فيديو الدرس: تركيب التحويلات الهندسية للدوال الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نحدد تحويلات الدالة التي تتضمن تركيبًا من انتقال وتمدد وانعكاس. سنبدأ بتذكر التحويلات الهندسية الرئيسية للدالة التي علينا معرفتها. يمكن تصنيف هذه التحويلات الهندسية إلى تحويلات تتسبب في تغيرات أفقية للدالة، وهي تحويلات يمكن أن تتحقق من خلال تطبيق تغييرات على المتغير ﺱ، وتحويلات تتسبب في تغيرات رأسية، وهي التي يمكن أن تتحقق من خلال تغيير الدالة نفسها.

إذا كانت لدينا الدالة ﺩس، فإن الدالة ﺩس زائد ﺃ لعدد حقيقي ما ﺃ هي انتقال بمقدار ﺃ من الوحدات إلى اليسار أو بالمتجه: سالب ﺃ، صفر. والدالة ﺩس زائد ﺏ هي انتقال بمقدار ﺏ من الوحدات لأعلى، أو بالمتجه: صفر، ﺏ. بعد ذلك، يمكننا ضرب ﺱ في ثابت ما ﺟ لنحصل على الدالة د جـ س. وهذا يؤدي إلى تمدد أو انكماش أفقيين بمعامل القياس واحد على ﺟ. وضرب الدالة بأكملها في ثابت ما ك لنحصل على ك د س هو تمدد رأسي بمعامل قياس ك. في الحقيقة، في التحويل السابق، إذا كان ﺟ أقل من صفر، ينتج أيضًا عن ذلك انعكاس حول المحور ﺹ. وإذا كان ك أقل من صفر، ينتج عن ذلك انعكاس حول المحور ﺱ.

في أبسط صورة، يمكننا فصل الحالة التي يكون فيها ﺟ وك مساويين لسالب واحد. الدالة ﺩ لسالب ﺱ هي انعكاس حول المحور ﺹ، والدالة سالب ﺩس هي انعكاس حول المحور ﺱ. باعتبارها ملاحظة على هامش الموضوع، نلاحظ أنه فيما يخص التحويلات الهندسية الأفقية، تكون تأثيرات الجمع والضرب هي عكس ما قد نتوقع. على سبيل المثال، ﺩس زائد ثلاثة؛ أي إضافة ثلاثة إلى ﺱ قبل إدخاله إلى الدالة، تؤدي إلى تحويل هندسي ينقل المنحنى ثلاث وحدات إلى اليسار. ويؤدي الضرب في اثنين في قيمة ﺱ إلى تمدد أفقي بمعامل قياس نصف. من ناحية أخرى، تؤدي التحويلات الجبرية على الدالة نفسها إلى التحويلات الهندسية المتوقعة. إذن، مع وضع هذا في الاعتبار، دعونا نلخص كيفية تحديد التحويلات الهندسية للدالة.

إذا انعكس التمثيل البياني الآتي حول المحور ﺱ، ثم أزيح إلى اليسار بمقدار وحدة واحدة ولأسفل بمقدار ثلاث وحدات، فما معادلة التمثيل البياني الجديد؟

تذكر أنه إذا كانت لدينا دالة ما ﺩس، فإن الدالة المناظرة سالب ﺩس تمثل انعكاسًا للمنحنى الأصلي حول المحور ﺱ. ولتمثيل إزاحة أو انتقال إلى اليسار بمقدار وحدة واحدة، علينا تحويل ﺩس إلى الدالة ﺩس زائد واحد. وأخيرًا، إذا كانت لدينا دالة ما ﺩس، يمكن إيجاد الدالة المناظرة ﺩس ناقص ثلاثة بانتقال الدالة الأصلية لأسفل بمقدار ثلاث وحدات. إذن سنأخذ الدالة الأصلية، التي نحصل عليها من خلال ﺹ يساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ، ثم نكمل كل تحويل من هذه التحويلات تباعًا.

لإجراء انعكاس حول المحور ﺱ، يجب تغيير الدالة ﺹ يساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ لتصبح: ﺹ يساوي سالب القيمة المطلقة لـ ﺱ. ويوضح المنحنى المناظر لهذه الدالة على هذا النحو. بعد ذلك، لإزاحة هذا المنحنى إلى اليسار بمقدار وحدة واحدة، نضيف واحدًا إلى قيمة ﺱ. ونفعل ذلك مع الدالة الجديدة. ومن ثم، فإن الدالة التي لدينا الآن هي: ﺹ يساوي سالب مقياس ﺱ زائد واحد، ويوضح المنحنى المناظر لهذه الدالة على هذا النحو.

أخيرًا، لانتقال هذا المنحنى بمقدار ثلاث وحدات لأسفل، نطرح ثلاثة من الدالة بأكملها. إذن نأخذ الدالة التي لدينا، ونطرح ثلاثة منها، لنحصل على: ﺹ يساوي سالب مقياس ﺱ زائد واحد ناقص ثلاثة. ويوضح المنحنى المناظر لهذه الدالة على هذا النحو. إذن بعد هذه السلسلة من التحويلات الهندسية، تكون معادلة المنحنى الجديد هي: ﺹ يساوي سالب مقياس ﺱ زائد واحد ناقص ثلاثة.

في المثال التالي، سنطبق تركيبًا من تمدد رأسي وانعكاس على دالة معطاة.

تمددت الدالة ﺩس يساوي ﺱ زائد اثنين تكعيب زائد ثلاثة في الاتجاه الرأسي بمعامل قياس اثنين، ثم انعكست حول المحور ﺹ. اكتب معادلة الدالة بعد التحويل رس.

يوجد تحويلان تم تطبيقهما على الدالة ﺩس. أولًا، تمددت في الاتجاه الرأسي؛ ثم انعكست. والآن، يمكننا أن نتذكر أنه لكي تتمدد دالة في الاتجاه الرأسي، علينا ضرب هذه الدالة بأكملها في معامل القياس. إذن سنحول الدالة ﺩس إلى اثنين في ﺩس لتحقيق ذلك. وإذا كانت لدينا دالة ما ﺩس، فإن الدالة المناظرة ﺩ لسالب ﺱ تمثل انعكاسًا حول المحور ﺹ لهذه الدالة الأصلية. والآن، يعد الترتيب الذي نطبق به هذين التحويلين مهمًّا. لذا، سنتبع الترتيب في السؤال، بدءًا من التمدد الرأسي.

لدينا ﺩس يساوي ﺱ زائد اثنين تكعيب زائد ثلاثة، وسنضرب الدالة كلها في اثنين. عندما نفعل ذلك، نجد أن: اثنان ﺩس يساوي اثنين في ﺱ زائد اثنين تكعيب زائد ثلاثة. بعد ذلك، يمكننا توزيع هذا العدد اثنين على الأقواس، وسنحصل حينها على: اثنان في ﺩس يساوي اثنين في ﺱ زائد اثنين تكعيب زائد ستة. والآن بعد أن أجرينا التمدد في الاتجاه الرأسي، سنجري انعكاسًا حول المحور ﺹ.

ولتحقيق ذلك، نغير ﺱ إلى سالب ﺱ. بعبارة أخرى، نضرب قيمة ﺱ في سالب واحد. بما أننا نبدأ الحل بالدالة بعد التحويل بالفعل، فعلينا تغيير اثنين ﺩس إلى اثنين ﺩ لسالب ﺱ. وكل ما نفعله هنا هو أننا نضرب قيمة ﺱ في سالب واحد. إذن، اثنان ﺩ لسالب ﺱ يساوي اثنين في سالب ﺱ زائد اثنين تكعيب زائد ستة. وهكذا أصبحت لدينا معادلة الدالة بعد التحويل؛ وهي التي يمكننا كتابتها على صورة: رس. ‏رس يساوي اثنين في سالب ﺱ زائد اثنين تكعيب زائد ستة.

في المثالين السابقين، أوجدنا المقادير الجبرية للدوال بعد تطبيق تركيب من التحويلات الهندسية وفق ترتيب معين. لنتناول الآن أمثلة في الاتجاه المعاكس. إذا كان لدينا مقدار جبري لدالة ناتج عن سلسلة من التحويلات الهندسية، فكيف نعيد تتبع الخطوات لتحديد جميع التحويلات ونحصل على المقدار المعطى؟ حسنًا، علينا معرفة ترتيب إكمال سلسلة من عدة تحويلات إذا كان لدينا المقدار الجبري. ومثلما يوجد ترتيب لإجراء العمليات الحسابية، على سبيل المثال، يمكننا تطبيق ترتيب معين على تركيب التحويلات.

أولًا، نبحث عن أي انتقالات أفقية ونطبقها أولًا. ثم نبحث عن أي تمددات أو بالطبع انكماشات. تذكر أنه يمكن أن تكون لدينا تمددات في كل من الاتجاه الأفقي والرأسي، ولا يهم في الواقع أي ترتيب نطبقه. بعد ذلك، نكمل أي انعكاسات حول أي من المحورين ﺱ أو ﺹ أو كليهما. ثم يكون الانتقال الرأسي الخطوة الأخيرة التي نفعلها. وهذا بالطبع مهم للغاية عند تطبيق تركيب من التحويلات. ولكن في بعض الحالات، قد تؤدي تركيبات وترتيبات مختلفة من التحويلات إلى نفس التأثير على التمثيل البياني للدالة.

ولكن في هذه المرحلة، ليس لدينا أي طريقة لتحديد ما إذا كان ذلك سيكون صحيحًا. لذا، سنتبع الترتيب كما هو موضح. دعونا نوضح ذلك في مثال.

هذا هو التمثيل البياني للدالة الأسية ﺹ يساوي ﺩس. أي من الآتي يمثل تمثيلًا بيانيًّا للدالة ﺹ يساوي أربعة ناقص ﺩ لاثنين ﺱ؟

دعونا نقارن المعادلة الأصلية بمعادلة الدالة بعد التحويل. سنجد أن ثلاثة أمور مختلفة حدثت هنا. لقد أضفنا أربعة، وضربنا الدالة بأكملها في سالب واحد، وضربنا ﺱ في اثنين. لكن علينا أن نحرص على التأكد من أننا فعلنا ذلك بالترتيب الصحيح. ويكون الترتيب كالآتي. نبدأ بالبحث عن أي انتقالات أفقية. هل سيتحرك المنحنى يسارًا أم يمينًا؟ بعد ذلك نمدده، ويمكن أن نفعل ذلك في الاتجاهين إذا لزم الأمر. يمكننا بعد ذلك إجراء أي انعكاسات إما حول المحور ﺱ أو المحور ﺹ أو كليهما. وأخيرًا، نتعامل مع أي انتقالات رأسية. هل يتحرك المنحنى لأعلى أم لأسفل؟

إذن، يحدث انتقال أفقي عندما نضيف ثابتًا ما إلى قيمة ﺱ. وعليه، فإن ﺩس تتحول إلى ﺩس زائد ﺃ من خلال انتقال بمقدار ﺃ من الوحدات إلى اليسار. الآن، إذا نظرنا إلى الدالة، فسنجد أننا لم نضف أي شيء إلى قيمة ﺱ. ولذا، لن نطبق أي انتقالات أفقية. لكننا سنطبق تمددًا. إذا كان لدينا ﺩس، فإن ﺩﺏ في ﺱ يكون تمددًا في الاتجاه الأفقي بمعامل قياس واحد على ﺏ. لدينا مقدار يعبر عن هذه الصورة. في الواقع، بما أن معامل ﺱ يساوي اثنين؛ إذ إننا نضرب القيمة ﺱ في اثنين، فإن لدينا تمددًا أفقيًّا بمعامل قياس يساوي نصفًا. ويمكننا إضافة هذا المنحنى المؤقت إلى الشكل.

نعرف أنه سيظل يمر عبر المحور ﺹ عند اثنين. بعد ذلك، فإن قيمة ﺱ للنقطة التي إحداثياتها: واحد، ٠٫٧ تقريبًا ستنصف، ونحصل على الإحداثيات‪:‬‏٠٫٥، ٠٫٧. وبالمثل، يمر المنحنى بالنقطة: اثنين، وتقريبًا ٠٫٢. وستنصف قيمة ﺱ عند هذه الإحداثيات. فنحصل على: واحد، ٠٫٢. لدينا هنا نقطة إحداثياتها هي: سالب ٠٫٦ تقريبًا، وأربعة. وننصف قيمة الإحداثي ﺱ، ليصبح لدينا: سالب ٠٫٣، وأربعة. ومن ثم، فإن التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺩ لاثنين ﺱ يبدو كما هو موضح، ويمكننا ملاحظة أن ذلك يتضمن هذا الانكماش الأفقي. أي إنه تمدد بمعامل قياس مقداره نصف. وماذا عن الانعكاسات؟ حسنًا، تحدث هذه الانعكاسات عندما نغير معامل ﺱ ليصبح سالبًا أو عندما نضرب الدالة بأكملها في سالب واحد.

حسنًا، لدينا بالفعل سالب ﺩ لاثنين ﺱ. ومن ثم، ينتج عن هذا انعكاس حول المحور ﺹ. وعلى الرغم من أننا لا يمكننا أن نطابق المنحنى بالكامل، فإننا نعرف أنه سيمر عبر سالب اثنين على المحور ﺹ كما هو موضح. إذن، فقد أجرينا تمددًا. وأجرينا انعكاسًا. ماذا عن الانتقال الرأسي؟ سيكون ذلك على صورة: ﺩس زائد ك. إذن، إذا كانت لدينا دالة أصلية ﺩس، يمكننا تحويلها إلى ﺩس زائد ك بتحريكها ك من الوحدات لأعلى.

إذا أعدنا كتابة الدالة على صورة: ﺹ يساوي سالب ﺩ لاثنين ﺱ؛ وهي التحويلات التي أجريناها، زائد أربعة، فسيكون بإمكاننا الآن أن نلاحظ أن علينا تحريك المنحنى أربع وحدات لأعلى. ومن ثم، يمر عبر المحور ﺹ عند اثنين. ومن بين الخيارات التي لدينا (أ)، (ب)، (ج)، نلاحظ أن هذا هو التمثيل البياني (ب). إذن، فالتمثيل البياني (ب) هو التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي أربعة ناقص ﺩ لاثنين ﺱ.

إذن، تعرفنا الآن على كيفية تطبيق سلسلة من التحويلات الهندسية والترتيب الذي يجب أن نطبقه إذا لزم الأمر. وبالطبع، يتبع ذلك الأمر إجراء سلسلة من التحويلات في الاتجاه العكسي؛ بعبارة أخرى، لإيجاد الدالة الأصلية، علينا إجراء هذه الخطوات بطريقة عكسية. وإذا كان لدينا الترتيب الذي نطبقه على سلسلة من التحويلات، فيمكننا إيجاد الدالة الأصلية كذلك من خلال عكس تلك السلسلة من التحويلات. لذا دعونا نر كيف سيكون ذلك.

يمثل التمثيل البياني الدالة رس بعد الإزاحة الرأسية الموجبة بمقدار ثلاث وحدات، ويليها انعكاس حول المحور ﺱ. أي من الآتي يمثل الدالة الأصلية ﺩس؟ هل هو (أ) ﺩس يساوي سالب ﺱ زائد اثنين تكعيب ناقص اثنين؟ أم (ب) ﺩس يساوي سالب ثلاثة ﺱ ناقص واحد تكعيب ناقص ستة؟ أم (ج) ﺩس يساوي ﺱ ناقص واحد تكعيب زائد اثنين؟ أم (د) ﺩس يساوي سالب ﺱ ناقص أربعة تكعيب ناقص اثنين. أم (هـ) ﺩس يساوي سالب ثلاثة ﺱ ناقص واحد تكعيب زائد اثنين.

علمنا من المعطيات أن الدالة رس تأتي من الدالة الأصلية ﺩس بعد إجراء تحويلين هندسيين. ويمكننا استرجاع الدالة الأصلية ﺩس من رس عن طريق عكس التحويلات ولكن بدءًا من التحويل الثاني. ستعطينا العملية ﺩس على صورة مقدار يتضمن رس. وبعد ذلك، يمكننا حل هذه المسألة بإيجاد معادلة لـ رس.

لنبدأ إذن بالتحويل الثاني، وهو انعكاس حول المحور ﺱ. ويمكننا أن نتذكر أنه إذا كانت دالة ما ﻕس، فإن سالب ﻕس المناظرة لها هي انعكاس للمنحنى الأصلي حول المحور ﺱ. أي إننا نعكسها بتطبيق التحويل نفسه. إذن، نأخذ رس ونحولها إلى سالب رس.

بعد ذلك، سنعكس التحويل الأول. وكان هذا هو الإزاحة الرأسية الموجبة بمقدار ثلاث وحدات. وعكس ذلك هو إزاحة رأسية سالبة؛ أي بعبارة أخرى، إزاحة المنحنى أو انتقاله بمقدار ثلاث وحدات لأسفل. والآن نحصل على ذلك عن طريق أخذ الدالة ﻕس وطرح ثلاثة منها. أو في حالة الدالة بعد التحويل سالب رس، نطرح ثلاثة من تلك الدالة، إذن سيصبح لدينا: سالب رس ناقص ثلاثة. وبما أننا عكسنا تحويلين، فلا بد أن يساوي ذلك الدالة الأصلية ﺩس.

إذن، كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد معادلة لـ رس. فننظر ببساطة إلى الشكل ونلاحظ بالفعل أنه لا بد من أن يكون من الدالة الرئيسية ﺹ يساوي ﺱ تكعيب. فهو بالتأكيد منحنى دالة تكعيبية. ولكن بالطبع إذا كان معامل ﺱ تكعيب موجبًا، فإن منحنى الدالة التكعيبية سيكون له الشكل المقابل. بعبارة أخرى، يشبه هذا المنحنى لكنه منعكس حول المحور ﺹ.

إذن لتحقيق انعكاس حول المحور ﺹ، نجعل الدالة كلها سالبة. إذن، فإن الدالة ﺹ يساوي سالب ﺱ تكعيب لها بالتأكيد الشكل والاتجاه الصحيحان. لكن بالطبع، تتقاطع ﺹ يساوي ﺱ تكعيب وﺹ يساوي سالب ﺱ تكعيب مع المحور ﺹ عند صفر. وفي الواقع، هذه أيضًا نقطة التوقف للدالة أو نقطة الانقلاب. على المنحنى، هذا يناظر النقطة التي إحداثياتها: واحد، سالب خمسة. إذن، نأخذ ﺹ يساوي سالب ﺱ تكعيب وننقلها وحدة واحدة يمينًا، وخمس وحدات لأسفل. ويحدث انتقالها وحدة واحدة إلى اليمين عندما نطرح واحدًا من قيمة ﺱ. ولتحريكها بمقدار خمس وحدات لأسفل، نطرح خمسة من الدالة بأكملها. ولذا، يبدو مؤكدًا أن لدينا معادلة الدالة رس.

قد يكون من المنطقي أن نتحقق من ذلك عن طريق التعويض ببعض الإحداثيات. على سبيل المثال، عند ﺱ يساوي سالب واحد، فإن ﺹ يساوي سالب سالب واحد ناقص واحد تكعيب ناقص خمسة؛ وهو ما يساوي ثلاثة كما توقعنا. وبالمثل، عند ﺱ يساوي صفرًا، فإن ﺹ يساوي سالب صفر ناقص واحد تكعيب ناقص أربعة؛ وهو ما يساوي سالب أربعة أيضًا كما توقعنا. إذن، يمكننا الاطمئنان، ببعض التيقن، من أن لدينا المعادلة الصحيحة لهذا المنحنى. إذن رس يساوي سالب ﺱ ناقص واحد تكعيب ناقص خمسة، وهذا يعني أنه يمكننا الآن إيجاد مقدار يعبر عن ﺩس.

وبالتعويض عن رس بهذا المقدار في المعادلة لـ ﺩس، يصبح لدينا: ﺩس يساوي سالب سالب ﺱ ناقص واحد تكعيب ناقص خمسة ناقص ثلاثة. ثم نوزع الأقواس لنحصل على: ﺱ ناقص واحد تكعيب زائد خمسة ناقص ثلاثة؛ وهو ما يساوي ﺱ ناقص واحد تكعيب زائد اثنين. ويمكننا الآن النظر إلى الخيارات مع ملاحظة أن هذا يتوافق مع الخيار (ج)؛ وهو: ﺩس يساوي ﺱ ناقص واحد تكعيب زائد اثنين.

الآن، نكون قد أوضحنا عدة أمثلة عن كيفية تطبيق سلسلة من التحويلات الهندسية. لقد استخدمنا التمثيلات البيانية والمقادير الجبرية. كما تعرفنا على كيفية عكس هذه العمليات.

هيا نلخص النقاط الرئيسية. يتم اتباع الترتيب الذي نطبق فيه تركيبًا من التحويلات. نجد أولًا الانتقالات الأفقية، ثم نجري أي تمددات قبل إجراء الانعكاسات، وأخيرًا نحدد الانتقالات الرأسية. وعلى الرغم من أن هذا الترتيب مهم لأن تطبيق هذه الخطوات بترتيب مختلف قد ينتج عنه تمثيل بياني نهائي مختلف، أحيانًا قد تؤدي تركيبات وترتيبات مختلفة من التحويلات إلى نفس التأثير على التمثيل البياني للدالة.