فيديو: الدوال وحيدات الحد ذات الأسس النسبية

شرح الصورة العامة للدوال الوحيدة الحد ذات الأسس النسبية مع حل مثال، والتمثيل البياني لها مع توضيح خصائصها المختلفة.

٠٩:٢١

‏نسخة الفيديو النصية

الدوال وحيدات الحدّ ذات الأُسُس النسبية.

في الفيديو ده هنتكلّم عن الدوال وحيدة الحدّ، ولكن أُسّها بيكون عدد نسبي. من خلال التمثيل البياني للدوال دي هندرس خصائصها، بس خلّينا الأول نتعرّف على الصورة العامة لهذه الدوال.

الصورة العامة لوحيدات الحدّ ذات الأُسُس النسبية بتكون كالتالي: د س تساوي أ س أُس، ج على ن. حيث ج وَ ن أعداد صحيحة لا تساوي صفر، وَ أ عدد حقيقي لا يساوي صفر. فيه عندنا صورة أخرى للدوال وحيدات الحدّ ذات الأُسُس النسبية، خلّينا نشوفها كده مع بعض.

الصورة الأخرى لوحيدات الحدّ ذات الأُسُس النسبية: د س تساوي أ الجذر النوني لِـ س أُس ج. حيث ج عدد صحيح، وَ ن عدد صحيح موجب، وَ ن عبارة عن دليل الجذر. دليل الجذر اللي عندنا زيّ ما إحنا شايفين كده. وَ أ بيكون عدد حقيقي، وطبعًا أ وَ ن وَ ج لا يساووا صفر.

يبقى سواء كان عندنا الصورة الأولى اللي إحنا شايفينها دي، أو الصورة التانية لوحيدات الحدّ ذات الأُسُس النسبية؛ إحنا نقدر نتعرّف عليها.

لو جينا نتكلّم عن دليل الجذر ده، اللي هو ن، فممكن يكون ن ده زوجي، أو فردي. طبعًا لو كان زوجي يبقى فيه قيود على المجال، ليه؟ لأن مش هينفع تحت الجذر يكون عدد سالب، لازم يكون عدد موجب. وبالتالي لازم ناخد بالنا لو كان دليل الجذر زوجي؛ لازم ما تحت الجذر، يعني س أُس ج كله، يكون موجب. عشان لازم تحت الجذر الزوجي يكون موجب.

يبقى ناخد بالنا إن ممكن يكون فيه قيود على المجال في حالة إن ن يكون زوجي. دلوقتي مع بعض هنفتح صفحة جديدة، ونشوف مثال على دالة وحيدة الحدّ ذات أُس نسبي. ونشوف إزّاي هنقدر نمثّلها تمثيلًا بيانيًّا، ونطلّع خصائصها المختلفة.

المثال بيقول ارسم الدالة التالية، واوجد خصائصها المختلفة: د س تساوي س أُس خمسة على الاتنين.

زيّ ما إحنا شايفين كده هي دالة وحيدة الحدّ، وبنلاحظ إن الأُس نسبي؛ فبنقول: هي دالة وحيدة الحدّ ذات أُس نسبي. زيّ ما اتكلّمنا في الصفحة اللي فاتت قلنا الدوال وحيدات الحدّ ذات الأُس النسبي ليها صورتين، ودي أول صورة. خلّينا نكتب نفس الدالة عَ الصورة الأخرى، ونشوف هتفيدنا إزّاي.

زيّ ما إحنا شايفين كده الصورة الأخرى لهذه الدالة وحيدة الحدّ ذات الأُس النسبي. هنلاقي إن د س تساوي الجذر التربيعي لِـ س أُس خمسة. طيّب هتفيدنا بإيه الصورة الأخرى دي؟

هنلاحظ هنا لمّا كتبنا الصورة الأخرى عرفنا إن دليل الجذر زوجي، وبالتالي ما تحت الجذر لازم يكون موجب. وبالتالي س أُس خمسة لازم يكون موجب. فلازم نختار قيم السينات اللي لمّا نعوّض بيها يكون س أُس خمسة، اللي هو ما تحت الجذر يعني، لازم يكون موجب.

خلّينا نعمل جدول كده نعوّض ببعض قيم السينات اللي متاحة عندنا في المجال، واللي ينفع نعوّض بيها. ونشوف قيم الدالة عند قيم السينات دي؛ عشان نقدر نمثّل الدالة تمثيل بياني.

خلّينا نشوف مع بعض الجدول ده. بدأنا نعوّض عن س بشويّة قيم: صفر، واحد، اتنين، تلاتة، أربعة، خمسة، ستة. بنلاحظ عندنا د س؛ يعني قيمة الدالة عند س تساوي صفر، وعند واحد، وعند اتنين، وهكذا …

بنلاحظ عندنا إن إحنا بدأنا من صفر، وبدأنا نزوّد؛ يعني بنمشي في الاتجاه الموجب، ليه؟ لأن عندنا الجذر زوجي، وبالتالي ما تحت الجذر لازم يكون موجب.

باستخدام الجدول اللي قدّامنا ده خلّينا نمثّل الدالة تمثيلًا بيانيًّا، ونشوف شكلها هيكون إيه.

زيّ ما إحنا شايفين كده باستخدام جدول التعويضات ده هنبدأ نمثّل الدالة تمثيلًا بيانيًّا، فهيكون شكلها زيّ ما إحنا شايفين كده. خلّينا مع بعض واحدة واحدة كده نطلّع خصائص هذه الدالة من التمثيل البياني، وأول حاجة هنبدأ بيها هي: المجال.

لو جينا نشوف المجال من خلال التمثيل البياني اللي قدّامنا ده. فبنلاحظ إن س ممكن تاخد أيّ قيمة موجبة، وممكن تاخد الصفر كمان. فبالتالي بنقول إن المجال: الفترة من صفر إلى ما لا نهاية الموجبة؛ مغلقة عند الصفر، مفتوحة عند المالانهاية. وطبعًا المجال هنا عليه قيود بسبب إن الجذر زوجي، فلازم يكون ما تحت الجذر موجب.

تاني حاجة خلّينا نشوفها، وهي: المدى.

لو جينا نشوف المدى، فبنلاقي إن المدى عندنا … لو جينا نشوف المدى، فهنلاقي عندنا إن الدالة ممكن تاخد أيّ قيمة موجبة، وممكن تاخد الصفر كمان. فبنقول إن المدى عندنا: الفترة من صفر إلى ما لا نهاية الموجبة؛ مغلقة عند الصفر، مفتوحة عند المالانهاية.

خلّينا نشوف الخاصية اللي بعد كده، وهي: نقاط التقاطع مع المحاور.

لو جينا نشوف نقاط التقاطع مع المحاور، فهي نقطة الأصل أو النقطة: صفر، وصفر؛ زيّ ما إحنا شايفين كده. يبقى الدالة بتاعتنا بتقطع محور السينات، ومحور الصادات؛ في نقطة الأصل أو النقطة: صفر، وصفر.

خلّينا نشوف الخاصية اللي بعد كده، وهي: خاصية الاتصال.

لو جينا ندرس اتصال الدالة اللي قدّامنا، فبنلاحظ إن الدالة متصلة زيّ ما إحنا شايفين كده. فبنكتب: الدالة متصلة خلال الفترة من صفر إلى ما لا نهاية الموجبة؛ مغلقة عند الصفر، مفتوحة عند المالانهاية.

خلّينا ندرس بعد كده تزايد وتناقص الدالة.

لو جينا نشوف بنلاقي إن الدالة اللي قدّامنا تزايدية؛ يعني بتزيد. فبنكتب كده: تزايدية خلال الفترة من صفر إلى ما لا نهاية الموجبة؛ مغلقة عند الصفر، مفتوحة عند المالانهاية.

آخِر خاصية هنتكلّم عنها، هي: سلوك طرفَي الدالة. خلّينا نشوف كده مع بعض.

لو جينا ندرس سلوك طرفَي الدالة من خلال التمثيل البياني اللي قدّامنا. بنلاحظ إن كل ما قيمة س بتزيد، بنلاقي إن قيمة الدالة بتزيد. فبنكتب: سلوك طرفَي الدالة، نهاية د س لمّا س بتئول إلى ما لا نهاية، يساوي ما لا نهاية.

وبكده يبقى إحنا قدِرنا نرسم الدالة، ونوجد خصائصها المختلفة.

يبقى إحنا في الفيديو ده مع بعض اتكلّمنا عن الدوال وحيدات الحدّ ذات الأُسُس النسبية. وشُفنا الصورتين اللي ممكن تتكتب عليهم الدوال دي؛ زيّ ما إحنا شايفين كده في المثال اللي قدّامنا. لو شُفنا مثال على أول صورة: د س تساوي س أُس خمسة على الاتنين. لو شُفنا مثال على تاني صورة لنفس الدالة: د س تساوي الجذر التربيعي لِـ س أُس خمسة.

واتكلّمنا برضو عن ملاحظة مهمة؛ وهي إننا لازم نشوف دليل الجذر عندنا إذا كان زوجي، ولّا فردي. لو كان زوجي، فبالتالي ما تحت الجذر لازم يكون موجب، وبالتالي ممكن يبقى فيه قيود على المجال عندنا.

يعني لو شُفنا ما تحت الجذر في المثال ده، كان س أُس خمسة. وبالتالي لو عوّضنا عن س بقيمة سالبة، ما تحت الجذر كله هيكون سالب. إنما مثلًا لو كانت س أُس ستة، فبالتالي مش هيكون فيه قيود عَ المجال. لأن س أُس ستة هتختصر أيّ سالب، ومش هيكون فيه تحت الجذر سالب.

إنما زيّ ما إحنا شايفين س أُس خمسة، لو س بالسالب هيكون ما تحت الجذر بالسالب. وبالتالي كان فيه قيود عندنا عَ المجال، والمجال أصبح: الفترة من صفر إلى ما لا نهاية الموجبة؛ مغلقة عند الصفر، مفتوحة عند المالانهاية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.