فيديو السؤال: إيجاد قياس الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين في فضاء ثلاثي الأبعاد بمعلومية إحداثيات أربع نقاط تقع عليهما الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

الخط المستقيم ﻝ واحد يمر بالنقطتين ﺃ سالب اثنين، اثنين، سالب ثلاثة وﺏ سالب ستة، سالب أربعة، سالب خمسة؛ والخط المستقيم ﻝ اثنان يمر بالنقطتين ﺟ واحد، أربعة، واحد وﺩ سالب تسعة، سالب ستة، سالب تسعة. أوجد قياس الزاوية المحصورة بين المستقيمين لأقرب منزلتين عشريتين إذا لزم الأمر.

لإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين متجهين، نستخدم ما يسمى بحاصل الضرب القياسي. بالنسبة إلى المتجهين ﻡ وﻥ، نعلم أن جتا 𝜃 يساوي الضرب القياسي لـ ﻡ وﻥ على حاصل ضرب معياري ﻡ وﻥ. إذن، علينا إيجاد طريقة لتمثيل ﺃﺏ وﺟﺩ على الصورة المتجهة. حسنًا، يمكن إيجاد المتجه ﺃﺏ بطرح المتجه ﻭﺃ من المتجه ﻭﺏ. وهو المتجه الذي يوضح الحركة من نقطة الأصل إلى النقطة ﺃ أو ﺏ.

لا يهم كيف نمثل هذين المتجهين، لكنني أفضل استخدام متجهات الأعمدة، لذا سأمثل ﻭﺏ على الصورة سالب ستة، سالب أربعة، سالب خمسة. وبالطبع، يمكنك استخدام ﺱ، ﺹ، ﻉ بدلًا من ذلك. سنطرح ﻭﺃ، أي سالب اثنين، اثنين، سالب ثلاثة. سالب ستة ناقص سالب اثنين يساوي سالب ستة زائد اثنين، وهو ما يساوي سالب أربعة. سالب أربعة ناقص اثنين يساوي سالب ستة. وسالب خمسة ناقص سالب ثلاثة يساوي سالب اثنين.

بعد أن أوجدنا المتجه ﺃﺏ، دعونا نوجد المتجه ﺟﺩ. وهو يساوي ﻭﺩ ناقص ﻭﺟ. المتجه ﻭﺩ هو المتجه الذي يوضح الحركة من نقطة الأصل صفر، صفر، صفر إلى ﺩ. وهو ما يساوي سالب تسعة، سالب ستة، سالب تسعة. نطرح ﻭﺟ، وهو واحد، أربعة، واحد. سالب تسعة ناقص واحد يساوي سالب ١٠. وسالب ستة ناقص أربعة يساوي سالب ١٠. والعنصر الثالث هو سالب ١٠ أيضًا. وبذلك، نكون قد أوجدنا المتجه ﺃﺏ والمتجه ﺟﺩ. ولاستخدام حاصل الضرب القياسي، علينا إيجاد الضرب القياسي ومعيار كل متجه على حدة.

لنبدأ بحساب الضرب القياسي. إنه مجموع حاصل ضرب كل عنصرين متناظرين على حدة. إذن، فهو مجموع سالب أربعة في سالب ١٠، وسالب ستة في سالب ١٠، وسالب اثنين في سالب ١٠، وهو ما يساوي ١٢٠. بعد ذلك، دعونا نوجد معيار كل متجه.

نتذكر أن معيار المتجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات جميع مركباته. إذن، معيار ﺃﺏ يساوي الجذر التربيعي لسالب أربعة تربيع زائد سالب ستة تربيع زائد سالب اثنين تربيع، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ٥٦. ومعيار ﺟﺩ يساوي الجذر التربيعي لسالب ١٠ تربيع زائد سالب ١٠ تربيع زائد سالب ١٠ تربيع، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ٣٠٠. وبالطبع، يمكننا تبسيط هاتين القيمتين، لكننا لسنا بحاجة لهذا، حيث سنكتب كل ذلك على الآلة الحاسبة بعد قليل.

نعوض بما لدينا من قيم في صيغة حاصل الضرب القياسي. فنجد أن جتا 𝜃 يساوي ١٢٠ على الجذر التربيعي لـ ٥٦ في الجذر التربيعي لـ ٣٠٠. ولإيجاد قيمة 𝜃، سنحسب الدالة العكسية لجيب التمام لكلا الطرفين. الدالة العكسية لجيب التمام لـ ١٢٠ على الجذر التربيعي لـ ٥٦ في الجذر التربيعي لـ ٣٠٠ تساوي ٢٢٫٢٠٧٦، وهكذا مع توالي الأرقام، وهو ما يساوي ٢٢٫٢١ درجة لأقرب منزلتين عشريتين. إذن، قياس الزاوية المحصورة بين المستقيمين ﻝ واحد وﻝ اثنين اللذين يمكن تمثيلهما على صورة المتجهين ﺃﺏ وﺟﺩ، يساوي ٢٢٫٢١ درجة.