فيديو: قاعدة القوى

يوضح الفيديو كيفية تفاضل (اشتقاق) دوال القوى (الدوال الأُسِّية)، والمقصود بالمشتقة الأولى للدالة، مع أمثلة توضيحية.

١١:٣٣

‏نسخة الفيديو النصية

قاعدة القوى.

بصفة عامَّة، لو أنا عندي على سبيل المثال الدالة د س، وعايزين نجيب تفاضُل الدالة د س بالنسبة لـ س، اللي بنرمز له بالرمز د شرطة س. في الحالة دي، أقدر أجيب د شرطة س عن طريق القاعدة اللي بتقول: إن د شرطة س بيساوي نهاية الدالة د س زائد هـ ناقص الدالة د س، الكل مقسوم على هـ، عندما هـ تئول إلى صفر، وحيث هـ هو مقدار التغيُّر. لو نلاحظ، هنلاقي إن الصيغة اللي قدامنا أقدر عن طريقها أجيب حاجتين؛ أول حاجة: هي إيجاد تفاضُل أيّ دالة عند نقطة ما. وتاني حاجة: أقدر عن طريقها أجيب ميل المماس للدالة عند نفس النقطة.

فعلى سبيل المثال، لو أنا عندي الدالة د س بتساوي س مرفوعة للأُس أ، حيث أ هو قيمة أو مقدار ثابت لا يساوي الصفر. في الحالة دي أقدر أجيب تفاضُل الدالة د س بالنسبة لِـ س عن طريق إن أنا هقول: تفاضُل الدالة د س بالنسبة لِـ س أقدر أرمز له بالرمز د شرطة س. بيساوي … أول حاجة الأُس اللي عندي، اللي هو الـ أ، هينزل زيّ ما هو، مضروب في س. وهننقّص من الأُس واحد، يبقى هيكون س أُس، أ ناقص واحد.

طيب لو أنا عندي مثال تاني بيقول لي: إن الدالة د س بتساوي س مرفوعة للأُس خمسة.

في الحالة دي، أقدر أقول: إن تفاضُل الدالة د س بالنسبة لِـ س اللي هنرمز له بالرمز د شرطة س بيساوي … زيّ ما اتفقنا إن الأُس هينزل زيّ ما هو، اللي هو الخمسة مضروبة في س. وهننقّص من الأُس واحد، فبالتالي س أُس، خمسة ناقص واحد. يبقى د شرطة س بيساوي خمسة س أُس أربعة.

طيب لو عندي مثال تاني بيقول: إن الدالة د ص هي عبارة عن دالة في متغيّر ص بتساوي ص أُس تلاتة واتنين من عشرة. وطالب منّي إني أجيب تفاضُل الدالة د ص بالنسبة لِـ ص، اللي هنرمز له بالرمز د شرطة ص.

في الحالة دي، هننزّل الأُس اللي عندنا، اللي هو تلاتة واتنين من عشرة، زيّ ما هو. هيكون مضروب في ص. وهننقّص من الأُس واحد. فبالتالي ص هتكون مرفوعة للأُس تلاتة واتنين من عشرة ناقص واحد. فبالتالي د شرطة ص بيساوي تلاتة واتنين من عشرة مضروبة في ص أُس اتنين واتنين من عشرة.

طيب لو خدنا مثال تاني بيقول: إن الدالة ن س بتساوي س أُس سالب تسعة. وطالب منّي إني أجيب تفاضُل الدالة ن س بالنسبة لِـ س.

زيّ ما اتفقنا إن الأُس، اللي هو سالب تسعة، هينزل زيّ ما هو. يبقى سالب تسعة مضروبة في س. وهننقّص مِ الأُس واحد. يبقى سالب تسعة ناقص واحد. يبقى ن شرطة س بيساوي سالب تسعة س أُس سالب عشرة. سالب تسعة س أُس سالب عشرة.

طيب لو جينا خدنا مثال أخير في … بس جينا نكتبه في صفحة جديدة. لو أنا عندي الدالة د س هي عبارة عن دالة في متغيّر واحد، اللي هو س، بتساوي س أُس واحد.

في الحالة دي، أقدر أقول: إن تفاضُل الدالة د س بالنسبة لِـ س، اللي هنرمز له بالرمز د شرطة س، هيساوي … زيّ ما اتفقنا إن الأُس هينزل زيّ ما هو، اللي هو واحد مضروبة في س. وهننقّص مِ الأُس واحد. يبقى واحد ناقص واحد. يعني هيساوي واحد في س أُس صفر. س أُس صفر بتساوي واحد. فبالتالي د شرطة س بتساوي … واحد في واحد بواحد.

طيب في الحالة دي إحنا استخدمنا قاعدة القوة؛ عشان أقدر أجيب تفاضُل الدالة د س بالنسبة لِـ س، حيث أن د س بيساوي س أُس واحد.

طيب لو عاوزين نثبت إن قاعدة القوة اللي إحنا استخدمناها هي قاعدة صحيحة. في الحالة دي، أقدر أثبت الكلام ده بطريقة بيانية. فلو جينا نرسم الدالة د س، اللي هي بتساوي س أُس واحد، على الإحداثي السيني والإحداثي الصادي. الرسمة اللي قدامنا هي عبارة عن الإحداثي السيني والإحداثي الصادي موجودين باللون البرتقاني. وقدامي خطّ مستقيم هو عبارة عن خطّ بيعبّر عن الدالة د س بتساوي س أُس واحد. يبقى الخطّ المستقيم اللي قدامنا هو بيعبّر عن الدالة د س بتساوي س أُس واحد.

ميل أيّ خطّ مستقيم هو قيمة ثابتة. فبالتالي مشتقّة الدالة د س، اللي هي عبارة عن خطّ مستقيم، اللي هو رسمناها في صورة خطّ مستقيم، هتكون برضو قيمة ثابتة. لأن زيّ ما اتّفقنا إن صيغة إيجاد مشتقّة الدالة عند نقطة ما هي نفسها صيغة إيجاد ميل المماس لنفس الدالة عند نفس النقطة. يعني لو جينا نرسم خطّ بيعبّر عن ميل الدالة د س، اللي هي بتساوي س أُس واحد، الدالة نفسها هي اللي بتساوي س أُس واحد، الميل هيساوي قيمة ثابتة. يبقى الخطّ اللي قدامي باللون الأخضر هو عبارة عن ميل الدالة د س بتساوي س واحد. وميل الدالة على طول بيساوي قيمة ثابتة، اللي هي بتساوي واحد.

فبالتالي لو أنا عايز أجيب مشتقّة الدالة د س بتساوي س أُس واحد عند أيّ نقطة، هنلاقي إن هي على طول بتساوي قيمة ثابتة، اللي هي هتساوي واحد. يعني لو جينا عند أيّ نقطة من على الخطّ المستقيم نفسه، وهننزل على الخطّ اللي بيعبّر عن ميل الدالة، هنلاقي إن على طول مشتقَّة الدالة د س عند أيّ نقطة بتساوي واحد. وده اللي واضح قدامنا عند أيّ نقطة من الخطّ. لو أنا جيت وصّلته للخطّ بتاع الميل، هلاقي إن هو بيدّيني برضو قيمة ثابتة. فبالتالي مشتقَّة الدالة د س بتساوي س أُس واحد. المشتقّة هتساوي على طول قيمة ثابتة، بتساوي واحد. وده بيثبت قاعدة القوة اللي استخدمناها في المثال اللي عندنا، واللي شرحناها في أول الفيديو.

طيب لو عندنا مثال تاني ومحتاجين نشرحه، هيبيّن لنا حاجات تانية في قاعدة القوى. في الحالة دي، هنبدأ نكتب المثال في صفحة جديدة. المثال اللي عندنا: هو مدّيني الدالة د س بتساوي اتنين على س أُس خمسة، زائد تمنية على س أُس أربعة. وطالب منّي حاجتين؛ أول حاجة: إني أجيب د شرطة س أو تفاضُل الدالة د س بالنسبة لِـ س. وبعد كده أوجد د شرطة اتنين.

فلو جينا أول حاجة نكتب الدالة اللي عندنا، اللي هي د س بتساوي اتنين على س أُس خمسة، زائد تمنية على س أُس أربعة. في البداية أنا أقدر إن أنا أخلّي س أُس خمسة تكون موجودة في البسط. ونفس الكلام إن أنا أخلّي س أُس أربعة موجودة في البسط. بس في الحالة دي، هنغيّر إشارة الأُس في س أُس خمسة، وفي س أُس أربعة. يعني بمعنى تاني، أقدر أقول: إن د س هيساوي بدل اتنين على س أُس خمسة، هيساوي اتنين مضروبة في س أُس سالب خمسة، زائد تمنية مضروبة في س أُس سالب أربعة. في الحالة دي، أقدر أستخدم قاعدة القوى؛ عشان أقدر أجيب تفاضُل الدالة د س بالنسبة لِـ س.

يعني في الحالة دي، أقدر أقول: إن د شرطة س بتساوي … أول حاجة أنا عندي إن د س بتساوي اتنين س أُس سالب خمسة، زائد تمنية س أُس سالب أربعة. الاتنين هتنزل زيّ ما هي. هضربها في الأُس اللي هو عبارة عن سالب خمسة، وهننقّص م الأُس واحد. يعني س أُس سالب خمسة ناقص واحد. ده أول جزء عندي. زائد … تاني جزء التمنية هتنزل زيّ ما هي، مضروبة في الأُس اللي هو سالب أربعة، وهننقّص مِ الأُس واحد. يعني س أُس، سالب أربعة ناقص واحد. في الحالة دي، أقدر أقول: إن د شرطة س بتساوي … اتنين في سالب خمسة بسالب عشرة. س أُس، سالب خمسة ناقص واحد بِـ س أُس سالب ستة. زائد … تمنية في سالب أربعة، يبقى زائد سالب اتنين وتلاتين. س أُس، سالب أربعة ناقص واحد بِـ س أُس سالب خمسة.

في الحالة دي، أقدر أقول: إن د شرطة س بيساوي … سالب عشرة س أُس سالب ستة هتنزل زيّ ما هي. موجب في سالب بسالب. يبقى سالب اتنين وتلاتين س أُس سالب خمسة. يبقى أنا جِبت أول حاجة هو طالبها منّي، اللي هي د شرطة س.

تاني حاجة هو طالبها منّي إني أجيب د شرطة اتنين. يبقى في الحالة دي، أقدر أقول: إن د شرطة اتنين هتساوي … هنعوّض عن كل س بِـ اتنين في د شرطة س. يبقى في الحالة دي، أقدر أقول: إن د شرطة اتنين بتساوي سالب عشرة مضروبة في اتنين أُس سالب ستة، ناقص اتنين وتلاتين مضروبة في اتنين أُس سالب خمسة. في الحالة دي، أقدر أخلّي اتنين أُس سالب ستة أكون موجودة في المقام بدل ما هي موجودة في البسط. بس في الحالة دي، هنغيّر إشارة الأُس. بمعنى إن أنا عندي د شرطة اتنين هتساوي … سالب عشرة هتفضل زيّ ما هي موجودة. وهخلّي الاتنين أُس سالب ستة موجودة في المقام، بس بتغيير إشارة الأُس. فبالتالي هتساوي اتنين أُس ستة.

ونفس الأمر هنخلّي أو هنعمله … الاتنين أُس سالب خمسة، عفوًا، اتنين أُس سالب خمسة، يبقى سالب اتنين وتلاتين هتنزل زيّ ما هي، مقسومة على … اتنين أُس سالب خمسة هنغيّر إشارة الأُس، فبالتالي هتبقى اتنين أُس خمسة. يبقى في الحالة دي، أقدر أقول: إن د شرطة اتنين بعد الاختصار هتساوي … سالب عشرة على اتنين أُس ستة بتساوي سالب خمسة على اتنين وتلاتين. ناقص … اتنين وتلاتين على اتنين أُس خمسة، اتنين أُس خمسة بتساوي اتنين وتلاتين. يعني اتنين وتلاتين على اتنين وتلاتين بواحد. يبقى سالب خمسة على اتنين وتلاتين ناقص واحد. يعني بيساوي سالب واحد وخمسة على اتنين وتلاتين.

في الحالة دي، إحنا عرفنا إيه هي قاعدة القوى. وإزَّاي أقدر أستخدمها؛ عشان أقدر أجيب تفاضُل الدوال الأسّية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.