نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب مساحة سطح كرة باستخدام نصف قطرها أو قطرها. سنشرح أولًا الصيغة المستخدمة للقيام بذلك، ثم نعرف كيف يمكننا تطبيق ذلك من خلال بعض الأمثلة. سنعرف أيضًا كيف يمكننا العمل بطريقة عكسية، أي كيف يمكننا إيجاد نصف قطر الكرة أو قطرها بمعلومية مساحة سطحها، وهو ما يتطلب بعض المهارة في حل المعادلات.
في البداية، نتذكر أن الكرة شكل ثلاثي الأبعاد. يتحدد حجم الكرة بالكامل من خلال قياس واحد، هو نصف قطرها، أي المسافة من مركزها إلى أي نقطة على سطحها. الصيغة التي نحتاجها لحساب مساحة سطح أي كرة هي أربعة 𝜋نق تربيع. علينا أن نتذكر أنه يجرى تربيع نصف القطر فقط، وليس العامل أربعة أو العامل 𝜋. تذكر أن صيغة إيجاد مساحة الدائرة في بعدين هي 𝜋نق تربيع. إذن وجه الاختلاف الوحيد في صيغة حساب مساحة سطح الكرة هو وجود عامل إضافي يساوي أربعة.
في بعض الحالات، قد يكون لدينا قطر الكرة، وليس نصف قطرها. قطر الكرة هو المسافة بين أي نقطتين متقابلتين على سطح الكرة ويمر بمركز الكرة. في هذه الحالة، يجب أن نتأكد من أننا نحسب نصف قطر الكرة قبل محاولة إيجاد مساحة سطحها، وهو ما يمكننا فعله بتذكر أن القطر يساوي ضعف نصف القطر، أو أن نصف القطر يساوي نصف طول القطر. والآن بعد أن حددنا الصيغ الأساسية التي نحتاج إليها، هيا نتناول بعض الأمثلة.
أوجد مساحة سطح الكرة الموضحة لأقرب جزء من عشرة.
أولًا، نتذكر الصيغة التي نحتاجها لإيجاد مساحة سطح الكرة. إنها أربعة 𝜋نق تربيع؛ حيث يمثل نق نصف قطر الكرة. نصف القطر هو المسافة بين مركز الكرة وأي نقطة على سطحها. نلاحظ من الشكل أن نصف قطر هذه الكرة يساوي ستة سنتيمترات. إذن يمكننا التعويض بقيمة نق هذه في الصيغة مباشرة، فنحصل على أربعة 𝜋 مضروبًا في ستة تربيع. لا بد أن نتذكر أن علينا تربيع نصف القطر فقط. يمكننا الآن التبسيط وكتابة ستة تربيع يساوي ٣٦، وأربعة مضروبًا في ٣٦ يساوي ١٤٤. إذن القيمة الدقيقة لمساحة سطح هذه الكرة هي ١٤٤𝜋.
لكن السؤال يطلب منا تقريب هذه الإجابة لأقرب جزء من عشرة. إذن يمكننا استخدام الآلة الحاسبة لنحسب هذه القيمة في صورة عدد عشري. هذا يعطينا ٤٥٢٫٣٨٩٣. إذا قربنا لأقرب جزء من عشرة، فسيكون الرقم المحدد هو ثمانية في خانة الأجزاء من مائة، وهو ما يعني أن علينا التقريب لأعلى. إذن نحصل على القيمة ٤٥٢٫٤. وبما أن وحدة قياس نصف القطر هي السنتيمتر، فإن وحدة مساحة سطح الكرة ستكون السنتيمتر المربع. وبهذا نكون قد توصلنا إلى حل المسألة. مساحة سطح الكرة لأقرب جزء من عشرة هي ٤٥٢٫٤ سنتيمترًا مربعًا.
في هذا السؤال، عرفنا كيفية إيجاد مساحة سطح كرة بمعلومية نصف قطرها. في المثال الآتي، سنعرف كيف نحسب مساحة سطح كرة عندما يكون القياس المعطى لنا قطرها.
أوجد مساحة سطح الكرة التي قطرها ١٢٫٦ سنتيمترًا. استخدم 𝜋 يساوي ٢٢ على سبعة.
الصيغة التي نحتاجها لحساب مساحة سطح الكرة هي أربعة 𝜋نق تربيع، حيث نق نصف قطر الكرة. لكن في هذا السؤال، ليس لدينا نصف القطر، بل لدينا طول قطر الكرة. لكن ذلك لا يمثل مشكلة كبيرة؛ لأننا نعرف العلاقة بين نصف قطر الكرة وقطرها. نصف القطر يساوي نصف طول القطر. إذن إذا كان القطر ١٢٫٦ سنتيمترًا، فإن نصف القطر يساوي نصف هذه القيمة. وهذا يساوي ٦٫٣ سنتيمترات. لذا يمكننا التعويض بهذه القيمة عن نصف القطر مباشرة في صيغة مساحة السطح، فنحصل على أربعة 𝜋 مضروبًا في ٦٫٣ تربيع. تذكر أن ما نجري تربيعه هو نصف القطر فقط.
مطلوب منا في السؤال استخدام القيمة ٢٢ على سبعة باعتبارها قيمة تقريبية لـ 𝜋. هذا يعني أنه غير مسموح لنا باستخدام الآلة الحاسبة في هذا السؤال. إذن مساحة السطح تساوي أربعة في ٢٢ على سبعة مضروبًا في ٦٫٣ تربيع. لنر كيف يمكننا حساب ذلك دون استخدام الآلة الحاسبة. أولًا، يمكننا كتابة ٦٫٣ تربيع على الصورة ٦٫٣ مضروبًا في ٦٫٣. علينا أن نلاحظ أن سبعة أحد عوامل ٦٣. إذن يمكننا قسمة ٦٫٣ على سبعة بسهولة نسبيًّا. باستخدام طريقة القسمة المختصرة أو القسمة القصيرة، نجد أنه لا يمكن قسمة العدد ستة على سبعة لأنه أصغر منه، لذا نضع الصفر ونحتفظ بالستة. العدد سبعة مكرر تسع مرات في العدد ٦٣. إذن ٦٫٣ على سبعة يساوي ٠٫٩. وعليه، تصبح العملية الحسابية أربعة في ٢٢ في ٠٫٩ في ٦٫٣.
يمكننا ضرب كل عددين على حدة. أولًا، أربعة في ٢٢ يساوي ٨٨. لحساب ٠٫٩ في ٦٫٣، يمكننا أولًا حساب ٦٣ في تسعة، وهو ما يساوي ٥٦٧، ثم نتذكر أنه علينا القسمة على ١٠ مرتين لإيجاد قيمة العملية الحسابية العشرية. إذن بقسمة ٥٦٧ على ١٠٠، نحصل على ٥٫٦٧. وهذا منطقي أيضًا من الناحية التقديرية. نحن نضرب ٦٫٣ في عدد أقل قليلًا من واحد، لذا فإن الإجابة التي نحصل عليها لا بد أن تكون أقل بقليل من ٦٫٣، ومن ثم فإن الناتج ٥٫٦٧ منطقي.
وأخيرًا، يمكننا أن نحسب حاصل ضرب ٥٫٦٧ في ٨٨ بحساب ٥٦٧ في ٨٨ أولًا، وهو ما يساوي ٤٩٨٩٦، ثم نقسم هذه القيمة على ١٠٠، وهو ما يعطينا ٤٩٨٫٩٦. وبما أن وحدة قياس القطر هي السنتيمتر، فإن وحدة مساحة السطح ستكون سنتيمترًا مربعًا. وبهذا نكون قد توصلنا إلى حل المسألة. باستخدام العدد ٢٢ على سبعة باعتباره قيمة تقريبية لـ 𝜋، نجد أن مساحة سطح الكرة التي طول قطرها ١٢٫٦ سنتيمترًا تساوي ٤٩٨٫٩٦ سنتيمتر مربع. تذكر أن الفكرة الرئيسية في هذا السؤال هي أنه كان علينا حساب نصف قطر الكرة أولًا قبل أن نتمكن من حساب مساحة سطحها.
في المثال الآتي، سنعرف كيف يمكننا الحل بطريقة عكسية، أي كيفية إيجاد نصف قطر الكرة أو قطرها بمعلومية مساحة سطحها.
ما قطر الكرة التي مساحة سطحها تساوي ٣٦𝜋 سنتيمتر مربع؟
في هذا السؤال، لدينا مساحة سطح كرة ومطلوب منا استخدامها لإيجاد قطرها. نتذكر أن الصيغة العامة لإيجاد مساحة سطح الكرة هي أربعة 𝜋نق تربيع. إذن بمساواة صيغة مساحة سطح الكرة بالقيمة المعطاة، يمكننا تكوين معادلة تمكننا من إيجاد نصف قطر الكرة أولًا. لدينا المعادلة أربعة 𝜋نق تربيع يساوي ٣٦𝜋. يمكننا الآن حل هذه المعادلة. أولًا، يمكننا حذف العامل المشترك 𝜋 في كل طرف. يمكننا بعد ذلك قسمة كل من طرفي المعادلة على أربعة لنحصل على نق تربيع في الطرف الأيمن وتسعة في الطرف الأيسر. إذن لدينا الآن المعادلة: نق تربيع يساوي تسعة.
نحل هذه المعادلة بإيجاد الجذر التربيعي للطرفين. وسنأخذ القيمة الموجبة فقط هنا، لأن نق يشير إلى كمية فيزيائية هي طول نصف قطر الكرة. تسعة عدد مربع، وجذره التربيعي ثلاثة. وبهذا نكون توصلنا إلى أن نصف قطر الكرة يساوي ثلاثة سنتيمترات. لكن علينا الانتباه إلى أن السؤال لا يطلب منا إيجاد نصف القطر. إنه يطلب إيجاد القطر. لكن هذه ليست مشكلة؛ لأننا نعلم أن قطر الكرة يساوي ضعف نصف قطرها. لذا إذا كان نصف القطر يساوي ثلاثة، فإن القطر يساوي ستة. وبهذا نكون حللنا المسألة، ووجدنا أن قطر الكرة التي مساحة سطحها ٣٦𝜋 سنتيمتر مربع يساوي ستة سنتيمترات.
لنأخذ الآن بعض الوقت لنفكر في نصف الكرة. يمكننا التعديل في صيغة مساحة سطح الكرة للحصول على صيغة لمساحة سطح نصف الكرة. لكننا يجب أن ننتبه لأن نصف الكرة له سطح إضافي. بالإضافة إلى مساحة السطح المنحني أو مساحة السطح الجانبية، التي تساوي نصف مساحة السطح الكلية للكرة، يحتوي نصف الكرة أيضًا على قاعدة دائرية مسطحة تسمى الدائرة الكبرى للكرة. من الناحية النظرية، الدائرة الكبرى للكرة هي تقاطع الكرة مع مستوى يمر بمركزها. لكن يمكننا اعتبارها دائرة تقسم الكرة إلى نصفين متطابقين.
مساحة السطح المنحني أو مساحة السطح الجانبية لنصف الكرة تساوي نصف مساحة سطح الكرة بالكامل. وهذا يساوي نصف أربعة 𝜋نق تربيع، أي اثنين 𝜋نق تربيع. ومساحة القاعدة الدائرية تساوي 𝜋نق تربيع. بوجه عام، مساحة السطح الكلية لنصف الكرة تساوي ثلاثة 𝜋نق تربيع. لكن علينا الانتباه عند حل الأسئلة والتأكد إذا ما كان المطلوب منا هو إيجاد مساحة السطح الكلية أم مساحة السطح الجانبية.
أوجد مساحة السطح المنحني لنصف كرة، لأقرب جزء من عشرة، علمًا بأن مساحة الدائرة الكبرى ٤٤١𝜋 ملليمتر مربع.
لنبدأ برسم نصف الكرة. تذكر أن الدائرة الكبرى للكرة هي الدائرة التي تقسم الكرة إلى نصفين متطابقين. ومن ثم فهي قاعدة دائرية مسطحة لنصف الكرة. إنها هذا الوجه الموضح هنا. نعلم أن مساحة هذه الدائرة الكبرى تساوي ٤٤١𝜋 ملليمتر مربع. ونعلم أيضًا أن الصيغة العامة لحساب مساحة الدائرة هي 𝜋نق تربيع. إذن يمكننا استخدام هاتين المعلومتين لتكوين معادلة. 𝜋نق تربيع يساوي ٤٤١𝜋. يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد نصف قطر نصف الكرة. أولًا، يمكننا القسمة على 𝜋 لنحصل على نق تربيع يساوي ٤٤١. بعد ذلك نأخذ الجذر التربيعي لكل من طرفي المعادلة. وبما أن ٤٤١ عدد مربع، فإن جذره التربيعي يساوي ٢١. إذن نصف قطر نصف الكرة هذا هو ٢١.
نتذكر أن مساحة السطح المنحني لنصف الكرة تساوي نصف مساحة سطح الكرة بالكامل. إنها تساوي اثنين 𝜋نق تربيع. لذا يمكننا التعويض بقيمة نصف القطر في هذه الصيغة. وهذا يعطينا اثنين 𝜋 في ٢١ تربيع. نعرف من الخطوات السابقة أن نق تربيع أو ٢١ تربيع يساوي ٤٤١. إذن لدينا اثنان 𝜋 في ٤٤١، وهو ما يساوي ٨٨٢𝜋. يطلب منا السؤال تقريب هذه القيمة لأقرب جزء من عشرة. إذن يمكننا إيجاد قيمة ٨٨٢𝜋 على الآلة الحاسبة، فنحصل بذلك على ٢٧٧٠٫٨٨٤. الرقم المحدد في هذه الحالة هو ثمانية في خانة الأجزاء من مائة. إذن نقرب لأعلى، فنحصل على ٢٧٧٠٫٩، ووحدة القياس هي الملليمتر المربع.
ربما لاحظت أننا في الواقع لم نكن بحاجة إلى حساب نصف قطر نصف الكرة على الإطلاق. إذا كانت مساحة الدائرة الكبرى 𝜋نق تربيع وكانت مساحة السطح المنحني لنصف الكرة تساوي اثنين 𝜋نق تربيع، فكان يمكننا ببساطة مضاعفة المساحة المعطاة للدائرة الكبرى. هذا يعطينا اثنين في ٤٤١𝜋، وهو ما يساوي ٨٨٢𝜋. وبذلك نكون قد توصلنا إلى نفس العملية الحسابية التي توصلنا إليها في الطريقة السابقة. الطريقتان جيدتان وتعطيان الناتج نفسه وهو ٢٧٧٠٫٩ ملليمتر مربع.
لنتناول الآن مثالًا أخيرًا يتضمن مسألة كلامية.
يمكن تمثيل نافورة مياه على صورة نصف كرة وقاعدتها مصممة على فناء مربع الشكل. إذا كان قطر نصف الكرة يساوي أربعة أقدام وطول ضلع الفناء يساوي ستة أقدام، فما المساحة المرئية للفناء؟ أوجد الإجابة الدقيقة لأقرب منزلتين عشريتين.
لنبدأ برسم هذه النافورة. إنها على شكل نصف كرة، ويبلغ قطر نصف الكرة أربعة أقدام. النافورة مصممة على فناء مربع طول ضلعه يساوي ستة أقدام. المساحة المرئية للفناء هي مساحة الفناء التي لا تغطيها القاعدة الدائرية لنصف الكرة. إذن فهي تساوي مساحة المربع ناقص مساحة الدائرة، وهي في الواقع الدائرة الكبرى لنصف الكرة. نحن نعلم كيفية إيجاد مساحة كل شكل من هذين الشكلين الثنائيي الأبعاد. مساحة المربع تساوي مربع طول الضلع، وهذا يساوي ستة تربيع. ومساحة الدائرة تساوي 𝜋نق تربيع.
علينا أن ننتبه هنا لأن لدينا قطر نصف الكرة، وهو قطر هذه الدائرة. ويساوي أربعة أقدام. إذن نصف القطر يساوي نصف هذه القيمة؛ أي يساوي قدمين. لدينا ستة تربيع ناقص 𝜋 مضروبًا في اثنين تربيع. ويمكن تبسيط ذلك إلى ٣٦ ناقص أربعة 𝜋. يمكننا كتابة الإجابة على هذه الصورة إن أردنا. لكن هذا السؤال طلب منا تقريب الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين. عند حساب هذه القيمة بالآلة الحاسبة، نحصل على ٢٣٫٤٣٣٦٢، ومن ثم فإن التقريب لأقرب منزلتين عشريتين يعطينا ٢٣٫٤٣. بما أن وحدة قياس الطول في هذا السؤال معطاة بالقدم، فإن وحدة المساحة ستكون بالقدم المربعة. وبهذا نكون قد توصلنا إلى حل المسألة. المساحة المرئية للفناء لأقرب منزلتين عشريتين هي ٢٣٫٤٣ قدمًا مربعة.
دعونا الآن نلخص بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. أولًا، يمكن إيجاد مساحة سطح الكرة باستخدام الصيغة أربعة 𝜋نق تربيع؛ حيث نق نصف قطر الكرة. عند حل أي مسألة، يجب أن نتأكد إذا ما كان لدينا نصف قطر الكرة أم قطرها. يمكننا استخدام الصيغة المكافئة أربعة 𝜋 في طول القطر على اثنين تربيع، أو ببساطة قسمة نصف القطر على اثنين لإيجاد نصف القطر قبل التعويض في الصيغة.
علمنا أيضًا أنه يمكننا الحل بطريقة عكسية، أي كيفية إيجاد نصف قطر الكرة أو قطرها بمعلومية مساحة سطحها من خلال تكوين معادلة وحلها. عرفنا بعد ذلك أن الدائرة الكبرى للكرة، التي تمثل تقاطع الكرة مع أي مستوى يمر بمركزها، تقسم الكرة إلى نصفي كرة. تحتوي الكرة على عدد لا نهائي من الدوائر الكبرى، بناء على زاوية المستوى الذي نرسمه. وأخيرًا، بالنسبة إلى نصف الكرة، عرفنا أن المساحة الجانبية أو مساحة السطح المنحني تساوي اثنين 𝜋نق تربيع ومساحة السطح الكلية، التي تتضمن قاعدتها الدائرية، تساوي ثلاثة 𝜋نق تربيع.
