فيديو الدرس: تطبيقات على المتتابعات الحسابية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المسائل التي تتضمن تطبيقات حياتية للمتتابعات الحسابية. وسنرى كيف نوجد الفرق المشترك (أساس المتتابعة)، والصيغة الصريحة للحد النوني، ورتبة أو قيمة حد معين في متتابعة حسابية.

دعونا نبدأ بتذكر ما المقصود بالمتتابعة الحسابية. إنها قائمة مرتبة من الحدود التي يكون فيها الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا. على سبيل المثال، يعد جدول الضرب في أربعة، وهو أربعة، ثمانية، ١٢، ١٦، وهكذا، مثالًا على المتتابعة الحسابية لأن الفرق بين كل حدين متتاليين يساوي أربعة. هذا الفرق يسمى الفرق المشترك، ونمثله باستخدام الحرف ﺩ. وعادة ما نستخدم الحرف ﺃ للتعبير عن الحد الأول في المتتابعة، ولدينا صيغة لحساب الحد العام أو الحد النوني، وهي ﺣﻥ، الحد النوني، يساوي ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ.

تخبرنا هذه الصيغة أنه لحساب أي حد تال في المتتابعة، نأخذ الحد الأول ونضيف ﻥ ناقص واحد مضروبًا في الفرق المشترك ﺩ، وهو أمر منطقي إذا فكرنا فيه. لإيجاد الحد الثاني، علينا إضافة الفرق المشترك مرة واحدة. ولإيجاد الحد الثالث، علينا إضافة الفرق المشترك مرتين؛ إذن، نحن دائمًا نضيف رقم الحد ناقص واحد من أمثال الفرق المشترك. ولدينا أيضًا صيغة لحساب مجموع الحدود النونية الأولى في متتابعة حسابية. ‏ﺟﻥ يساوي ﻥ على اثنين مضروبًا في اثنين ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد ﺩ، حيث يمثل ﺃ الحد الأول في المتتابعة، وﺩ يمثل الفرق المشترك.

إذن، هذه هي أساسيات المتتابعات الحسابية التي يجب أن نكون على دراية بها بالفعل. هيا نتناول الآن كيفية تطبيق هذه النتائج على بعض المسائل الحياتية. في المثال الأول، سنرى كيف يمكننا إيجاد حد معين في متتابعة حسابية معطاة على صورة مسألة كلامية.

يمارس فارس بعض تمارين اللياقة البدنية يوميًّا، فيتمرن لمدة ست دقائق في اليوم الأول، ويزيد فترة التمرين بمقدار أربع دقائق يوميًّا. كم دقيقة سيستغرقها فارس في التمرين في اليوم الثامن عشر؟

نلاحظ أن فارس يزيد من معدل تمارين اللياقة بمقدار أربع دقائق كل يوم. هذا يعني أن المدة التي يستغرقها فارس في التمرين يوميًّا تمثل متتابعة حسابية فيها الفرق المشترك يساوي أربعة. علمنا أيضًا أن فارس يتمرن لمدة ست دقائق في اليوم الأول؛ وهو ما يعني أن الحد الأول في هذه المتتابعة الحسابية ﺃ يساوي ستة. وبذلك، يصبح لدينا كل المعلومات التي نحتاجها لكتابة أي عدد من الحدود في المتتابعة، أو لكتابة قانون للحد النوني.

الحد الأول في هذه المتتابعة هو ستة. والحد الثاني أكبر من ذلك بمقدار أربعة؛ إذن فهو ١٠. الحد الثالث أكبر من ذلك بمقدار أربعة؛ ومن ثم فهو ١٤. يمكننا المتابعة بهذه الطريقة، لكنها لن تكون طريقة فعالة إذا أردنا معرفة كل الحدود وصولًا إلى الحد رقم ١٨ في هذه المتتابعة. بدلًا من ذلك، يمكننا استخدام صيغة الحد النوني: ﺣﻥ يساوي ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ. بالتعويض عن ﺃ بستة، وهو الحد الأول، وعن ﺩ بأربعة، وهو الفرق المشترك، نجد أن ﺣﻥ يساوي ستة زائد أربعة مضروبًا في ﻥ ناقص واحد.

يمكننا تبسيط ذلك جبريًّا، أو لإيجاد الحد رقم ١٨، نعوض مباشرة بـ ﻥ يساوي ١٨. ﺣ١٨ يساوي ستة زائد أربعة مضروبًا في ١٨ ناقص واحد. لدينا ستة زائد أربعة مضروبًا في ١٧. أربعة في ١٧ يساوي ٦٨. وبإضافة ستة نحصل على ٧٤. تذكر أن الحدود في هذه المتتابعة تعبر عن الزمن بالدقائق. إذن، وجدنا أن الحد رقم ١٨ في هذه المتتابعة أو المدة التي يستغرقها فارس في التمرين في اليوم الثامن عشر تساوي ٧٤ دقيقة.

وبهذا رأينا في هذا المثال كيف نحسب حدًّا معينًا في متتابعة حسابية. في المثال التالي، سنعرف كيفية إيجاد رتبة أو رقم حد معين من خلال مسألة كلامية.

تتمرن منى لسباق طوله ١٠ كيلومترات. في كل يوم من أيام التمرين، تجري ٠٫٥ كيلومتر زيادة عن اليوم السابق. إذا أكملت أربعة كيلومترات في اليوم الرابع، ففي أي يوم ستكمل ١٠ كيلومترات؟

لننظر جيدًا إلى المعلومات المعطاة. نعلم أنه في كل يوم من أيام التمرين، تجري منى ٠٫٥ أو نصف كيلومتر زيادة عن اليوم السابق. هذا يعني أن المسافة التي تقطعها منى كل يوم تكون متتابعة حسابية فيها الفرق المشترك ﺩ يساوي ٠٫٥. لا نعرف المسافة التي قطعتها منى في اليوم الأول. لكننا نعرف أنها ركضت أربع كيلومترات في اليوم الرابع. يمكننا إذن استخدام صيغة الحد العام للمتتابعة الحسابية ﺣﻥ يساوي ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد ﺩ لتكوين معادلة. لدينا أربعة يساوي ﺃ زائد ٠٫٥ مضروبًا في أربعة ناقص واحد. وهو ما يبسط إلى أربعة يساوي ﺃ زائد ١٫٥. ويمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺃ بطرح ١٫٥ من كلا الطرفين.

وبذلك، نجد أن ﺃ يساوي ٢٫٥. أصبحنا نعرف الآن أن منى قطعت ٢٫٥ كيلومتر في اليوم الأول من التمرين. المطلوب منا هو تحديد في أي يوم تكمل ١٠ كيلومترات؟ أي حد في المتتابعة أو ما قيمة ﻥ التي تجعل الحد يساوي ١٠ ؟ يمكننا إذن التعويض بـ ﺃ يساوي ٢٫٥، وﺩ يساوي ٠٫٥، وﺣﻥ يساوي ١٠، لكي نحصل على معادلة يمكننا حلها لإيجاد قيمة ﻥ. بتوزيع الأقواس، نحصل على ٢٫٥ زائد ٠٫٥ﻥ ناقص ٠٫٥ يساوي ١٠. ثم نبسط الطرف الأيمن إلى اثنين زائد ٠٫٥ﻥ يساوي ١٠. يمكننا طرح اثنين من كلا الطرفين لنحصل على ٠٫٥ﻥ يساوي ثمانية، ثم نضرب كل طرف في المعادلة في اثنين لنحصل على ﻥ يساوي ١٦. إذن، رقم الحد أو رتبة الحد الذي يساوي ١٠ هو ١٦. وهكذا عرفنا أن منى ستكمل ١٠ كيلومترات في اليوم السادس عشر من التمرين.

الطريقة الأخرى للإجابة عن هذا السؤال بمجرد أن نحسب قيمة ﺃ، هي أن نكتب جميع حدود المتتابعة مع إضافة ٠٫٥ في كل مرة: ٢٫٥، ثلاثة، ٣٫٥، أربعة. لكن الوصول إلى الحد رقم ١٦ سيستغرق وقتًا طويلًا، ومن ثم فمن الأفضل استخدام الطريقة الأولى. وفي كلتا الحالتين، تكون إجابة المسألة هي ١٦.

في المثال التالي، سنرى كيف نحسب حدًّا معينًا في متتابعة حسابية عندما تكون لدينا بعض المعلومات عن اثنين من الحدود الأخرى.

يزداد الراتب السنوي لأميرة بمعدل ثابت كل سنة. في عامها الرابع في عملها، كان راتبها ٢٤٠٠٠ دولار أمريكي. في عامها العاشر، كان راتبها ٣٦٠٠٠ دولار أمريكي. ماذا سوف يكون راتبها في العام العشرين؟

إذا كان راتب أميرة السنوي يزداد بمقدار المبلغ نفسه كل عام، فإن راتبها السنوي يمثل متتابعة حسابية. يمكننا التعبير عن الحد العام في هذه المتتابعة باستخدام الصيغة ﺣﻥ يساوي ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد ﺩ، حيث ﺃ يمثل الحد الأول في المتتابعة، وهو راتب أميرة في العام الأول، وﺩ، يمثل الفرق المشترك. وهي الزيادة السنوية. لا نعرف أيًّا من هاتين القيمتين، لكن لدينا بعض المعلومات عن راتب أميرة في العامين الرابع والعاشر. يمكننا استخدام هذه المعطيات لتكوين بعض المعادلات. في العام الرابع، حصلت على ٢٤٠٠٠ دولار أمريكي. وبذلك نحصل على المعادلة ٢٤٠٠٠ يساوي ﺃ زائد أربعة ناقص واحد ﺩ أو ببساطة ﺃ زائد ثلاثة ﺩ.

وعلمنا أيضًا أنها حصلت في العام العاشر على ٣٦٠٠٠ دولار أمريكي. وبذلك، نحصل أيضًا على المعادلة ٣٦٠٠٠ يساوي ﺃ زائد ١٠ ناقص واحد ﺩ أو ﺃ زائد ٩ﺩ. لدينا الآن معادلتان آنيتان خطيتان بهما مجهولان، ﺃ وﺩ. ويمكننا حل هاتين المعادلتين آنيًّا. بطرح المعادلة الأولى من المعادلة الثانية، ستحذف حدود ﺃ، وسيتبقى لدينا ١٢٠٠٠ يساوي ٦ﺩ. وبقسمة الطرفين على ستة، نحصل على الفرق المشترك لهذه المتتابعة. ‏ﺩ يساوي ٢٠٠٠. إذن، هذه هي الزيادة السنوية في راتب أميرة.

لإيجاد قيمة ﺃ، يمكننا التعويض عن ﺩ يساوي ٢٠٠٠ في أي من المعادلتين. لقد اخترت المعادلة الأولى، وبذلك ٢٤٠٠٠ يساوي ﺃ زائد ثلاثة مضروبًا في ٢٠٠٠. وبطرح ٦٠٠٠، وهو حاصل ضرب ثلاثة في ٢٠٠٠، من كلا الطرفين، نحصل على قيمة ﺃ. ‏ﺃ يساوي ١٨٠٠٠. إذن هذا هو راتب أميرة في العام الأول من عملها. لكن المطلوب منا هو إيجاد راتب أميرة في العام العشرين. لذا، علينا إيجاد الحد رقم ٢٠ في هذه المتتابعة. يمكننا فعل ذلك بالتعويض عن قيمتي ﺃ وﺩ وكذلك بقيمة ﻥ يساوي ٢٠ في صيغة الحد العام. وبهذا لدينا ﺣ٢٠ يساوي ١٨٠٠٠ زائد ١٩. ويساوي ٢٠ ناقص واحد مضروبًا في ٢٠٠٠. وهو ما يساوي ١٨٠٠٠ زائد ٣٨٠٠٠، وهو ما يساوي ٥٦٠٠٠. وبهذا نكون قد عرفنا أنه في العام العشرين من عملها، ستحصل أميرة على ٥٦٠٠٠ دولار أمريكي بافتراض أنها ستحصل على نفس الزيادة في الراتب ومقدارها ٢٠٠٠ دولار أمريكي كل عام.

لقد تناولنا بعض الأمثلة حول كيفية حساب حد معين أو رتبة حد في متتابعة حسابية. في المثال التالي، سنتدرب على إيجاد مجموع الحدود في متتابعة حسابية معطاة على صورة مسألة كلامية.

يتدرب عداء للمشاركة في سباق لمسافة طويلة. ركض العداء ستة كيلومترات في اليوم الأول، ثم زاد المسافة بمقدار ٠٫٥ كيلومتر كل يوم. أوجد المسافة الكلية التي قطعها خلال ١٤ يومًا.

بما أن مسافة الجري تزداد بالمقدار نفسه كل يوم، فإن هذه المسافات تمثل متتابعة حسابية. الفرق المشترك في هذه المتتابعة هو ٠٫٥، والحد الأول ﺃ هو المسافة التي قطعها في اليوم الأول. وتساوي ستة كيلومترات. لإيجاد المسافة الكلية التي قطعها خلال ١٤ يومًا، علينا إيجاد مجموع أول ١٤ حدًّا في هذه المتتابعة. نتذكر إذن أنه يمكن إيجاد مجموع الحدود الأولى ﻥ في متتابعة حسابية باستخدام الصيغة ﺟﻥ تساوي ﻥ على اثنين مضروبًا في اثنين ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد ﺩ. يمكننا إذن التعويض بـ ١٤ عن ﻥ، وستة عن ﺃ، و ٠٫٥ عن ﺩ، لنحصل بذلك على ﺟ١٤ يساوي ١٤ على اثنين مضروبًا في اثنين في ستة زائد ٠٫٥ مضروبًا في ١٤ ناقص واحد.

ويمكن تبسيط ذلك إلى سبعة مضروبًا في ١٢ زائد ٠٫٥ مضروبًا في ١٣. لنواصل الحل داخل الأقواس. لدينا ١٢ زائد ٦٫٥، وهو ما يساوي ١٨٫٥، ثم بالضرب في سبعة نحصل على ١٢٩٫٥. تذكر أن هذه مسافة ووحدة القياس المستخدمة هي الكيلومتر. إذن، من خلال تطبيق صيغة مجموع الحدود الأولى ﻥ في متتابعة حسابية، وجدنا أن المسافة الكلية التي يقطعها هذا العداء خلال ١٤ يومًا هي ١٢٩٫٥ كيلومترًا.

في المثال الأخير، سنرى كيف يمكننا إيجاد قانون الحد النوني لمتتابعة حسابية معطاة على صورة مسألة كلامية.

بدأت رانيا  ممارسة الرياضة لتحسين صحتها. قامت في اليوم الأول بالتمرين لمدة ١٤ دقيقة، ثم زادت مدة التمرين بمقدار ست دقائق كل يوم. أوجد، بدلالة ﻥ، الحد النوني في المتتابعة الذي يمثل عدد الدقائق التي تقضيها رانيا  في التمرين في كل يوم. افتراض أن ﻥ يساوي واحدًا هو اليوم الأول في تمرين رانيا .

لقد علمنا في هذه المسألة أن رانيا  زادت مدة تمرينها بالقيمة نفسها كل يوم؛ وهذا يعني أن المدة التي تستغرقها في التمرين تمثل متتابعة حسابية أساسها يساوي ستة. نعلم أيضًا أن رانيا  تمرنت لمدة ١٤ دقيقة في اليوم الأول؛ وهو ما يعني أن الحد الأول في المتتابعة هو ١٤. المطلوب منا هو إيجاد الحد النوني لهذه المتتابعة بدلالة ﻥ، لذا علينا أن نتذكر الصيغة العامة للحد النوني للمتتابعة الحسابية. وهي: ﺣﻥ، الحد النوني، يساوي ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد ﺩ، حيث ﺃ يمثل الحد الأول، وﺩ يمثل الفرق المشترك.

يمكننا إذن التعويض بقيمتي ﺃ وﺩ المعطاة في المسألة لإيجاد الحد العام. ‏ﺣﻥ يساوي ١٤ زائد ستة مضروبًا في ﻥ ناقص واحد. يمكننا الآن تبسيط هذا المقدار جبريًّا. لذا سنوزع الأقواس. لدينا ١٤ زائد ستة ﻥ ناقص ستة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ستة ﻥ زائد ثمانية. ومن المعتاد أن يكون الحد العام للمتتابعة الحسابية على هذه الصورة، أحد مضاعفات ﻥ زائد ثابت. لاحظ أيضًا أن الفرق المشترك، والذي يساوي ستة هنا، هو معامل ﻥ في الحد العام، وينطبق هذا دائمًا على المتتابعة الحسابية. لقد وجدنا الحد النوني لهذه المتتابعة. وهو ستة ﻥ زائد ثمانية. وبالتعويض بأي قيمة لـ ﻥ، يمكننا حساب أي حد في هذه المتتابعة.

هيا نراجع الآن بعض النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. أولًا، ذكرنا أنفسنا أنه في المتتابعة الحسابية، يكون الفرق بين الحدين المتتاليين ثابتًا، ونسميه الفرق المشترك ونمثله باستخدام الحرف ﺩ. ويشار إلى الحد الأول في المتتابعة الحسابية عادة بالحرف ﺃ، لكن يمكن أن يشار إليه أيضًا بـ ﺣ واحد. ونشير إلى الحدود التالية بالطريقة نفسها: ﺣ اثنين، ﺣ ثلاثة، وهكذا. وتوجد صيغة لحساب الحد العام أو الحد النوني في المتتابعة الحسابية باستخدام الحد الأول، والفرق المشترك، ورقم الحد. ‏ﺣﻥ يساوي ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ.

ولدينا أيضًا صيغة لحساب مجموع الحدود الأولى ﻥ في متتابعة حسابية: ﺟﻥ يساوي ﻥ على اثنين مضروبًا في اثنين ﺃ زائد ﻥ ناقص واحد ﺩ. كما عرفنا في هذا الفيديو تحديدًا كيف يمكننا تطبيق هذه النتائج على المسائل الكلامية. علينا أن نتأكد من أننا قرأنا السؤال جيدًا، وحددنا المعلومات الأساسية، ثم نكون أي معادلات. يمكننا بعد ذلك حل هذه المعادلات لإيجاد الحد العام، أو حد معين، أو رتبة الحد، أو مجموع الحدود الأولى ﻥ في أي متتابعة حسابية.