فيديو: امتحان التفاضل والتكامل • ٢٠١٧/٢٠١٦ • السؤال الحادي عشر

امتحان التفاضل والتكامل • ٢٠١٧/٢٠١٦ • السؤال الحادي عشر

٠٦:٢٣

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد القيمة العظمى المطلقة للدالة د س تساوي جا س زائد جتا س، في الفترة المغلقة من صفر إلى اتنين 𝜋.

عشان نوجد النقاط العظمى أو الصغرى المطلقة لأي دالة، ولتكن الدالة د س، بنتأكد إن الدالة متصلة على الفترة المغلقة اللي معطاة عندنا. بعد كده بنوجد النقاط الحرِجة للدالة، وده بيبقى عن طريق إننا بنوجد المشتقة الأولى، وبنشوف النقاط اللي بتخلِّي المشتقة الأولى بصفر أو غير موجودة. وهنتأكد إن كل النقاط اللي حصلنا عليها دي بتقَع في الفترة المغلقة اللي الدالة متصلة عليها، واللي معطاة عندنا في السؤال.

الخطوة اللي بعد كده بنوجد قيَم الدالة عند كلٍّ من بداية الفترة المغلقة ونهايتها، وعند كل نقطة من النقاط الحرجة اللي حصلنا عليها. وبعدين بنقارن ما بين القيم اللي عندنا. أكبر قيمة فيهم بتُعتبر قيمة عظمى مطلقة للدالة، وأصغر قيمة هي القيمة الصغرى المطلقة.

هنشوف الدالة اللي عندنا. د س هتساوي جا س زائد جتا س. هنلاقي إن الدالة دي متَّصِلة على الفترة المغلقة من صفر لاتنين 𝜋. دلوقتي عايزين نوجد المشتقَّة الأولى اللي من خلالها هنوجد النقط الحرجة للدالة.

الدالة اللي عندنا دي عبارة عن مجموع دالتين. فلما نيجي نوجد المشتقة الأولى ليها، هتبقى عبارة عن مشتقة جا س بالنسبة لِـ س، زائد مشتقّة جتا س بالنسبة إلى س. يعني مشتقّة الأولى زائد مشتقّة التانية. وإحنا عارفين من مشتقات الدوال المثلثية إن مشتقّة جا س بالنسبة إلى س، هي جتا س.

بعد كده هنجمع مشتقة جتا س بالنسبة إلى س، اللي هتساوي سالب جا س. فبالتالي المشتقة الأولى للدالة د س هتساوي جتا س ناقص جا س.

دلوقتي عايزين نشوف النقاط الحرجة. ما فيش أي قيمة لِـ س تخلي المشتقة الأولى غير موجودة أو غير معرَّفة. يبقى عشان نوجد النقاط الحرِجة هنساوي المشتقة الأولى للدالة بصفر. يعني جتا س ناقص جا س هتبقى بتساوي صفر. نقدر نجمع جا س على طرفَي المعادلة، هيبقى جتا س بتساوي جا س. وبقسمة طرفَي المعادلة على جتا س، هيبقى عندنا جا س على جتا س هتساوي واحد. وإحنا عارفين من الدوال المثلثية إن ظا 𝜃 بتساوي جا 𝜃 على جتا 𝜃. فنقدر نعوّض عن جا س على جتا س بِـ ظا س. فيبقى ظا س هتساوي واحد.

وعشان نوجد قيمة س، نقدر نوجدها باستخدام الدالة العكسية لِـ ظا. فَـ س هتساوي الدالة العكسية لِـ ظا واحد. وبما إن قيمة ظا موجبة، فإحنا عارفين إن ظا بتبقى قيمها موجبة في الربع الأول أو في الربع التالت. فده معناه إن س إما هتكون بتساوي 𝜋 على أربعة. في الحالة دي هتبقى واقعة في الربع الأول. يا إما س هتكون بتساوي خمسة 𝜋 على أربعة، وفي الحالة دي هتبقى واقعة في الربع التالت. وهنلاقي إن القيمتين اللي عندنا واقعين في الفترة المغلقة اللي هي من صفر لاتنين 𝜋.

دلوقتي بعد ما أوجدنا النقاط الحرِجة للدالة اللي عندنا، هنبدأ لنوجد قيم الدالة عند بداية الفترة المغلقة ونهايتها، اللي هي صفر واتنين 𝜋. وكمان عايزين نوجد قيم الدالة عند النقاط الحرِجة اللي عندنا، اللي هي 𝜋 على أربعة وخمسة 𝜋 على أربعة.

أول حاجة هنبدأ ونوجد قيمة الدالة عند بداية الفترة المغلقة، اللي هي عند صفر. فهنعوّض عن كل س في الدالة اللي عندنا بصفر. قيمة الدالة عند س بصفر هتبقى بتساوي جا صفر زائد جتا صفر. وَ جا صفر بتساوي صفر. وَ جتا صفر بتساوي واحد. فيبقى قيمة الدالة عند س بتساوي صفر هتبقى بتساوي واحد. دلوقتي عايزين نوجد قيمة الدالة عند س بتساوي اتنين 𝜋. قيمة الدالة عند س بتساوي اتنين 𝜋، هتبقى بتساوي جا 𝜋 زائد جتا اتنين 𝜋. وَ جا اتنين 𝜋 بصفر. وَ جتا اتنين 𝜋 بواحد. فكده هيبقى قيمة الدالة عند س بتساوي اتنين 𝜋 هتكون بتساوي واحد.

دلوقتي عايزين نوجد قيمة الدالة عند أول نقطة من النقاط الحرِجة اللي أوجدناها؛ يعني عند س بتساوي 𝜋 على أربعة. فهنلاقي إنها بتساوي جا 𝜋 على أربعة زائد جتا 𝜋 على أربعة. يعني بتساوي واحد على الجذر التربيعي لاتنين، زائد واحد على الجذر التربيعي لاتنين. واللي مجموعهم هيبقى اتنين على الجذر التربيعي لاتنين. نقدر نضرب البسط والمقام في الجذر التربيعي لاتنين. فهنلاقي إن قيمة الدالة عند س بتساوي 𝜋 على أربعة، هتكون بتساوي الجذر التربيعي لاتنين.

دلوقتي عايزين نوجد قيمة الدالة عند النقطة الحرجة التانية اللي هي خمسة 𝜋 على أربعة. فهنلاقي إنها بتساوي جا خمسة 𝜋 على أربعة زائد جتا خمسة 𝜋 على أربعة. هنلاقي إن جا خمسة 𝜋 على أربعة بسالب الجذر التربيعي لاتنين على اتنين. وَ جتا خمسة 𝜋 على أربعة بسالب الجذر التربيعي لاتنين على اتنين. لما نجمع القيمتين مع بعض، هيبقى المجموع سالب الجذر التربيعي لاتنين.

بعد ما أوجدنا قيم الدالة عند بداية ونهاية الفترة المغلقة، وعند النقاط الحرِجة اللي أوجدناها؛ هنبدأ نقارن بين الأربع قيَم اللي حصلنا عليها. والمطلوب منّنا في السؤال إننا نوجد القيمة العظمى المطلقة، واللي هتكون أكبر قيمة بين مجموعة القيم اللي حصلنا عليها دي. لما نبُص على القيم الأربعة اللي عندنا، هنلاقي إن أكبر قيمة للدالة هي الجذر التربيعي لاتنين، وحصلت عند النقطة الحرجة لمَّا كانت س بِـ 𝜋 على أربعة. يبقى نقدر نستنتج إن عند س بتساوي 𝜋 على أربعة، هيكون فيه قيمة عظمى مطلقة للدالة اللي عندنا، وهتكون بتساوي الجذر التربيعي لاتنين. وبكده يبقى أوجدنا القيمة العظمى المطلقة للدالة اللي عندنا د س.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.