فيديو السؤال: إيجاد احتمال متغير عشوائي متصل باستخدام التمثيل البياني لدالة كثافة الاحتمال الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

افترض أن ﺱ متغير عشوائي متصل له دالة كثافة الاحتمال ﺩ ﺱ، الموضحة بالتمثيل البياني. أوجد احتمال وقوع ﺱ بين نصف وبين اثنين.

في هذا المثال، نريد إيجاد احتمال وقوع حدث لمتغير عشوائي متصل ﺱ؛ حيث إن الحدث هو وقوع ﺱ بين نصف وبين اثنين. لفعل ذلك، نتذكر أن احتمال وقوع حدث لمتغير عشوائي متصل، يعطى بالمساحة أسفل التمثيل البياني لدالة كثافة الاحتمال على الفترة المطلوبة. يمكننا ملاحظة ذلك على التمثيل البياني بتظليل المنطقة الواقعة أسفل التمثيل البياني بين ﺱ يساوي نصفًا وﺱ يساوي اثنين. نلاحظ أن المساحة التي نحتاجها هي مساحة شبه منحرف؛ حيث تعطى مساحة شبه المنحرف بالصيغة: واحد على اثنين مضروبًا في ﺽ واحد زائد ﺽ اثنين مضروبًا في ﻉ؛ حيث ﺽ واحد وﺽ اثنان طولا الضلعين المتوازيين، وﻉ ارتفاع شبه المنحرف.

في هذه الحالة، نلاحظ أن طول ﺽ واحد يساوي ثلثًا، والارتفاع ﻉ يساوي اثنين ناقص نصف، وهو ما يساوي ١٫٥؛ هذا ما يمكن كتابته على صورة الكسر ثلاثة على اثنين. من ثم، لإيجاد مساحة شبه المنحرف، علينا إيجاد طول ﺽ اثنين. إذ إن هذا هو الإحداثي ﺹ للنقطة على التمثيل البياني عند ﺱ يساوي نصفًا. نلاحظ أن هذه النقطة تقع على خط مستقيم بين النقطتين اللتين إحداثياتهما صفر، صفر واثنان، ثلث. بما أن نصفًا هو بالضبط ربع المسافة بين ﺱ يساوي صفرًا وﺱ يساوي اثنين، فإن الإحداثي ﺹ عند ﺱ يساوي نصفًا، يجب أن يقع على بعد ربع المسافة بين ﺹ يساوي صفرًا وﺹ يساوي ثلثًا. هذا يعني أن ﺹ يساوي واحدًا على أربعة مضروبًا في واحد على ثلاثة ناقص صفر، وهو ما يساوي واحدًا على ١٢.

تذكر أن هذا هو طول ﺽ اثنين. في شبه المنحرف هذا، نجد إذن أن طول الضلع ﺽ واحد يساوي ثلثًا. كما نجد أن الارتفاع يساوي ١٫٥ أو ثلاثة على اثنين، وأن ﺽ اثنين يساوي واحدًا على ١٢. إذن، مساحة شبه المنحرف، ومن ثم الاحتمال، تساوي واحدًا على اثنين مضروبًا في ثلث زائد واحد على ١٢ مضروبًا في ثلاثة على اثنين. بكتابة مجموع الكسرين الموجودين بين قوسين على مقام مشترك وهو ١٢، نحصل على واحد على اثنين مضروبًا في خمسة على ١٢ مضروبًا في ثلاثة على اثنين. من ثم، المساحة تساوي خمسة على ١٦ وحدة مربعة.

إذن، احتمال وقوع المتغير العشوائي المتصل ﺱ بين نصف وبين اثنين هو خمسة على ١٦.