فيديو الدرس: معادلة الخط المستقيم: الصورة العامة

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد معادلة الخط المستقيم ونكتبها في صورتها العامة. سنرى كيف نفعل ذلك عندما يكون لدينا إحداثيات نقطتين تقعان على الخط المستقيم. وسنرى أيضًا كيف يمكننا فعل ذلك باستخدام التمثيل البياني لخط مستقيم. لا بد أن تكون على دراية بالفعل بكيفية حساب ميل الخط المستقيم إما باستخدام نقطتين وإما باستخدام التمثيل البياني له، وإن كنا سنستعرض ذلك في الأمثلة.

إذن، سنتناول الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم. غالبًا ما تتغير الأحرف التي تستخدمها باختلاف مكانك في العالم. لكن الصورتين الأكثر استخدامًا هما: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ، أو أحيانًا ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ. لقيم ﻡ وﺏ أو ﺟ معان مهمة فيما يتعلق بالتمثيل البياني للخط المستقيم.

أولًا، تشير القيمة ﻡ، وهي معامل ﺱ في هذه المعادلة، إلى ميل الخط المستقيم. فلكل وحدة واحدة يتحركها الخط المستقيم إلى اليمين، سيتحرك الخط المستقيم بمقدار ﻡ من الوحدات لأعلى. إذا كان ﻡ سالبًا، فهذا يعني أن ميل الخط المستقيم سالب. فهو يميل لأسفل من اليسار إلى اليمين.

يوجد العديد من الطرق المختلفة التي يستخدمها الأشخاص عند حساب الميل. الطريقة الأولى هي التغير في ﺹ على التغير في ﺱ. وهو التغير الرأسي على التغير الأفقي بين نقطتين تقعان على الخط المستقيم. وبشكل منهجي، إذا كانت لهاتين النقطتين الإحداثيات ﺱ واحد ﺹ واحد، وﺱ اثنان ﺹ اثنان؛ فيمكن كتابة ذلك على صورة ﺹ اثنان ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. وهذا يمثل الفرق بين قيمتي ﺹ على الفرق بين قيمتي ﺱ.

أو ثمة طريقة أخرى أكثر شيوعًا يفضلها الناس أحيانًا وهي أن يفكروا في قيمة ﻡ على أنها التغير الرأسي على التغير الأفقي. ويكون التغير الرأسي هو التغير في ﺹ، والتغير الأفقي هو التغير في ﺱ. لا يهم في الحقيقة الطريقة التي تفضل استخدامها ما دمت ترتاح لها في حساب ميل الخط المستقيم.

بالرجوع إلى الصيغة العامة، تشير قيمة ﺏ أو ﺟ إلى الجزء الذي يقطعه الخط المستقيم من المحور ﺹ. وتلك هي قيمة ﺹ التي يقطع عندها الخط المستقيم المحور ﺹ. ولهذا السبب، نظرًا لأن قيمتي ﻡ وﺏ أو ﺟ تمثلان الميل والجزء الذي يقطعه الخط المستقيم من المحور ﺹ، فأحيانًا يشار إلى المعادلة المعطاة على هذه الصورة باسم طريقة إيجاد الميل والمقطع.

لإيجاد معادلة الخط المستقيم في هذه الصورة العامة، كل ما علينا هو تحديد قيمتي هذين الثابتين. لنر كيف يمكننا إجراء ذلك في سياق مثال.

أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين ﺩ: خمسة، ١١ وﻫ: ١٠، ٢١.

في هذا السؤال، لدينا إحداثيات نقطتين تقعان على الخط المستقيم. سنوجد معادلة هذا الخط المستقيم في صورته العامة. وهي ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ، أو في بعض الأحيان ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ، حيث يمثل ﻡ ميل الخط المستقيم ويمثل ﺏ الجزء المقطوع من المحور ﺹ.

سنحسب أولًا ميل هذا الخط أو انحداره. ويمكننا حساب ذلك باستخدام الصيغة التي هي عبارة عن التغير في ﺹ على التغير في ﺱ، أو بصيغة رياضية أكثر، ﺹ اثنان ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد، حيث ﺱ واحد ﺹ واحد، وﺱ اثنان ﺹ اثنان؛ تمثل إحداثيات النقطتين الواقعتين على الخط المستقيم. يمكننا أن نفكر في النقطة ﺩ على أنها ﺱ واحد ﺹ واحد، والنقطة ﻫ على أنها ﺱ اثنان ﺹ اثنان، على الرغم من أنه لا يهم في الواقع طريقة كتابة ذلك، طالما أننا سنطرح كلًّا من قيمتي ﺱ وﺹ بالترتيب الصحيح.

إذن بالتعويض بقيم هذين الإحداثيين، يصبح لدينا ٢١ ناقص ١١ لقيمة التغير في ﺹ، و١٠ ناقص خمسة لقيمة التغير في ﺱ. ذلك يعطينا ١٠ على خمسة، وهو ما يساوي اثنين.

من المهم حقًّا أن نتذكر أنه يتعين علينا قسمة التغير في ﺹ على التغير في ﺱ. ثمة خطأ شائع حقًّا وهو أن نعكس القسمة، أي نقسم التغير في ﺱ على التغير في ﺹ. ولكن في هذه الحالة، سنحصل على خمسة على ١٠، وهو ما يساوي نصفًا. وبذلك، فإننا نحصل في الواقع على مقلوب الميل الذي نحتاجه. الخطأ الشائع الآخر هو طرح مجموعة من القيم بالترتيب الخطأ. يجب أن نتأكد من أننا دائمًا نطرح قيم ﺱ وﺹ بالترتيب نفسه. فإذا لم نفعل ذلك، فسنحصل على سالب الميل الذي نريده، والذي سيكون غير صحيح أيضًا.

الآن وقد عرفنا أن ميل الخط المستقيم يساوي اثنين، يمكننا التعويض بقيمة ﻡ هذه في المعادلة. نعلم أن معادلة الخط المستقيم تكون على الصورة ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد ﺏ. لتحديد قيمة ﺏ، نستخدم حقيقة أن كلًّا من هاتين النقطتين، وهما النقطة ﺩ والنقطة ﻫ، تقعان على الخط المستقيم وهو ما يعني أن لدينا زوجين من قيم ﺱ وﺹ التي يجب أن تحقق هذه المعادلة.

لسنا بحاجة إلى استخدام كلتا النقطتين. لنفكر فحسب في النقطة ﺃ، التي تخبرنا أنه عندما يكون ﺱ يساوي خمسة، فإن ﺹ يساوي ١١. يمكننا إذن التعويض بقيمتي ﺱ وﺹ هاتين في المعادلة ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد ﺏ لنتمكن من إيجاد قيمة ﺏ. بإجراء ذلك، نحصل على ١١ يساوي اثنين في خمسة زائد ﺏ. هذه معادلة حلها مباشر نسبيًّا. اثنان مضروبًا في خمسة يساوي ١٠. ثم إذا طرحنا ١٠ من كلا الطرفين، فسنجد أن قيمة ﺏ تساوي واحدًا. إذن يمكننا التعويض بقيمة ﺏ هذه في معادلة الخط المستقيم. وعليه، فإن معادلة هذا الخط المستقيم في صورتها العامة هي: ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد واحد.

والآن، قد استخدمنا إحداثيات النقطة ﺩ هنا. لكن تجدر الإشارة هنا إلى أنه كان بإمكاننا استخدام إحداثيات النقطة ﻫ كذلك، التي تخبرنا أنه عندما يكون ﺱ يساوي ١٠، فإن ﺹ يساوي ٢١. ومن ثم، تكون لدينا معادلة مختلفة لحلها. لكنها تعطي الحل نفسه حيث إن قيمة ﺏ تساوي واحدًا. إذن، معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين المعطاتين هي ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد واحد.

لنتناول الآن مثالًا آخر معطى فيه جدول للقيم.

اكتب معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين الموضحتين في جدول القيم.

هذا الجدول هو طريقة مختلفة فحسب لتمثيل إحداثيات نقطتين تقعان على الخط المستقيم. نعلم أنه عندما يكون ﺱ يساوي ثلاثة، فإن ﺹ يساوي ١٢. إذن لدينا النقطة ثلاثة، ١٢. وعندما يكون ﺱ يساوي سبعة، فإن ﺹ يساوي صفرًا. إذن لدينا النقطة سبعة، صفر أيضًا.

نعلم أن المعادلة العامة للخط المستقيم هي ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ، حيث ﻡ يمثل الميل وﺏ يمثل الجزء المقطوع من المحور ﺹ. لحساب الميل في البداية، يمكننا استخدام الصيغة التي هي عبارة عن التغير في ﺹ على التغير في ﺱ. بطرح إحداثيات النقطة الأولى من إحداثيات النقطة الثانية، يصبح لدينا صفر ناقص ١٢ لقيمة التغير في ﺹ، وسبعة ناقص ثلاثة لقيمة التغير في ﺱ.

تذكر أن علينا التأكد من طرح الإحداثيات بالترتيب نفسه. فنحن ببساطة لا نطرح العدد الأصغر من العدد الأكبر. هذا يعطينا سالب ١٢ على أربعة، الذي يبسط إلى سالب ثلاثة. إذن، معادلة الخط المستقيم هي ﺹ يساوي سالب ثلاثة ﺱ زائد ﺏ، وعلينا إيجاد قيمة ﺏ. للقيام بذلك، يمكننا استخدام إحداثيات أي نقطة من النقطتين حيث إن كلتيهما تقعان على الخط المستقيم.

لنستخدم النقطة سبعة، صفر. سنعوض عن ﺱ بسبعة وعن ﺹ بصفر، ومن ثم نحصل على المعادلة صفر يساوي سالب ثلاثة في سبعة زائد ﺏ. ويبسط ذلك إلى صفر يساوي سالب ٢١ زائد ﺏ. وبإضافة ٢١ إلى كلا الطرفين، نجد أن ﺏ يساوي ٢١. يمكننا بعد ذلك التعويض بقيمة ﺏ هذه في معادلة الخط المستقيم، وها قد حصلنا على الإجابة. ‏ﺹ يساوي سالب ثلاثة ﺱ زائد ٢١.

أحيانًا إذا كانت قيمة الميل ﻡ أو الجزء المقطوع من المحور ﺹ الذي يمثله ﺏ على صورة كسر، فقد يكون من الأفضل كتابة الإجابة على صورة مكافئة لا تتضمن كسورًا. على سبيل المثال، افترض أننا أوجدنا معادلة الخط المستقيم، وكانت عبارة عن ﺹ يساوي نصف ﺱ ناقص أربعة. للتخلص من الكسر الذي قيمته نصف، يمكننا ضرب المعادلة بالكامل في المقام الذي قيمته اثنان. لكن إذا فعلنا ذلك، فعلينا أن نتذكر أن نضرب كل حد في المعادلة على حدة في اثنين.

إذن في الطرف الأيمن، يصبح لدينا اثنان ﺹ. وفي الطرف الأيسر، يصبح لدينا ﺱ ناقص ثمانية. من الأخطاء الشائعة حقًّا أن ننسى ضرب الحد الثابت في اثنين. إذن، معادلة هذا الخط المستقيم الآن مكافئة للمعادلة: ﺹ يساوي نصف ﺱ ناقص أربعة، لكنها لا تتضمن أي كسور.

والآن، الأشيع في هذه الحالة أن نكتب الإجابة على الصورة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا، ما يعني أننا فقط سنجمع جميع الحدود في الطرف نفسه من المعادلة. ولدينا صفر في الطرف الآخر. يمكننا فعل ذلك بطرح اثنين ﺹ من طرفي المعادلة لنحصل على المعادلة: ﺱ ناقص اثنين ﺹ ناقص ثمانية يساوي صفرًا. أو على نحو مكافئ، يمكننا طرح ﺱ وإضافة ثمانية إلى كلا الطرفين لنحصل على المعادلة: سالب ﺱ زائد اثنين ﺹ زائد ثمانية يساوي صفرًا، وهي بالضبط سالب المعادلة التي كتبناها.

ثمة صورة أخرى شائعة الاستخدام، وهي تجميع حدي ﺱ وﺹ في أحد طرفي المعادلة والحد الثابت في الطرف الآخر. ومثال على ذلك المعادلة: سالب ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي سالب ثمانية. كل هذه المعادلات هي ببساطة إعادة ترتيب للمعادلة الأصلية، ومن ثم فجميعها متكافئة. كل ما علينا فعله هو التأكد من أننا قرأنا الأسئلة المعطاة جيدًا ومن ثم نكتب الإجابة على الصورة المطلوبة. لنلق نظرة على مثال لذلك.

أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين ﺩ: سالب ١٠، اثنين؛ وﻫ: صفر، خمسة؛ واكتب إجابتك في الصورة ﺃﺹ زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا.

مطلوب منا الآن إيجاد معادلة هذا الخط المستقيم في صورة محددة، بحيث تكون جميع الحدود في الطرف نفسه من المعادلة. لكننا سنبدأ باستخدام الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم. وهي ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ، حيث ﻡ هو ميل الخط المستقيم وﺏ هو الجزء المقطوع من المحور ﺹ.

والآن، من المهم أن تدرك هنا أن قيمة ﺏ هذه ليست بالضرورة هي نفسها في المعادلة العامة وفي الصورة المطلوبة. نعلم أن الخط المستقيم يمر بالنقطة التي إحداثياتها صفر، خمسة. إذن النقطة التي يقطع عندها الخط المستقيم المحور ﺹ هي صفر، خمسة. ويمكننا مباشرة أن نعرف أن القيمة ﺏ في الصورة العامة هي خمسة.

لإيجاد قيمة ﻡ، يمكننا استخدام الصيغة التي هي عبارة عن التغير في ﺹ على التغير في ﺱ. بطرح إحداثيات النقطة ﺩ من إحداثيات النقطة ﻫ هذه، نحصل على خمسة ناقص اثنين مقسومًا على صفر ناقص سالب ١٠. علينا أن ننتبه جيدًا هنا لأننا نطرح قيمة سالبة. من الأخطاء الشائعة أن يكون لدينا فقط صفر ناقص ١٠ في المقام. لكن ذلك في الواقع لن يكون طرحًا للإحداثي ﺱ لـ ﺩ من الإحداثي ﺱ لـ ﻫ.

بالتبسيط، يصبح لدينا ثلاثة في البسط. ولدينا في المقام، صفر ناقص سالب ١٠ يساوي صفرًا زائد ١٠، وهو ما يساوي ١٠. إذن، ميل الخط المستقيم يساوي ثلاثة أعشار. بالتعويض بقيمتي ﻡ وﺏ في معادلة الخط المستقيم، يصبح لدينا ﺹ يساوي ثلاثة أعشار ﺱ زائد خمسة.

الآن، هذه المعادلة ليست في الصورة المطلوبة لأن المطلوب هو تجميع جميع الحدود في الطرف نفسه من المعادلة. وعلى الرغم من أن السؤال لم يذكر ذلك صراحة، فإن قيم ﺃ وﺏ وﺟ التي نستخدمها يجب أن تكون أعدادًا صحيحة. لدينا كسر قيمته ثلاثة أعشار. لكن يمكننا التخلص منه بضرب كلا الطرفين في المقام الذي قيمته ١٠. عندما نقوم بذلك ونتذكر أن علينا ضرب كل حد في المعادلة، بما في ذلك الحد الثابت، في ١٠، نحصل على ١٠ على ﺹ يساوي ثلاثة ﺱ زائد ٥٠. بتجميع جميع الحدود في الطرف الأيمن بطرح ثلاثة ﺱ وطرح ٥٠، نحصل على المعادلة ١٠ على ﺹ ناقص ثلاثة ﺱ ناقص ٥٠ يساوي صفرًا، وهي في الصورة المطلوبة.

أو بدلًا من ذلك، كان يمكننا تجميع الحدود في الطرف الآخر من المعادلة، وهو ما كان سيعطينا الصورة المكافئة سالب ١٠ على ﺹ زائد ثلاثة ﺱ زائد ٥٠ يساوي صفرًا، وهي بالضبط سالب المعادلة التي حصلنا عليها.

في هذا المثال، رأينا كيف نعبر عن معادلة الخط المستقيم في صورة بديلة لكنها مكافئة. وفي المثال التالي، سنرى كيف يمكننا استخدام ما نعرفه عن النقطتين اللتين يقطع فيهما الخط المستقيم المحورين ﺱ وﺹ لتحديد معادلته.

ما معادلة الخط المستقيم الذي يقطع المحور ﺱ في سالب ثلاثة ويقطع المحور ﺹ في أربعة؟

لنبدأ بوضع رسم توضيحي لهذا الخط المستقيم. نعلم أنه يقطع المحور ﺱ في سالب ثلاثة ويقطع المحور ﺹ في أربعة. إذن، يبدو الخط المستقيم بهذا الشكل تقريبًا. يمكننا ملاحظة أن هذا الخط له ميل موجب. ولذا، يمكننا استخدام هذه الحقيقة للتحقق من الإجابة.

أولًا، نفكر في معادلة هذا الخط المستقيم في صورته العامة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ. والآن، يمكننا في الواقع إيجاد قيمة ﺏ مباشرة لأن الجزء المقطوع من المحور ﺹ معطى صراحة في السؤال. قيمة ﺏ هي أربعة. ومن ثم، تصبح المعادلة على الصورة: ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد أربعة. ولحساب الميل ﻡ، يمكننا استخدام التغير في ﺹ على التغير في ﺱ، أو الصيغة الدارجة أكثر، التغير الرأسي على التغير الأفقي.

من الرسم التوضيحي، نلاحظ أن التغير الرأسي أو التغير في ﺹ يبدأ من صفر، الذي سيمثل قيمة ﺹ على امتداد المحور ﺱ، إلى أربعة. هذا تغير مقداره أربع وحدات. والتغير الأفقي من سالب ثلاثة إلى صفر. هذا تغير مقداره ثلاث وحدات. وهذا يعطينا ميلًا قيمته أربعة على ثلاثة. هذه القيمة موجبة. ومن ثم، فهذا يتفق بالفعل مع الرسم التوضيحي المبدئي.

بالتعويض عن قيمتي ﻡ وﺏ في المعادلة العامة للخط المستقيم، يصبح لدينا ﺹ يساوي أربعة أثلاث ﺱ زائد أربعة. والآن، هذه صورة مقبولة لإعطاء الإجابة، لكنها تتضمن كسرًا بالفعل. وغالبًا ما نفضل الإجابة دون كسور. لنوجد إذن صورة مكافئة.

للتخلص من الكسور، يمكننا ضرب المعادلة بأكملها في المقام الذي قيمته ثلاثة. وبذلك، نحصل على ثلاثة ﺹ يساوي أربعة ﺱ زائد ١٢. تذكر أن علينا ضرب كل حد في ثلاثة بما في ذلك الحد الثابت. والآن، هذه صورة مقبولة لتكون عليها الإجابة. أو يمكننا أن نختار تجميع حدي ﺱ وﺹ في طرف واحد ونترك الحد الثابت في الطرف الآخر. بطرح أربعة ﺱ من كلا طرفي المعادلة، نحصل على الإجابة على هذه الصورة. ثلاثة ﺹ ناقص أربعة ﺱ يساوي ١٢.

في المثال الأخير، سنتدرب على إيجاد معادلة خط مستقيم إذا كان لدينا التمثيل البياني له.

اكتب المعادلة الممثلة بالتمثيل البياني الموضح. اكتب إجابتك في صورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ.

نتذكر أولًا أنه في الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ، يمثل ﻡ ميل الخط المستقيم، ويمثل ﺏ الجزء المقطوع من المحور ﺹ. علينا تحديد كل قيمة من هاتين القيمتين من التمثيل البياني. ويمكننا أن نرى الجزء الذي يقطعه الخط المستقيم من المحور ﺹ مباشرة. فالخط المستقيم يقطع المحور ﺹ عند أربعة. إذن، قيمة ﺏ هي أربعة.

يمكننا حساب قيمة ﻡ باستخدام الصيغة التي هي عبارة عن التغير في ﺹ على التغير في ﺱ. ولحساب ذلك، علينا تحديد أي نقطتين على التمثيل البياني. لقد حددنا بالفعل الجزء المقطوع من المحور ﺹ. كيف يمكننا إذن إيجاد الجزء المقطوع من المحور ﺱ؟ هذا يمثل النقطة التي إحداثياتها اثنان، صفر. في التمثيل البياني، يمكننا أن نرى أنه بين هاتين النقطتين، مقدار التغير في ﺹ هو أربع وحدات. إنه تغير موجب. ومقدار التغير في ﺱ وحدتان، أي تغير موجب أيضًا. إذن، الميل يساوي أربعة على اثنين، ما يساوي اثنين.

والآن، تذكر أن ميل الخط المستقيم هو نفسه، بغض النظر عن النقطة التي استخدمناها في حسابه. يمكننا استخدام النقطة أربعة، سالب أربعة أو النقطة واحد، ستة. هذا لا يهم. إذ سنحصل على الميل نفسه في كلتا الحالتين. وأخيرًا، نعوض بقيمتي ﻡ وﺏ في الصورة العامة، ومن ذلك نحصل على إجابة المسألة. ‏ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد أربعة.

لنلخص الآن النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. أولًا، المعادلة العامة للخط المستقيم تكون على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ أو أحيانًا ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ، حيث ﻡ يمثل ميل الخط المستقيم وﺏ أو ﺟ يمثل جزءه المقطوع من المحور ﺹ. ولهذا السبب، يشار أحيانًا إلى هذه الصورة باسم طريقة إيجاد الميل والمقطع. ويمكن حساب الميل ﻡ إما من النقطتين الواقعتين على الخط المستقيم وإما من التمثيل البياني باستخدام التغير في ﺹ على التغير في ﺱ. ويمكن صياغة ذلك رياضيًّا على الصورة ﺹ اثنان ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. أو يمكننا استخدام الصورة الأكثر شيوعًا، وهي التغير الأفقي على التغير الرأسي.

بعد أن نوجد الميل، يمكننا أن نوجد الجزء المقطوع من المحور ﺹ وهو ﺏ أو ﺟ بالتعويض بإحداثيات أي نقطة نعرف أنها تقع على الخط المستقيم. أو يمكننا إيجاده من التمثيل البياني. لتجنب وجود قيم كسرية، يمكننا أيضًا أن نكتب معادلة الخط المستقيم في الصور البديلة المكافئة، مثل: ﺃﺹ زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا أو ﺃﺹ زائد ﺏﺱ يساوي ﺟ. لكن، علينا الانتباه إلى أن قيم ﺃ وﺏ وﺟ ليست نفسها في الصور الثلاث المختلفة.

عند حل مسائل عن إيجاد معادلات الخطوط المستقيمة، علينا أن نتأكد من قراءة السؤال جيدًا وإعطاء الإجابة دائمًا على الصورة المطلوبة.