فيديو: إيجاد قيم الدوال

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب القيمة (أو القيمة المخرجة) لدالة باستخدام معادلتها أو تمثيلها البياني.

١٥:٤٧

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب القيمة أو القيمة المخرجة لدالة باستخدام معادلتها أو تمثيلها البياني. سنبدأ باسترجاع ما نعنيه بكلمة «دالة». ثم سنشرح كيف يمكننا إيجاد قيمتها.

صورة الدالة الأكثر شيوعًا هي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. الصورة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ هي طريقة أخرى لتمثيل القيمة ‪𝑦‬‏ في صورة دالة؛ حيث ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. وبدلًا من كتابة ‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑥‬‏ زائد سبعة، سنكتب ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ثلاثة ‪𝑥‬‏ زائد سبعة. يمكن تسمية المحور ‪𝑦‬‏ بالمحور ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عند تمثيل الدالة بيانيًا. ونسمي الدالة بهذه الطريقة لتجنب الخلط عند التعامل مع دوال متعددة.

سنتناول الآن كيفية إيجاد قيمة دالة. لإيجاد قيمة دالة ما، نعوض بالقيمة المدخلة أو العدد المعطى عن متغير الدالة، وعادة ما يكون ‪𝑥‬‏. على سبيل المثال، لنفترض أن الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي ثلاثة ‪𝑥‬‏ زائد سبعة. إذا طلب منا إيجاد قيمة ‪𝑓‬‏ لأربعة، فستكون أربعة هي القيمة المدخلة. وسنعوض بها في المقدار. في هذه الحالة، لدينا ثلاثة مضروبًا في أربعة زائد سبعة. هذا يساوي ‪19‬‏، وهو ما يعرف بالقيمة المخرجة. عندما تكون القيمة المدخلة في الدالة تساوي أربعة، نحصل على قيمة مخرجة تساوي ‪19‬‏. يمكن كتابة ذلك في صورة الزوج المرتب أو الإحداثيين: أربعة، ‪19‬‏؛ حيث أربعة هو قيمة ‪𝑥‬‏، و‪19‬‏ هو قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ أو قيمة ‪𝑦‬‏.

سنتناول الآن بعض الأسئلة التي تتضمن إيجاد قيم الدوال.

باستخدام الدالة ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ثلاثة، احسب القيمة المخرجة المناظرة للقيمة المدخلة اثنين.

القيمة المخرجة لأي دالة بهذه الصورة هي قيمة ‪𝑦‬‏. والقيمة المدخلة هي قيمة ‪𝑥‬‏. علينا التعويض بـ ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين في الدالة. وبما أن ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ثلاثة، فعند ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين، نجد أن ‪𝑦‬‏ يساوي اثنين تربيع زائد ثلاثة. اثنان تربيع يساوي أربعة. إذن، ‪𝑦‬‏ يساوي أربعة زائد ثلاثة. وبما أن هذا يساوي سبعة، فستكون القيمة المخرجة التي تناظر القيمة المدخلة اثنين هي سبعة.

يمكننا كتابة ذلك في صورة زوج مرتب بالإحداثيين: اثنين، سبعة. تقع النقطة ذات الإحداثيين: اثنين، سبعة على الدالة التربيعية ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ثلاثة. عند التعامل مع الدوال، غالبًا ما نستخدم ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ بدلًا من ‪𝑦‬‏. إنهما قابلان للتبديل بينهما، وكلاهما يمثل القيمة المخرجة.

يتضمن السؤال التالي إكمال جدول قيم لدالة.

أكمل جدول القيم الخاص بالدالة ‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص اثنين ‪𝑥‬‏.

في هذا السؤال، لدينا الدالة ‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص اثنين ‪𝑥‬‏، ولدينا أيضًا خمس قيم صحيحة لـ ‪𝑥‬‏ من سالب اثنين إلى اثنين. ولكي نكمل هذا الجدول، علينا التعويض بكل قيمة من هذه القيم تباعًا في الدالة. لنبدأ بموجب اثنين. عندما تكون قيمة ‪𝑥‬‏ أو القيمة المدخلة تساوي اثنين، فإن قيمة ‪𝑦‬‏ أو القيمة المخرجة تساوي ثلاثة مضروبًا في اثنين تربيع ناقص اثنين مضروبًا في اثنين. باستخدام ترتيب العمليات الحسابية، نجد أن ثلاثة مضروبًا في اثنين تربيع يساوي ‪12‬‏. علينا تربيع الاثنين ثم الضرب في ثلاثة. اثنان في اثنين يساوي أربعة. إذن لدينا ‪12‬‏ ناقص أربعة. وهو ما يساوي ثمانية. عند ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين، فإن ‪𝑦‬‏ يساوي ثمانية.

يمكننا تكرار هذه العملية عندما يكون ‪𝑥‬‏ مساويًا لواحد. ثلاثة في واحد تربيع يساوي ثلاثة، واثنان في واحد يساوي اثنين. بما أن ثلاثة ناقص اثنين يساوي واحدًا، إذن، عند ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا، فإن ‪𝑦‬‏ يساوي واحدًا أيضًا.

وعند ‪𝑥‬‏ يساوي صفرًا، فإن ‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة مضروبًا في صفر تربيع ناقص اثنين مضروبًا في صفر. وكلا الجزأين في هذه العملية الحسابية يساوي صفرًا. وصفر ناقص صفر يساوي صفرًا.

علينا الآن التفكير فيما يحدث عندما تكون قيمة ‪𝑥‬‏ سالبة، وهو أمر أكثر تعقيدًا بعض الشيء. فتربيع أي عدد سالب يعطينا ناتجًا موجبًا؛ لأن ضرب عدد سالب في عدد سالب يعطينا عددًا موجبًا. هذا يعني أن ثلاثة مضروبًا في سالب واحد تربيع يساوي ثلاثة. اثنان مضروبًا في سالب واحد يساوي سالب اثنين. لكن بما أننا نطرح، سيتبقى لدينا موجب اثنين. ثلاثة زائد اثنين يساوي خمسة. أي إنه عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب واحد، فإن ‪𝑦‬‏ يساوي خمسة.

ثلاثة مضروبًا في سالب اثنين تربيع يساوي ‪12‬‏؛ لأن سالب اثنين تربيع يساوي أربعة. بما أن اثنين مضروبًا في سالب اثنين يساوي سالب أربعة، علينا إضافة أربعة إلى ‪12‬‏. وذلك لأننا مرة أخرى نطرح عددًا سالبًا. وهذا يعطينا القيمة المخرجة أو قيمة ‪𝑦‬‏ تساوي ‪16‬‏ عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب اثنين.

إذن، القيم الناقصة الخمس في الجدول هي: ‪16‬‏، وخمسة، وصفر، وواحد، وثمانية. يمكننا استخدام أزواج الإحداثيات: سالب اثنين، ‪16‬‏؛ وسالب واحد، خمسة؛ وهكذا، لتمثيل الدالة ‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص اثنين ‪𝑥‬‏ بيانيًا. وبما أن الدالة تربيعية ومعامل ‪𝑥‬‏ تربيع موجب، فسيكون لدينا قطع مكافئ على شكل حرف ‪U‬‏.

في السؤال التالي، علينا تحديد النقطة التي تحقق دالة معطاة.

أي من المجموعات الإحداثية الآتية تقع على الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ‪19𝑥‬‏ ناقص ‪16‬‏؟ هل هو (أ) ‪10‬‏، سالب ‪16‬‏ أم (ب) ‪10‬‏، سالب ‪206‬‏ أم (ج) سالب ‪206‬‏، ‪10‬‏ أم (د) سالب ‪206‬‏، سالب ‪16‬‏؟

لقد اعتدنا على كتابة أي زوج من الإحداثيات بالصورة: ‪𝑦 ،𝑥‬‏. ويمثل الإحداثي الأول القيمة ‪𝑥‬‏، والثاني القيمة ‪𝑦‬‏. الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي سالب ‪19𝑥‬‏ ناقص ‪16‬‏ هي نفسها ‪𝑦‬‏ يساوي سالب ‪19𝑥‬‏ ناقص ‪16‬‏. وبما أن ‪𝑦‬‏ و‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ قابلان للتبديل بينهما، يمكننا كتابة الزوج الإحداثي على الصورة: ‪𝑥‬‏، ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. تعرف القيمة الأولى بالقيمة المدخلة، والقيمة الثانية بالقيمة المخرجة.

علينا تحديد أي من الخيارات الأربعة يحقق هذه الدالة. يمكننا ملاحظة أن القيمة المدخلة أو قيمة ‪𝑥‬‏ في الخيارين (أ) و (ب) هي ‪10‬‏. وهذا يعني أنه لحساب القيمة المخرجة، علينا إيجاد قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪10‬‏. عند التعويض بـ ‪𝑥‬‏ يساوي ‪10‬‏، نحصل على سالب ‪19‬‏ مضروبًا في ‪10‬‏ ناقص ‪16‬‏. وبضرب عدد سالب في عدد موجب، نحصل على عدد سالب. إذن، سالب ‪19‬‏ مضروبًا في ‪10‬‏ يساوي سالب ‪190‬‏. وبطرح ‪16‬‏ من ذلك، نحصل على سالب ‪206‬‏. وهذا يعني أن الزوج الإحداثي: ‪10‬‏، سالب ‪206‬‏ يقع على الدالة. وبما أن الخيار (أ) هو ‪10‬‏، سالب ‪16‬‏، فإنه غير صحيح. أما الخيار (ب)، من ناحية أخرى، فهو ‪10‬‏، سالب ‪206‬‏. إذن، هذه هي الإجابة الصحيحة.

يمكننا التحقق من صحة الخيارين (ج) و(د) بالتعويض بسالب ‪206‬‏ عن ‪𝑥‬‏. ‏‏‪𝑓‬‏ لسالب ‪206‬‏ تساوي سالب ‪19‬‏ مضروبًا في سالب ‪206‬‏ ناقص ‪16‬‏. يمكننا أن نرى بوضوح أن ذلك لا يتحقق في أي من الخيارين؛ لأن القيمة كبيرة جدًا. فالقيمة المدخلة سالب ‪206‬‏ تعطينا القيمة المخرجة ‪3898‬‏. أي إن الزوج الإحداثي: سالب ‪206‬‏، ‪3898‬‏ يقع على الدالة. وهذا لا يتفق مع الخيارين (ج) أو (د). لذا، فكلاهما خطأ. إذن، الإجابة الصحيحة هي الخيار (ب).

المثال التالي لدينا هو سؤال متعدد الأجزاء يتضمن معنى الدالة.

إذا كان لدينا الدالة ‪𝑓‬‏، و‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ ناقص واحد هي القيمة المخرجة عندما تكون القيمة المدخلة أقل من ‪𝑎‬‏ بمقدار واحد. فسر الأتي. ‏‏‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑏‬‏ زائد ثلاثة، و‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑠‬‏ ناقص ثلاثة، و‪𝑓‬‏ لثلاثة ناقص ‪𝑥‬‏، و‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑏‬‏ ناقص ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏، و‪𝑓‬‏ لثلاثة ‪𝑡‬‏، و‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ أس ‪𝑏‬‏.

قبل البدء في حل هذه المسألة، يجدر بنا تذكر ما نعنيه بالدالة ‪𝑓‬‏. إذا كانت لدينا أي دالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏؛ فإن ‪𝑥‬‏ هو القيمة المدخلة، و‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ هي القيمة المخرجة. العدد الموجود داخل القوس يؤثر على القيمة المدخلة، بينما يؤثر العدد الموجود خارج القوس على القيمة المخرجة. يمكننا أن نلاحظ ذلك في المثال؛ حيث ‪𝑎‬‏ ناقص واحد يعني أقل من ‪𝑎‬‏ بمقدار واحد.

الدالة الأولى، ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑏‬‏ زائد ثلاثة، مشابهة جدًا للمثال. ولكن بدلًا من طرح واحد من ‪𝑎‬‏، نضيف ثلاثة إلى ‪𝑏‬‏. هذا يعني أن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑏‬‏ زائد ثلاثة تحسب القيمة المخرجة عندما تكون القيمة المدخلة أكبر من ‪𝑏‬‏ بمقدار ثلاثة.

الدالة الثانية، ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑠‬‏ ناقص ثلاثة، مختلفة بعض الشيء. فهذه المرة، الثلاثة التي نطرحها تقع خارج القوس. ‏‏‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑠‬‏ ستكون القيمة المخرجة عندما تكون القيمة المدخلة ‪𝑠‬‏. إذن، الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑠‬‏ ناقص ثلاثة أقل من القيمة المخرجة بمقدار ثلاثة عندما تكون القيمة المدخلة هي ‪𝑠‬‏.

الدالة الثالثة لدينا، ‪𝑓‬‏ لثلاثة ناقص ‪𝑥‬‏، مشابهة جدًا للدالة الأولى وللمثال أيضًا. هذه المرة، تعطينا الدالة القيمة المخرجة عندما تكون القيمة المدخلة أقل من ثلاثة بمقدار ‪𝑥‬‏. أي إننا نطرح ‪𝑥‬‏ من ثلاثة ثم نحسب القيمة المخرجة.

أما الدالة الرابعة، فهي تتضمن متغيرين، وهما ‪𝑏‬‏ و‪𝑎‬‏. لدينا ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑏‬‏ ناقص ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏. هذا يعني أننا نطرح قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ من قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑏‬‏. أي إننا نوجد الفرق بينهما. وعليه، فإن الإجابة هي التغير في القيمة المخرجة عندما تتغير القيمة المدخلة من ‪𝑎‬‏ إلى ‪𝑏‬‏.

الدالة ما قبل الأخيرة هي ‪𝑓‬‏ لثلاثة ‪𝑡‬‏. حيث نضرب القيمة ‪𝑡‬‏ في ثلاثة. وهي أيضًا مشابهة للدالة الأولى، ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑏‬‏ زائد ثلاثة، وأيضًا للدالة الثالثة، ‪𝑓‬‏ لثلاثة ناقص ‪𝑥‬‏. لكنها هذه المرة القيمة المخرجة عندما تكون القيمة المدخلة ثلاثة أمثال ‪𝑡‬‏.

تتضمن الدالة الأخيرة استخدام الأسس أو القوى. لدينا ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑎‬‏ أس ‪𝑏‬‏. ولأن ‪𝑏‬‏ يقع خارج القوس، فإن هذا سيكون ناتج رفع القيمة المخرجة إلى القوة ‪𝑏‬‏ عندما تكون القوة المدخلة ‪𝑎‬‏. أما لو كان الأس ‪𝑏‬‏ داخل القوس، لرفعنا القيمة المدخلة إلى القوة ‪𝑏‬‏. يعد تفسير الدوال من هذا النوع ورسمها جزءًا مهمًا من موضوعنا.

وسيتناول السؤال الأخير إيجاد قيمة دالة من تمثيلها البياني.

أوجد قيمة ‪𝑓‬‏ لواحد.

يمكننا أن نرى على التمثيل البياني أن المحورين مشار لهما بالرمزين ‪𝑥‬‏ و‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. أي دالة مكتوبة على الصورة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تكون قيمتها المدخلة ‪𝑥‬‏، وقيمتها المخرجة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. في هذا السؤال، القيمة ‪𝑥‬‏ أو القيمة المدخلة هي واحد. وعلينا إيجاد قيمة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ من التمثيل البياني عند ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا. وسنفعل ذلك برسم خط رأسي عند واحد على المحور ‪𝑥‬‏. بمجرد الوصول إلى المنحنى، نرسم خطًا أفقيًا يصل إلى المحور ‪𝑦‬‏ أو ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. هذا يساوي ثمانية. إذن، قيمة ‪𝑓‬‏ لواحد هي ثمانية. ويمكننا إيجاد القيم من ‪𝑓‬‏ لسالب اثنين حتى ‪𝑓‬‏ لثمانية باستخدام هذا التمثيل البياني.

سننهي هذا الفيديو الآن بتلخيص النقاط الأساسية. كما وضحنا في بداية هذا الفيديو، الصورة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ هي طريقة أخرى لتمثيل القيمة ‪𝑦‬‏ للدالة؛ حيث ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏. إذا نظرنا مثلًا إلى الدالة ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ تساوي خمسة ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين، فإن القيمة ‪𝑥‬‏ ستكون القيمة المدخلة. والقيمة خمسة ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين هي القيمة المخرجة. لإيجاد قيمة دالة، نعوض بالقيمة المدخلة عن متغير الدالة. على سبيل المثال، لحساب ‪𝑓‬‏ لثلاثة، نعوض بثلاثة عن ‪𝑥‬‏. خمسة مضروبًا في ثلاثة ناقص اثنين يساوي ‪13‬‏. إذن، القيمة المدخلة ثلاثة تعطينا القيمة المخرجة ‪13‬‏.

ورأينا في هذا الفيديو أنه يمكننا حساب القيم المخرجة باستخدام المعادلات، وتكون موضحة في جداول أحيانًا، أو في تمثيلات بيانية بدلًا من ذلك.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.