فيديو السؤال: تحليل الاتزان لقضيب منتظم مائل يرتكز على مستوى أفقي خشن وحامل الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

‏‏ﺃﺏ قضيب منتظم وزنه ١٠ نيوتن وطوله ١٢٫٥ مترًا، يرتكز بطرفه ﺃ على مستوى أفقي خشن، وترتكز النقطة ﺟ (الواقعة بين ﺃ وﺏ) على مسمار أفقي أملس يرتفع عن المستوى الأفقي بمسافة مقدارها ٥٫٧ أمتار. إذا كان القضيب على وشك الانزلاق عندما يميل على المستوى الأفقي بزاوية ظلها ثلاثة أرباع، فأوجد معامل الاحتكاك بين القضيب والمستوى الأفقي.

يمكننا أن نشير إلى معامل الاحتكاك بين القضيب والمستوى الأفقي بـ ﻡﻙ. تخبرنا هذه العبارة بأن لدينا قضيبًا وزنه، الذي نشير له بالرمز ﻭ، يساوي ١٠ نيوتن؛ وطوله، الذي نشير له بالرمز ﻝ، يساوي ١٢٫٥ مترًا. كما تخبرنا أن هذا القضيب يرتكز على مسمار عند النقطة ﺟ، وهي مسافة يمكننا أن نسميها ﻑ أعلى المستوى الأفقي. ونعلم أن ﻑ يساوي ٥٫٧ أمتار.

سنسمي الزاوية المحصورة بين المستوى الأفقي والقضيب 𝜃، وتخبرنا العبارة أن ظل 𝜃 يساوي ثلاثة أرباع. وبناء على كل هذه المعطيات، نريد إيجاد قيمة ﻡﻙ، أو معامل الاحتكاك بين القضيب والمستوى.

عند بدء الحل، نلاحظ أن القضيب ثابت. فبالرغم من القوى المؤثرة عليه، فإنه ليس في حالة حركة. ويعني هذا أنه يمكننا كتابة أن مجموع كل القوى المؤثرة على القضيب يساوي صفرًا. وكذلك مجموع كل عزوم الدوران المؤثرة على القضيب يساوي صفرًا. هذان المعطيان سيقدمان لنا المعلومات اللازمة، والتي سنستخدمها لإيجاد قيمة ﻡﻙ.

لنركز أولًا على المعلومات التي يمكننا إيجادها باستخدام حقيقة أن مجموع القوى المؤثرة على القضيب يساوي صفرًا. سنبدأ برسم كل القوى المؤثرة على القضيب وهو في هذا الموضع. أولًا، إذا وضعنا نقطة عند مركز القضيب، أي منتصف طوله، وبما أن القضيب منتظم، فستتجه قوة الوزن من هذا الموضع إلى أسفل مباشرة.

المسمار أيضًا يؤثر بقوة على القضيب. واتجاه هذه القوة عمودي على طول القضيب. يمكننا أن نسمي هذه القوة ﺭ واحد. وفي الجزء السفلي من القضيب عند النقطة ﺃ توجد قوة عمودية سنسميها ﺭ اثنين وتتجه مباشرة لأعلى. وتوجد أيضًا قوة احتكاك يمكننا أن نطلق عليها ﺡ والتي تتجه إلى اليمين في الاتجاه الأفقي. هذه هي جميع القوى المؤثرة على القضيب.

إذا عرفنا الاتجاهات الموجبة بأنها تلك التي تتجه للأعلى ولليمين، فسيمكننا كتابة معادلتي اتزان قوى، إحداهما للقوى الأفقية والأخرى للقوى الرأسية المؤثرة على القضيب. قبل أن نكتب هاتين المعادلتين بالأسفل، نلاحظ أن ثلاثًا من القوى الأربع تتجه أفقيًا أو رأسيًا بشكل كامل. والاستثناء الوحيد هو ﺭ واحد. إذن، علينا تحليل هذه القوة إلى مركبتها الأفقية ومركبتها الرأسية. إذا رسمنا مستقيمًا أفقيًا من النقطة ﺟ، فلا بد لقياس الزاوية المحصورة بين هذا المستقيم والقضيب أن يساوي 𝜃.

ويعني هذا أن الزاوية المحصورة بين متجه القوة ﺭ واحد والمستقيم الأفقي لا بد أن تساوي ٩٠ درجة ناقص 𝜃. بمعلومية ذلك، يمكننا الآن أن نبدأ في كتابة معادلتي اتزان القوة. بالنسبة إلى الاتجاه الرأسي، نكتب أن القوة العمودية، ﺭ اثنين، زائد ﺭ واحد في جا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 ناقص قوة الوزن ﻭ يساوي صفرًا. ونظرًا للعلاقة الطورية الخاصة بين جا وجتا 𝜃، فإن جا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 سيساوي جتا 𝜃 ببساطة. وتلك هي القوى المؤثرة في الاتجاه الرأسي.

أما في الاتجاه الأفقي، فيمكننا أن نكتب أن ﺡ، وهي قوة الاحتكاك، ناقص ﺭ واحد في جتا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 يساوي صفرًا. مرة أخرى، يمكننا تغيير الدالة المثلثية بناء على علاقة الطور بين دالتي جيب التمام والجيب. إذن، أصبح لدينا الآن معادلتان مستقلتان، بثلاث قيم مجهولة: ﺭ اثنين وﺭ واحد وﺡ. علينا تكوين معادلة مستقلة ثالثة لكي تساعدنا على إيجاد هذه القيم. ويمكننا إيجاد هذه المعادلة باستخدام حقيقة أن عزم الدوران الكلي المؤثر على هذا القضيب هو أيضًا يساوي صفرًا.

إذا اعتبرنا أن الدوران الموجب هو الدوران في اتجاه عقارب الساعة، وحددنا المركز الهندسي للقضيب عند نقطة الدوران، فإننا مستعدون لبدء كتابة معادلة عزم الدوران يساوي صفرًا. قبل أن نكتب هذه المعادلة، علينا إيجاد المركبتين العموديتين لـ ﺭ اثنين وﺡ اللتين تمثلان ذراعي عزم الدوران. وعلينا أيضًا إيجاد المسافة، التي يمكن أن نطلق عليها ﻫ، بين النقطة ﺟ ونقطة منتصف القضيب. بالنسبة إلى مركبة القوة العمودية ﺭ اثنين، يمكننا كتابة أن عزم الدوران الناتج عن هذه القوة يساوي ﺭ اثنين في جا ٩٠ درجة ناقص 𝜃 مضروبًا في طول القضيب على اثنين، أي ﻝ على اثنين.

وكما فعلنا من قبل، يمكننا إعادة كتابة مقدار دالة الجيب هذه ببساطة على الصورة جتا 𝜃. وبالنسبة إلى عزم الدوران حول نقطة المنتصف الناتج عن ﺭ واحد فيساوي ﺭ واحد في ﻫ. لكننا علينا إيجاد قيمة ﻫ هذه. يمكننا رسم مثلث نوضح عليه المعلومات التي نعرفها لكي يساعدنا على إيجاد طول ﻫ. بالنظر إلى هذا المثلث القائم الزاوية، نعرف أن ظل الزاوية 𝜃 يساوي ثلاثة أرباع. ومن ثم، فإن النسبة بين أطوال أضلاع هذا المثلث يجب أن تكون ثلاثة إلى أربعة إلى خمسة.

بالعودة إلى المثلث العلوي، بناء على إثباتنا أن النسبة بين أطوال أضلاع المثلث هي ثلاثة إلى أربعة إلى خمسة نستنتج أن جيب الزاوية 𝜃، الذي يساوي ثلاثة على خمسة، يجب أن يساوي ﻑ، الارتفاع من المستوى الأرضي إلى النقطة ﺟ، مقسومًا على ﻝ على اثنين زائد ﻫ. وباستخدام هذه المعادلة، يمكننا إعادة الترتيب وإيجاد قيمة ﻫ. ‏‏ﻫ يساوي خمسة ﻑ على ثلاثة ناقص ﻝ على اثنين. ثم نعوض بقيمتي ﻑ وﻝ المعطاتين، وبحساب هذه القيمة بعد التعويض بـ ﻑ وﻝ، نجد أن ﻫ يساوي ١٣ على أربعة متر.

هذه هي المسافة التي يمكننا استخدامها لضرب ﺭ واحد في معادلة عزم الدوران. بمعلومية عزوم الدوران الناتجة عن ﺭ اثنين، وعن ﺭ واحد، علينا الآن حساب ﺡ، أي قوة الاحتكاك. يمكننا كتابة عزم الدوران هذا على صورة ﺡ في جا 𝜃 مضروبًا في ﻝ على اثنين. ومجموع عزوم الدوران الثلاثة هذه يساوي صفرًا. لدينا الآن ثلاث معادلات مستقلة وثلاث قيم مجهولة. إذا وجدنا أولًا قيمة ﺭ واحد، أي القوة التي يؤثر بها المسمار على القضيب، فسيمكننا استخدام معادلة اتزان القوى الأفقية لإيجاد قيمة بديلة لـ ﺡ بدلالة ﺭ واحد، ثم التعويض بهذه القيمة في معادلة عزم الدوران.

عند إجراء هذا التعويض، يصبح الحد الجديد عبارة عن ﺭ واحد في جا تربيع 𝜃. الخطوة التالية هي التعويض عن ﺭ اثنين بمقدار ما بدلالة ﺭ واحد. ولنفعل ذلك، سنلقي نظرة على معادلة اتزان القوى الرأسية. بإعادة ترتيب هذه المعادلة، نجد أن ﺭ اثنين يساوي ﻭ ناقص ﺭ واحد جتا 𝜃. يمكننا بعد ذلك كتابة هذا الحد هنا ليحل محل ﺭ اثنين في معادلة اتزان عزم الدوران. وعند القيام بذلك، يصبح لدينا مقدار كامل بدلالة مجهول واحد، وهو ﺭ واحد، وثوابت معروفة هي: ﻝ و𝜃 وﻭ.

عند التعويض عن ﻭ بـ ١٠ نيوتن، وعن ﻝ بـ ١٢٫٥ مترًا، وعن جتا 𝜃 بأربعة أخماس وعن جا 𝜃 بثلاثة أخماس، نجد أن ﺭ واحد يساوي ١٠٠ على ١٩ نيوتن. بعد ذلك، نعوض بقيمة ﺭ واحد هذه في معادلة اتزان القوى الرأسية، مع التعويض عن ﻭ بـ ١٠ نيوتن، وعن جتا 𝜃 بأربعة أخماس. عند حساب هذا الفرق، نجد أن ﺭ اثنين، القوة العمودية، تساوي ١١٠ على ١٩ نيوتن.

يمكننا أيضًا استخدام ﺭ واحد لإيجاد ﺡ، أي قوة الاحتكاك. إذا عوضنا بقيمة ﺭ واحد في المعادلة ﺡ يساوي ﺭ واحد جا 𝜃، حيث يمكن كتابة جا 𝜃 على صورة الكسر ثلاثة أخماس، وإذا ضربنا هذين الكسرين، فسنجد أن قوة الاحتكاك تساوي ٦٠ على ١٩ نيوتن. والآن، ثمة معادلة أخيرة علينا تذكرها لإيجاد قيمة ﻡﻙ.

بصفة عامة، قوة الاحتكاك ﺡ تساوي معامل الاحتكاك في القوة العمودية. وبإعادة ترتيب هذا التعبير لإيجاد قيمة ﻡﻙ، يصبح ﺡ على ﺭ اثنين. وقد حسبنا هاتين القوتين بالفعل ويمكننا التعويض بهما الآن. عند القيام بذلك، نجد أن العاملين واحد على ١٩ يحذف أحدهما الآخر ويبسط المقدار إلى ستة مقسومًا على ١١. هذا هو معامل الاحتكاك بين القضيب والمستوى الأفقي.