فيديو: امتحان التفاضل والتكامل الدور الثاني للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثاني عشر

امتحان التفاضل والتكامل الدور الثاني للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثاني عشر

٠٨:٠١

‏نسخة الفيديو النصية

اوجد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بالمنحنى: ص بتساوي س تربيع. والخطّ المستقيم: ص بتساوي تلاتة س ناقص اتنين. دورة كاملة حول محور السينات.

مطلوب نوجد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بالمنحنى والخطّ المستقيم. ولو فرضنا إن عندنا أيّ دالتين، ولتكن الدالة د س والدالة ر س. فلو عايزين نوجد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بين الدالة د س والدالة ر س. فهيكون بيساوي 𝜋 مضروبة في تكامل الدالة د س تربيع بالنسبة لِـ س من أ إلى ب، ناقص 𝜋 مضروبة في تكامل الدالة ر س تربيع بالنسبة لِـ س من أ إلى ب.

نقدر نكتب حجم المجسَّم الناشئ بصورة أخرى. وهتكون: 𝜋 مضروبة في تكامل د س تربيع ناقص ر س تربيع بالنسبة لِـ س من أ إلى ب. هنلاحظ إن حدود التكامل هي أ وَ ب. حيث أ وَ ب هي الإحداثيات السينية لنقط تقاطع الدالتين د س وَ ر س.

وبالتالي لو عايزين نوجد حدود التكامل بالنسبة للمنحنى والخطّ المستقيم. معطى إن معادلة المنحنى بتكون: ص بتساوي س تربيع. ومعادلة الخطّ المستقيم بتكون: ص بتساوي تلاتة س ناقص اتنين. هنرمز لمعادلة المنحنى بِـ ص واحد. وهنرمز لمعادلة الخطّ المستقيم بِـ ص اتنين.

وعشان نقدر نوجد الإحداثيات السينية لنقط التقاطع، هنساوي ص واحد وَ ص اتنين. ص واحد اللي هي س تربيع، وَ ص اتنين اللي هي تلاتة س ناقص اتنين. ويبقى محتاجين نوجد قيم س اللي هتكون الإحداثيات السينية لنقط تقاطع المنحنى والخطّ المستقيم. هنطرح من الطرفين تلاتة س ناقص اتنين. فهيكون عندنا س تربيع ناقص تلاتة س زائد اتنين بتساوي صفر.

بالتحليل هيكون عندنا س ناقص اتنين مضروبة في س ناقص واحد بتساوي صفر. فهيكون عندنا قيمتين لِـ س؛ أول قيمة: إن س ناقص اتنين بتساوي صفر. هنجمع اتنين عَ الطرفين. يعني س هتساوي اتنين. وتاني قيمة لِـ س إن س ناقص واحد هتساوي صفر. نجمع واحد عَ الطرفين فيكون عندنا س بتساوي واحد. ويبقى الإحداثيات السينية لنقط تقاطع المنحنى والخطّ المستقيم هتكون: س بتساوي اتنين، وَ س بتساوي واحد. وبما إن في حدود التكامل أ بتكون أصغر من ب، فَـ أ هتساوي واحد وَ ب هتساوي اتنين. يبقى كده قدرنا نوجد حدود التكامل.

وعشان نقدر نوجد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بالمنحنى والخطّ المستقيم. هنلاحظ إن في العلاقة اللي بنقدر نحسب بيها الحجم عندنا الدالة د س تربيع ناقص الدالة ر س تربيع. وبالتالي محتاجين نحدِّد هل المنحنى ولَّا الخطّ المستقيم اللي هيكون الدالة د س، والآخر هيكون الدالة ر س. وبما إن الحجم يجب أن يكون قيمة موجبة. يبقى لازم تكون قيم الدالة د س أكبر من قيم الدالة ر س لكل قيم س اللي في الفترة من أ إلى ب. يعني محتاجين نعرف هل المنحنى ولَّا الخطّ المستقيم اللي بيكون ليه قيم أكبر في الفترة المغلقة من واحد إلى اتنين.

فبما إن حدَّا التكامل هما س بتساوي واحد وَ س بتساوي اتنين. والمنحنى والخطّ المستقيم متصلان على الفترة المغلقة من واحد إلى اتنين. فعشان نقدر نحدِّد هل المنحنى ولَّا المستقيم اللي هيكون ليه قيمة أكبر في الفترة المغلقة من واحد إلى اتنين. هنأخذ أيّ قيمة اختيارية تنتمي للفترة المفتوحة من واحد إلى اتنين. ولتكن مثلًا عند س بتساوي تلاتة على اتنين. هنوجد قيمة المنحنى عند س بتساوي تلاتة على اتنين. وهنوجد قيمة الخطّ المستقيم عند س بتساوي تلاتة على اتنين.

فبالنسبة للمنحنى، اللي هي ص واحد، هتساوي تلاتة على اتنين تربيع. يعني هتساوي تسعة على أربعة. وبالنسبة للخطّ المستقيم، اللي هي ص اتنين، فهتساوي تلاتة مضروبة في، تلاتة على اتنين، ناقص اتنين. يعني هتساوي خمسة على اتنين. يعني هنلاحظ إن ص اتنين هتكون أكبر من أو بتساوي ص واحد. يعني قيم الخطّ المستقيم هتكون أكبر من قيم المنحنى لكل قيم س اللي بتنتمي للفترة المغلقة من واحد إلى اتنين. يعني هنعوَّض عن الدالة د س بِـ ص اتنين، وهنعوَّض عن الدالة ر س بِـ ص واحد.

وبالتالي عشان نقدر نوجد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بالمنحنى والخطّ المستقيم. فهيكون بيساوي 𝜋 مضروبة في تكامل … هنعوَّض عن الدالة د س بِـ ص اتنين. وَ ص اتنين بتساوي تلاتة س ناقص اتنين، يبقى هنعوَّض عن الدالة د س بتلاتة س ناقص اتنين. فهيكون عندنا تلاتة س ناقص اتنين تربيع ناقص … هنعوَّض عن الدالة ر س بِـ ص واحد. وبما إن ص واحد بتساوي س تربيع، فهنعوَّض عن الدالة ر س بِـ س تربيع، فهيكون عندنا س تربيع أُس اتنين. وهنكامل بالنسبة لِـ س. وبالنسبة لحدود التكامل أ بتساوي واحد وَ ب هتساوي اتنين. س تربيع أُس اتنين هنكتبها في صورة س أُس أربعة.

وبالتالي الحجم هيساوي 𝜋 مضروبة في … تكامل تلاتة س ناقص اتنين تربيع، هنفتكر إن لو عايزين … لو عندنا مثلًا الدالة ق س، وعايزين نوجد تكامل الدالة ق س أُس ن بالنسبة لِـ س. فهتساوي الدالة ق س أُس، ن زائد واحد، الكل مقسوم على، ن زائد واحد، مضروبة في، واحد على مشتقَّة الدالة ق س، زائد ثابت التكامل.

وبالتالي تكامل تلاتة س ناقص اتنين الكل تربيع بالنسبة لِـ س هيساوي … هنكتب تلاتة س ناقص اتنين زيّ ما هي، وهنزوِّد الأُس واحد. يعني هتكون أُس تلاتة. وهنقسم على الأُس الجديد، وهنضربها في واحد على مشتقَّة تلاتة س ناقص اتنين. ومشتقَّة تلاتة س ناقص اتنين هتساوي تلاتة. فهيكون عندنا واحد على تلاتة زائد ثابت التكامل. يعني تكامل تلاتة س ناقص اتنين تربيع هيكون واحد على تسعة في تلاتة س ناقص اتنين الكل أُس تلاتة.

وبالنسبة لتكامل س أُس أربعة. تكامل س أُس أربعة بالنسبة لِـ س هيكون بيساوي … هنكتب س زيّ ما هي، وهنزوِّد الأُس واحد، يعني هتكون أُس خمسة. وهنقسم على الأُس الجديد، اللي هو خمسة. مضروبة في واحد على مشتقَّة س. مشتقَّة س بتساوي واحد. زائد ثابت التكامل. يعني تكامل س أُس أربعة هيساوي س أُس خمسة، مقسومة على خمسة. وعندنا إشارة سالب، والتكامل هيكون من واحد إلى اتنين.

يعني حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بين المنحنى والخطّ المستقيم هيكون بيساوي 𝜋 مضروبة في … أول حاجة هنعوَّض عن س باتنين. فهيكون عندنا واحد على تسعة مضروبة في، تلاتة في اتنين ناقص اتنين أُس تلاتة، ناقص، اتنين أُس خمسة على خمسة، ناقص … هنعوَّض عن س بواحد، فهيكون عندنا واحد على تسعة مضروبة في، تلاتة في واحد ناقص اتنين أُس تلاتة، ناقص، واحد أُس خمسة على خمسة. تلاتة في اتنين ناقص اتنين هتساوي أربعة. وأربعة أُس تلاتة هتساوي أربعة وستين. وواحد على تسعة مضروبة في أربعة وستين هتساوي أربعة وستين على تسعة. اتنين أُس خمسة بتساوي اتنين وتلاتين على خمسة. فهيكون عندنا اتنين وتلاتين على خمسة.

تلاتة في واحد ناقص اتنين هيساوي واحد. وواحد أُس تلاتة هيساوي واحد. فهيكون عندنا واحد على تسعة مضروبة في واحد. يعني عندنا واحد على تسعة. واحد أُس خمسة على خمسة هيساوي واحد على خمسة. يعني هيكون عندنا 𝜋 مضروبة في أربعة وستين على تسعة، ناقص اتنين وتلاتين على خمسة، ناقص واحد على تسعة، ناقص واحد على خمسة. يعني حجم المجسَّم هيكون بيساوي أربعة على خمسة 𝜋.

يبقى كده قدرنا نوجد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بالمنحنى والخطّ المستقيم. وكان بيساوي أربعة على خمسة 𝜋.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.