المترتبة على الطريقة التي نحسب بها معيار متجه في أن معيار المتجه يصبح مستقلًّا عن إشارة مركباته.

كل ما سبق يعني أن كلًّا من موجب الجذر التربيعي لـ ١٥ وسالب الجذر التربيعي لـ ١٥ قيمتان ممكنتان لـ ﻡ. وكما أوضحنا فيما أجريناه من عمليات حسابية، هما القيمتان المحتملتان الوحيدتان لـ ﻡ.