فيديو السؤال: استخدام متطابقة فيثاغورس والمتطابقات المثلثية للزاويتين المتتامتين لإيجاد قيمة دالة الظل بمعلومية الدالة المثلثية والربع الذي تقع فيه الزاوية الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة ظا ٢٧٠ درجة ناقص ‪𝜃‬‏، علمًا بأن جتا 𝜃 يساوي سالب أربعة أخماس؛ حيث 𝜃 أكبر من ٩٠ درجة وأقل من ١٨٠ درجة.

سنبدأ باستخدام حقيقة أن 𝜃 تقع بين ٩٠ درجة و١٨٠ درجة، وأن جتا 𝜃 يساوي سالب أربعة أخماس لحساب قيمة ظا 𝜃. باستخدام مخطط قاعدة الإشارات للدوال المثلثية، نجد أن الزاوية 𝜃 تقع في الربع الثاني. نحن نعلم أن قيمة جيب أي زاوية في هذا الربع تكون موجبة، بينما تكون قيمة كل من جيب تمام وظل أي زاوية بين ٩٠ درجة و١٨٠ درجة سالبة. هذا يعني أن قيمة ظا 𝜃 يجب أن تكون سالبة. وباستخدام ما نعرفه عن ثلاثيات فيثاغورس، نجد أن ظا الزاوية 𝛼 في المخطط يساوي ثلاثة أرباع. وهذا يعني أن ظا الزاوية 𝜃 يساوي سالب ثلاثة أرباع.

لنتناول الآن المقدار المعطى في هذا السؤال، وهو ظا ٢٧٠ درجة ناقص 𝜃. باستخدام دورية دالة الظل، نعلم أن ظا 𝜃 زائد أو ناقص ١٨٠ درجة يساوي ظا 𝜃. وبما أن ٢٧٠ درجة تساوي ١٨٠ درجة زائد ٩٠ درجة، يمكننا إعادة كتابة المقدار لدينا على الصورة ظا ١٨٠ درجة زائد ٩٠ درجة ناقص 𝜃. وبما أن ظا ١٨٠ درجة زائد 𝜃 يساوي ظا 𝜃، فإن المقدار لدينا يساوي ظا ٩٠ درجة ناقص 𝜃.

وبتذكر المتطابقات المثلثية للزاويتين المتتامتين، نجد أن ظا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي ظتا 𝜃. وباستخدام ما نعرفه عن مقلوب الدوال المثلثية، نعلم أن هذا يساوي واحدًا على ظا 𝜃. يمكننا الآن التعويض بقيمة ظا 𝜃 في المقدار. علينا قسمة واحد على سالب ثلاثة أرباع. وبما أن القسمة على كسر هي نفسها الضرب في مقلوب هذا الكسر، فإن هذا يساوي واحدًا مضروبًا في سالب أربعة أثلاث. إذن، إذا كانت 𝜃 تقع بين ٩٠ درجة و١٨٠ درجة؛ حيث جتا 𝜃 يساوي سالب أربعة أخماس، فإن ظا ٢٧٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي سالب أربعة أثلاث.