فيديو: امتحان التفاضل والتكامل للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال السادس عشر

امتحان التفاضل والتكامل للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال السادس عشر

٠٣:٣٥

‏نسخة الفيديو النصية

اوجد تكامل ظا 𝜃 بالنسبة لِـ 𝜃.

في البداية، عشان نقدر نوجد تكامل ظا 𝜃 بالنسبة لِـ 𝜃، محتاجين نكتب ظا 𝜃 على الصورة: جا 𝜃 على جتا 𝜃. يعني هتساوي تكامل واحد على جتا 𝜃 في جا 𝜃، بالنسبة لِـ 𝜃. هنلاحظ إننا محتاجين نوجد تكامل حاصل ضرب دالتين. أول دالة هي واحد على جتا 𝜃. وتاني دالة هي جا 𝜃. عندنا طريقتين عشان نقدر نوجد ناتج تكامل حاصل ضرب دالتين. أول طريقة: التكامل بالتجزيء. وبنستخدمها لإيجاد تكامل حاصل ضرب دالتين، ليست إحداهما مشتقّة الأخرى.

وبالنسبة لتاني طريقة، هتكون هي التكامل بالتعويض. وبنستخدمها لإيجاد حاصل ضرب دالتين، إحداهما مشتقّة الأخرى. هنلاحظ إن د على د 𝜃 لِـ جتا 𝜃، هتساوي سالب جا 𝜃. وبالتالي نقدر نستخدم طريقة التكامل بالتعويض، بفرض إن ص هتساوي جتا 𝜃. وبالتالي هنوجد مشتقّة ص. يعني هنوجد د ص. وَ د ص هتساوي مشتقّة جتا 𝜃 هتساوي سالب جا 𝜃 د 𝜃. يعني تكامل ظا 𝜃 د 𝜃 هيساوي تكامل … هنعوّض عن جتا 𝜃 بِـ ص. فهيكون عندنا واحد على ص في … هنلاحظ إن عندنا جا 𝜃 د 𝜃.

وبما إن د ص بتساوي سالب جا 𝜃 د 𝜃، فهنعوّض عن جا 𝜃 في د 𝜃، بسالب د ص. يعني هيكون عندنا تكامل واحد على ص، في سالب د ص. هنكتب السالب برّه التكامل. فهيكون عندنا سالب تكامل واحد على ص، د ص. وهنفتكر إن تكامل واحد على س، بالنسبة لِـ س، بيساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لِـ س، زائد ثابت التكامل. وبالتالي تكامل واحد على ص د ص، هيساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لِـ ص، زائد ثابت التكامل.

محتاجين نرجّع ص إلى قيمتها الأصلية. وبما إننا فرضنا إن ص بتساوي جتا 𝜃، فهنكتب مكان ص، جتا 𝜃. يعني تكامل ظا 𝜃 د 𝜃، هيساوي سالب اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لِـ جتا 𝜃، زائد ثابت التكامل. يبقى كده نكون قدرنا نوجد ناتج تكامل ظا 𝜃 د 𝜃. وكان بيساوي سالب اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لِـ جتا 𝜃، زائد ثابت التكامل.

ممكن نحصل على نفس الناتج، باستخدام القاعدة اللي بتكون على الصورة … إن لو عندنا مثلًا دالة د س، فتكامل واحد على الدالة د س، مضروبة في مشتقّة الدالة د س، بالنسبة لِـ س … هيساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة للدالة د س، زائد ثابت التكامل. فلو افترضنا إن الدالة د س عندنا هي جتا 𝜃، فنقدر نقول إن هيكون عندنا تكامل واحد على جتا 𝜃 في … مشتقّة جتا 𝜃 هي سالب جا 𝜃. وبالتالي الناتج هيساوي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لِـ د س، اللي هي هتُعتبر في الحالة دي جتا 𝜃، زائد ثابت التكامل. وهتكون إشارة الناتج إشارة سالبة؛ عشان مشتقّة جتا 𝜃 بسالب جا 𝜃 وليست جا 𝜃. وهنحصل على نفس الناتج، تكامل ظا 𝜃 بالنسبة لِـ 𝜃، اللي كان بيساوي سالب اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لِـ جتا 𝜃، زائد ثابت التكامل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.