فيديو السؤال: إيجاد معامل ارتباط سبيرمان للبيانات الثنائية المتغير الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

يمثل الجدول الآتي العلاقة بين المبيعات والأرباح لستة طرازات من التليفزيونات. أوجد معامل ارتباط سبيرمان بين مبيعات التليفزيونات وأرباحها. قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

يوضح لنا الصف الأول من الجدول سعر هذه الطرازات الستة المختلفة من التليفزيونات. ويوضح الصف الثاني الربح المناظر لكل عملية بيع لهذه الطرازات. مطلوب منا إيجاد معامل ارتباط سبيرمان بين المبيعات والأرباح. من المثير للاهتمام أن هذا المعامل لا يرتبط مباشرة بقيم البيانات المذكورة. فهو يصف مدى ارتباط رتبة سعر التليفزيون برتبة قيمة ربح التليفزيون لكل عملية بيع.

إذن، الخطوة الأولى لإيجاد معامل ارتباط سبيرمان هي إضافة صفين إلى الجدول، حيث يوضح الصف الأول منهما، والذي سميناه ﺭﻡ، رتب مبيعات التليفزيون؛ بينما يمثل الصف الثاني منهما، وهو ﺭﺃ، رتب أرباح التليفزيون. عندما نتحدث عن الرتب، فإننا نعني أنه في كل صف من صفي البيانات الأصلية، نلاحظ أنه في كل منهما، تكون بعض القيم أدنى من الأخرى. وبينما نرتب هذه القيم في صف بالنسبة إلى بعضها، فإن القيم الصغيرة تكون لها الرتب الأدنى.

في الصف الأول، على سبيل المثال، نلاحظ أن أدنى قيمة هي ١٠٠. وعليه، فإن رتبتها ستكون واحدًا. وبعد ذلك، القيمة الأدنى التالية هي ٤٠٠. وعليه، ستحصل على الرتبة اثنين. قبل أن نكمل، لاحظ أنه كان بإمكاننا اختيار الطريقة العكسية لتحديد رتب هذه القيم. أي كان يمكننا القول إن القيم الأدنى لمبيعات التليفزيونات تناظر الرتب الأعلى. ولا بأس في ذلك إذا ما اتبعنا الطريقة نفسها عندما نحدد رتب الأرباح التي حققناها من التليفزيونات. لكن على أي حال، لقد اخترنا أن تحصل القيم الأدنى على الرتب الأدنى.

بالنظر إلى الصف الأول من قيم البيانات، نجد أن القيمة الأدنى التالية بعد ٤٠٠، هي ٤٨٠. إذن، ستحصل على الرتبة ثلاثة. بعد ذلك، يأتي العدد ٥٠٠، ومن ثم ستكون رتبته أربعة. ثم ٥٥٠ و٦٠٠ يكون لهما الرتبتان خمسة وستة على الترتيب. سنتبع الآن العملية نفسها للصف الثاني، أي صف قيم أرباح التليفزيونات. أدنى قيمة هنا هي ٩٠، وبذلك ستحصل على الرتبة واحد. ثم القيمة الأدنى التالية هي ٢٠٠. إذن، ستحصل على الرتبة اثنين. بعد ذلك، يأتي ٢٥٠ في الرتبة ثلاثة، و٣٠٠ في الرتبة أربعة.

لاحظ الآن أن لدينا قيمتين متطابقتين، وهما ٤٠٠. تمثل هاتان القيمتان أعلى رتبتين الخامسة والسادسة. وبما أنهما متساويتان، بدلًا من وضعهما في رتبتين مختلفتين، يمكننا أن نحسب متوسط قيمتي رتبتيهما، خمسة وستة، لنحصل على الرتبة المتوسطة ٥٫٥ لكلتيهما. يتعامل معامل ارتباط سبيرمان مع القيم الموجودة في هذين الصفين من الجدول الذي لدينا. بوجه عام، لجميع النقاط المختلفة في الجدول، كلما كانت قيمتا ﺭﻡ وﺭﺃ أقرب إحداهما إلى الأخرى، ازداد اقتراب معامل الارتباط من أن يساوي موجب واحد.

بعد ذلك، القيمة التالية التي نريد حسابها هي الفرق بين ﺭﻡ وﺭﺃ. وسنسمي ذلك ﻑ. لنقطة البيانات الأولى، أربعة ناقص أربعة يعطينا صفرًا. بعد ذلك، لدينا ستة ناقص ٥٫٥، أو ٠٫٥. ثم خمسة ناقص ٥٫٥ يساوي سالب ٠٫٥؛ وواحد ناقص واحد، وهو ما يساوي صفرًا؛ وثلاثة ناقص ثلاثة، وهو ما يساوي صفرًا؛ واثنان ناقص اثنين، وهو ما يساوي صفرًا. في الخطوة الأخيرة للجدول، سنضيف صفًّا نقوم فيه بتربيع قيم الفرق هذه. بعبارة أخرى، نحسب ﻑ تربيع. وهذا يضمن أن تكون جميع النتائج غير سالبة.

للنقطة الأولى، صفر تربيع يساوي صفرًا. ‏٠٫٥ تربيع يساوي ٠٫٢٥. سالب ٠٫٥ تربيع سيعطينا الناتج نفسه. ثم لدينا صفر تربيع، وصفر تربيع، وصفر تربيع، وهو ما ينتج عنه أصفار. يمكننا الآن إفراغ بعض المساحة أعلى الشاشة وكتابة الصيغة الرياضية لمعامل ارتباط سبيرمان. إنه يساوي واحدًا ناقص ستة في مجموع ﻑ تربيع الكل مقسوم على ﻥ، حيث ﻥ هو عدد نقاط البيانات في مجموعة البيانات لدينا، مضروبًا في ﻥ تربيع ناقص واحد.

إذن، لحساب هذا المعامل، يوجد أمران علينا معرفتهما. سنحتاج إلى معرفة مجموع مربعات كل القيم المختلفة. وعلينا أيضًا معرفة إجمالي عدد النقاط في مجموعة البيانات لدينا. بما أننا حسبنا ﻑ تربيع لكل نقطة من النقاط على حدة، يمكننا إيجاد هذا المجموع بجمع كل القيم في هذا الصف الأخير معًا. كل هذه القيم تساوي صفرًا ما عدا قيمتين تساوي كل منهما ٠٫٢٥، ومجموعهما يساوي ٠٫٥. بعد ذلك، فيما يتعلق بعدد النقاط في مجموعة البيانات، يمكننا عدها: واحدة، اثنتان، ثلاث، أربع، خمس، ست نقاط من تلك. نعرف من هذا أن ﻥ يساوي ستة.

عند التعويض بهذه القيم في صيغة معامل ارتباط سبيرمان، نلاحظ أن العامل ستة سيحذف من البسط والمقام. وبما أن ستة تربيع يساوي ٣٦، يمكننا تبسيط هذا المقدار ليصبح واحدًا ناقص ٠٫٥ على ٣٦ ناقص واحد، أو ٣٥. بحساب هذه القيمة، نحصل على الناتج ٠٫٩٨٥٧١ وهكذا مع توالي الأرقام. لكننا نتذكر أن السؤال طلب منا إعطاء إجابة مقربة لأقرب ثلاث منازل عشرية. لذا، إذا نظرنا إلى المنزلة العشرية الرابعة، فسنجد أنها أكبر من أو تساوي خمسة، وهو ما يعني أن القيمة في المنزلة العشرية الثالثة ستقرب لأعلى.

إذن، هذه هي إجابتنا لأقرب ثلاث منازل عشرية. معامل ارتباط سبيرمان لهذه البيانات هو ٠٫٩٨٦. ولأن هذه النتيجة قريبة جدًّا من واحد، يمكننا القول إن رتبة سعر بيع التليفزيون تكاد تتوافق مع رتبة الربح المناظر. هذا ما يخبرنا به معامل ارتباط سبيرمان.