فيديو السؤال: حل مسألة متعددة الخطوات تتضمن جسمًا جاسئًا في حالة اتزان تؤثر عليه قوى متوازية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏ لوح خشبي غير منتظم طوله ١٦ مترًا، يرتكز في وضع أفقي على حاملين عند ﺟ وﺩ؛ حيث ﺃﺟ يساوي ثلاثة أمتار، وﺏﺩ يساوي أربعة أمتار. إذا كانت أقصى مسافة يستطيع أن يتحركها رجل وزنه ٦٣٩ نيوتن على اللوح من ﺃ إلى ﺏ دون أن يختل توازن اللوح تساوي ١٤٫٢ مترًا، وأقصى مسافة يستطيع أن يتحركها نفس الرجل من ﺏ إلى ﺃ تساوي ١٤٫٨ مترًا، فأوجد وزن اللوح ﻭ، والمسافة ﺱ بين خط عمله والنقطة ﺃ.

هناك الكثير من المعطيات في هذه المسألة. أهم معطى هو أن اللوح مرتكز، وهو ما يعني أنه في حالة اتزان. ويخبرنا ذلك بشرطين عن شأن القوى المؤثرة على اللوح. الشرط الأول هو أن مجموع كل القوى المؤثرة على اللوح يساوي صفرًا. والشرط الثاني هو أن محصلة عزوم القوى، بالنسبة لأي نقطة، تساوي صفرًا أيضًا حول هذه النقطة. في هذه الحالة تحديدًا، ستكون النقطة المرجعية دائمًا موجودة على اللوح، وجميع القوى تؤثر عموديًّا على اللوح. وبذلك يمكننا التعبير عن عزم كل قوة في صورة مقدار القوة مضروبًا في المسافة من نقطة تأثير القوة إلى النقطة المرجعية. وكما سنكتشف، يمكننا في الواقع إيجاد كل القيم المطلوبة باستخدام فقط الشرط الخاص بعزم القوة، وتعريف عزم القوة، وبعض الأساليب الجبرية.

قبل أن نصل إلى هذه النقطة، علينا رسم شكل لتنظيم المعطيات التي لدينا. في الواقع، علينا رسم شكلين؛ أحدهما يعبر عن تحرك الرجل من ﺃ إلى ﺏ، والآخر يعبر عن تحرك الرجل من ﺏ إلى ﺃ. لدينا اللوح الخشبي ﺃﺏ، والحاملان ﺟ وﺩ. وطول اللوح يساوي ١٦ مترًا، والمسافة من ﺃ إلى ﺟ ثلاثة أمتار، والمسافة من ﺩ إلى ﺏ أربعة أمتار. بالنسبة إلى القوى، نعلم أن الوزن ﻭ يؤثر على اللوح في موضع ما بين ﺟ وﺩ. لا نعرف هذا الموضع؛ لأن اللوح غير منتظم، لكننا نعرف أنه يقع بين ﺟ وﺩ لأن اللوح لم ينقلب.

الوزن هو إحدى القيم التي نريد إيجادها. والقيمة الأخرى التي نريدها هي المسافة ﺱ بين موضع تأثير الوزن والنقطة ﺃ. يجدر بنا أيضًا توضيح المسافات من موضع تأثير الوزن إلى كل حامل في الشكل. ولأننا لا نعرف قيمة ﺱ، فإننا لا نعلم أيضًا المسافة بين موضع تأثير الوزن والحامل ﺟ. لذا دعونا نطلق على هذه المسافة ﻑ.

هناك الآن بعض الحدود الأخرى التي يمكننا كتابتها بدلالة ﻑ. أولًا، المسافة من ﺃ إلى الحامل ﺟ تساوي ثلاثة أمتار، والمسافة من الحامل ﺟ إلى موضع تأثير الوزن هي ﻑ. إذن، ثلاثة زائد ﻑ يساوي ﺱ. علاوة على ذلك، فإن المسافة الكلية بين الحامل ﺟ والحامل ﺩ تساوي طول اللوح البالغ ١٦ مترًا ناقص طول ﺩﺏ البالغ أربعة أمتار ناقص طول ﺃﺟ البالغ ثلاثة أمتار، أو ١٦ ناقص سبعة، وهو ما يساوي تسعة أمتار. لكن بما أن المسافة من الحامل ﺟ إلى موضع تأثير الوزن هي ﻑ، فإن المسافة من موضع تأثير الوزن إلى الحامل ﺩ تساوي بالتأكيد تسعة أمتار ناقص ﻑ.

لكي يكون اللوح في حالة اتزان، يجب أن يؤثر كل حامل بقوة رد فعل لأعلى، وهو ما سنطلق عليه ﺭﺟ وﺭﺩ. القوة الأخرى الوحيدة التي يتعين علينا وضعها في الاعتبار هي وزن الرجل؛ وهو ٦٣٩ نيوتن. يؤثر هذا الوزن عند نقطتين مختلفتين في الشكلين المختلفين. في الشكل الأول، سنضع الرجل على بعد ١٤٫٢ مترًا من ﺃ، وهي أقصى مسافة يمكن أن يتحركها من ﺃ إلى ﺏ دون اختلال اللوح. وبما أن طول اللوح ١٦ مترًا، فإن مسافة ١٤٫٢ مترًا من ﺃ هي نفسها مسافة ١٫٨ متر من ﺏ. في الشكل الثاني، سنضع الرجل على بعد ١٤٫٨ مترًا من ﺏ، وهي أقصى مسافة يمكن أن يتحركها من ﺏ إلى ﺃ دون أن يقلب اللوح.

وكما فعلنا من قبل، نظرًا لأن الطول الكلي للوح يساوي ١٦ مترًا، فإن المسافة ١٤٫٨ مترًا من النقطة ﺏ هي نفسها مسافة ١٦ ناقص ١٤٫٨، أو مسافة ١٫٢ متر من ﺃ. والآن اكتمل الشكلان. ومع أنهما مكتملان تقريبًا، وتوجد معطيات كثيرة، فسنرى أنه باستخدام ما نعرفه بالفعل وبعض الاختيارات الذكية، يمكننا استخدام كل شكل لصياغة معادلة واحدة بسيطة. أولًا، دعونا نستخدم ما نعرفه.

نعرف أننا وضعنا الرجل عند أقصى مسافة يمكن أن يتحركها دون اختلال اللوح. لنر ما سيحدث إذا حركنا الرجل مسافة أبعد، وليكن أقرب إلى الطرف ﺃ في الشكل الثاني. إذا حدث ذلك، فسيبدأ اللوح في الارتكاز على الحامل ﺟ، ومن ثم سيرتفع عن الحامل ﺩ مباشرة. وإذا ارتفع اللوح عن الحامل، فمن الواضح أنه لن يؤثر بأي ضغط عليه. وإذا لم يؤثر اللوح بأي ضغط على الحامل، فإن الحامل لا يؤثر بأي قوة رد فعل على اللوح. لكن بسبب عدم وجود ضغط عند ارتفاع اللوح عن ﺩ، لا يكون هناك ضغط أيضًا عندما يكون اللوح متزنًا تمامًا والرجل يبعد ١٫٢ متر عن ﺃ.

إذن في هذا الشكل الثاني، الذي يكون فيه اللوح متزنًا تمامًا حول الحامل ﺟ، ﺭﺩ يساوي صفرًا. وبالمثل، في الشكل الأول، الذي يكون فيه اللوح متزنًا تمامًا حول الحامل ﺩ؛ حيث يكون الرجل على أحد الجانبين والوزن على الجانب الآخر، لا يوجد ضغط على الحامل ﺟ و ﺭﺟ يساوي صفرًا. وبهذا نكون قد استبعدنا قوة رد فعل واحدة من كل من الشكلين. لنتوقف الآن لتناول شرطي الاتزان.

في التعبير الدال على عزم القوة، إذا كانت القوة تؤثر عند النقطة المرجعية، فإن المسافة من موضع تأثير القوة إلى النقطة المرجعية تساوي صفرًا، وعزم القوة حول هذه النقطة المرجعية يساوي صفرًا. في الشكل الأول، إذا اخترنا النقطة المرجعية عند موضع التقاء الحامل ﺩ باللوح، فعزم ﺭﺩ حول هذه النقطة المرجعية سيساوي صفرًا. وبالمثل، في الشكل الثاني، إذا اخترنا أن تكون النقطة المرجعية عند نقطة التقاء الحامل ﺟ باللوح، فعزم ﺭﺟ حول هذه النقطة المرجعية سيساوي صفرًا. علاوة على ذلك، إذا كان مقدار قوة ما يساوي صفرًا، فإن عزم هذه القوة حول أي نقطة مرجعية يساوي صفرًا أيضًا.

وبذلك، في الشكل الأول، قوة رد الفعل عند ﺟ تساوي صفرًا. وفي الشكل الثاني، قوة رد الفعل عند ﺩ تساوي صفرًا. وبذلك، ينتج عن قوتي رد الفعل هاتين عزم يساوي صفرًا حول النقطتين المرجعيتين. وبذلك لا يتبقى لدينا في الشكلين سوى وزن اللوح ووزن الرجل باعتبارهما القوتين الوحيدتين اللتين علينا أخذهما في الاعتبار عند تطبيق الشرط المتعلق بمحصلة عزوم القوى. لاحظ أيضًا أنه في كلا الشكلين، يؤثر وزن اللوح ووزن الرجل في الاتجاه نفسه، ولكن على جانبين متقابلين من النقطة المرجعية. وعليه، فإن إشارتي عزمهما مختلفتان.

حسنًا، لنحسب الآن محصلة العزوم لكل شكل. في الشكل الأول، يؤثر الوزن ﻭ على مسافة تسعة أمتار ناقص ﻑ من النقطة المرجعية. لذا يكون عزمه هو ﻭ في تسعة ناقص ﻑ، وهو ما اخترناه ليكون موجبًا. هذا يعني أن عزم ٦٣٩ نيوتن، أي وزن الرجل، سيكون سالبًا. وعلينا معرفة المسافة بين الموضع الذي تؤثر فيه هذه القوة والنقطة المرجعية.

بما أن الرجل يبعد ١٫٨ متر عن ﺏ، وﺏ تبعد أربعة أمتار عن النقطة المرجعية، فلا بد أن يكون الرجل على بعد ٢٫٢ متر، أي أربعة ناقص ١٫٨، من النقطة المرجعية. وعليه، فإن محصلة العزوم في الشكل الأول حول النقطة ﺩ تساوي ﻭ في تسعة ناقص ﻑ ناقص ٦٣٩ في ٢٫٢، وهو ما يجب أن يساوي صفرًا وفقًا لشرط الاتزان.

في الشكل الثاني، النقطة المرجعية هي موضع التقاء الحامل ﺟ مع اللوح. ومن ثم، فإن وزن اللوح يقع على بعد المسافة ﻑ من هذه النقطة المرجعية. هذه المرة، يبعد وزن الرجل مسافة ١٫٢ متر عن ﺃ، وتقع ﺃ على بعد ثلاثة أمتار من النقطة المرجعية. إذن يبعد الرجل مسافة ١٫٨ متر عن النقطة المرجعية. بتجميع كل هذه القيم، نحصل على محصلة عزم مقدارها ﻭ في ﻑ ناقص ٦٣٩ في ١٫٨، وهو ما يساوي صفرًا أيضًا.

لاحظ أننا انتبهنا مرة أخرى إلى أن عزمي هاتين القوتين لهما إشارتان مختلفتان عندما يؤثران في الاتجاه نفسه، ولكن على جانبين متقابلين من النقطة المرجعية. ومرة أخرى، اخترنا الإشارات بحيث يكون لوزن اللوح عزم موجب. وكما ذكرنا من قبل، يمكننا تعريف الاتجاهات بهذه الطريقة ما دمنا سنلتزم بهذا التعريف خلال تناولنا لشكل معين.

أصبحت لدينا الآن معادلتان بهما قيمتان مجهولتان. وكل ما تبقى علينا فعله هو استخدام بعض الأساليب الجبرية لحلهما. دعونا الآن نعد ترتيب هاتين المعادلتين بصورة أكثر نفعًا. في المعادلة الأولى، سنوزع ﻭ على تسعة ناقص ﻑ، ونضيف أيضًا ٦٣٩ في ٢٫٢ إلى كلا الطرفين. وفي المعادلة الثانية، سنضيف ٦٣٩ في ١٫٨ إلى كلا الطرفين. لدينا تسعة ﻭ ناقص ﻭﻑ يساوي ٦٣٩ في ٢٫٢، وﻭﻑ يساوي ٦٣٩ في ١٫٨. في هذه الصيغة، نلاحظ أنه يمكننا حذف ﻑ، أو تحديدًا ﻭﻑ، من المعادلة الأولى عن طريق جمع المعادلتين الأولى والثانية.

دعونا نفرغ بعض المساحة لإجراء هذه العملية الحسابية. سنحذف المعادلات الأصلية التي كتبناها، ونحتفظ بهذه الصيغ الثانية لأنها تعبر عن المعطيات نفسها ولكن بطريقة أكثر نفعًا. عندما نجمع هاتين المعادلتين معًا، نجد أنه في الطرف الأيمن ﻭﻑ زائد سالب ﻭﻑ يساوي صفرًا. إذن يتبقى لدينا تسعة ﻭ. وفي الطرف الأيسر، لدينا ٦٣٩ في ٢٫٢ زائد ٦٣٩ في ١٫٨، وهو ما يساوي ٢٥٥٦ عند حسابه على الآلة الحاسبة.

لعزل ﻭ في طرف بمفرده، كل ما علينا فعله هو قسمة ٢٥٥٦ على تسعة. عندما نفعل ذلك، نجد أن ﻭ، أي وزن اللوح الذي نريد إيجاده، يساوي ٢٨٤ نيوتن. والآن نستخدم أيًّا من المعادلتين ونعوض بقيمة ﻭ لإيجاد ﻑ. ومن ﻑ، يمكننا إيجاد قيمة ﺱ، وهي القيمة الأخرى التي نريد إيجادها. دعونا نستخدم المعادلة الثانية: ﻭﻑ يساوي ٦٣٩ في ١٫٨، مع التعويض عن ﻭ بـ ٢٨٤. نعزل ﻑ في طرف بمفرده بقسمة ٦٣٩ في ١٫٨ على ٢٨٤. نصل بذلك إلى أن ﻑ يساوي ٤٫٠٥ بالضبط. وبإضافة ثلاثة لإيجاد ﺱ، نجد أن ﺱ يساوي ٧٫٠٥ أمتار.

إذن مع أننا بدأنا بالكثير من المعطيات وشكل معقد إلى حد ما، تمكنا من استخلاص معادلتين بسيطتين نسبيًّا ومن ثم من إيجاد قيمة وزن اللوح والموضع الذي يؤثر عنده هذا الوزن.