نسخة الفيديو النصية
إذا كان هناك رسم بياني يمثل دالة، فكم نقطة تتقاطع عندها الدالة مع خط رأسي؟
للإجابة عن هذا السؤال، سيكون علينا في البداية أن نسترجع ماذا نعني بالدالة. الدالة تربط كل عنصر في مجموعة ما بعنصر واحد فقط في مجموعة أخرى. ونظرًا لأننا نربط عناصر من مجموعة ما بعناصر في مجموعة أخرى، يمكننا قول إن المجموعة الأولى هي مجموعة المدخلات، والمجموعة الثانية هي مجموعة المخرجات. لذا يمكن أن نفكر في هذا التعريف بالنسبة إلى قيم المدخلات وقيم المخرجات. الدالة تأخذ قيمة مدخلة وتعطينا قيمة مخرجة واحدة فقط. ونحن نريد أن نرى كيف نقارن هذا التعريف على التمثيل البياني لدالة ما، وذلك من خلال عدد نقاط التقاطع التي ستتقاطع عندها الدالة مع خط رأسي.
لفعل هذا، دعونا نبدأ باسترجاع كيف نمثل دالة بيانيًّا. للقيام بهذا، سنتناول مثالًا. سننظر إلى المستقيم ﺹ يساوي ﺱ زائد واحد. في التمثيل البياني، قيم الإحداثي ﺱ للنقاط على المنحنى تمثل القيم المدخلة، وقيم الإحداثي ﺹ تمثل القيم المخرجة المناظرة. لذا، فإن كل نقطة على التمثيل البياني لهذه الدالة سيكون لها إحداثيان على الصورة ﺱ، قيمة ﺩﺱ، أو بدلًا من ذلك، ستكون ﺱ، ﺱ زائد واحد. دعونا نتناول الآن خطًّا رأسيًّا في الشكل لدينا، على سبيل المثال، ﺱ يساوي سالب اثنين. في هذا الشكل، يمكننا ملاحظة أن هناك نقطة تقاطع واحدة فقط. ونحن نعرف كيف نوجد قيمة الإحداثي ﺹ لنقطة التقاطع هذه. قيمة الإحداثي ﺱ لهذه النقطة هي سالب اثنين. إذن، قيمة الإحداثي ﺹ المناظرة في نقطة التقاطع هي قيمة ﺩ عند سالب اثنين. وسالب اثنين زائد واحد يساوي سالب واحد.
يمكننا هنا ملاحظة شيء مثير للاهتمام. كل تقاطع بين هذا الخط الرأسي والدالة يعطينا قيمة مخرجة للدالة. هذا يسمح لنا أن نثبت أنه ليست هناك نقطة تقاطع ثانية بين الخط الرأسي والتمثيل البياني للدالة، وذلك لأن كل نقطة تقاطع سيكون لها إحداثيات على الصورة سالب اثنين، قيمة ﺩ عند سالب اثنين. وتعريف الدالة يخبرنا أن هناك قيمة مخرجة واحدة فقط. قد نرغب في الإجابة عن السؤال بقول إن هناك نقطة تقاطع واحدة فقط. لكن علينا أن ننتبه جيدًا. في الواقع، نحن أوضحنا فقط أنه توجد على الأكثر نقطة تقاطع واحدة. ويمكننا أن نثبت أنه ليس ضروريًّا أن تكون هناك نقطة تقاطع.
على سبيل المثال، انظر إلى التمثيل البياني للدالة ﺹ يساوي جذر ﺱ. نحن نعلم أنه لا توجد نقطة تقاطع بين الخط الرأسي ﺱ يساوي سالب واحد والمنحنى ﺹ يساوي جذر ﺱ. وذلك لأنه ليست هناك قيمة سالبة لـ ﺱ في مجال الدالة ﺩﺱ. لكن هذه الدالة لا تزال تأخذ قيمة مدخلة واحدة وتعطينا قيمة مخرجة واحدة فقط؛ لذا فإنها لا تزال دالة. إذن، من الممكن ألا يتقاطع الخط الرأسي والتمثيل البياني للدالة على الإطلاق، لكن لا يمكن أن يتقاطعا مرتين أو أكثر. وبذلك، نكون قد أوضحنا أن التمثيل البياني لدالة وخط رأسي يتقاطعان مرة واحدة على الأكثر.
