نسخة الفيديو النصية
أوجد ﺩﺹ على ﺩﺱ، إذا كان ﺹ يساوي ﺱ ناقص ٢٣ على ﺱ زائد ستة أس سالب خمسة.
لنلق نظرة على هذه الدالة المطلوب إيجاد مشتقتها. نلاحظ أنها تحتوي على خارج قسمة، ﺱ ناقص ٢٣ على ﺱ زائد ستة. ثم خارج القسمة بأكمله مرفوع لأس سالب خمسة. لدينا إذن دالة مركبة، أو دالة في دالة. سنحتاج إلى استخدام قاعدتين مختلفتين للاشتقاق لحل هذه المسألة. لكن أولًا يمكننا تبسيط الدالة، ﺹ، قليلًا إن أردنا ذلك.
نحن نعلم أن الأس السالب يعرف المقلوب. وفي حالة الكسر، لإيجاد مقلوبه، علينا أن نقلب هذا الكسر. أي إننا نبدل البسط والمقام. لذا يمكننا كتابة ﺹ على الصورة ﺱ زائد ستة على ﺱ ناقص ٢٣ أس خمسة. لقد غيرنا القوة من سالب إلى موجب وقلبنا الكسر. وهذا ليس ضروريًّا على الإطلاق. لكن الكثيرين يفضلون التعامل مع الأسس الموجبة بدلًا من الأسس السالبة. والآن لنفكر في الإجابة عن السؤال. وأول ما يمكننا فعله هو تعريف ﻉ لتكون الدالة بأكملها داخل القوسين.
إذن، سنجعل ﻉ يساوي ﺱ زائد ستة على ﺱ ناقص ٢٣. ثم باستخدام التعريف الجديد لـ ﺹ، فإن ﺹ يساوي ﻉ أس خمسة. وهذا مفيد؛ لأن لدينا الآن ﺹ دالة في ﻉ. وﻉ نفسها هي دالة في ﺱ. ما يعني أنه يمكننا تطبيق قاعدة السلسلة لإيجاد مشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ. تنص قاعدة السلسلة على أنه إذا كانت ﺹ دالة في ﻉ وﻉ دالة في ﺱ، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﺩﺹ على ﺩﻉ مضروبًا في ﺩﻉ على ﺩﺱ. يمكننا إيجاد ﺩﺹ على ﺩﻉ باستخدام قاعدة القوى للاشتقاق. إنه يساوي خمسة ﻉ أس أربعة. ولكن ماذا عن ﺩﻉ على ﺩﺱ؟
تذكر أن ﻉ خارج قسمة دالتين، وكلتا الدالتين قابلتان للاشتقاق. ما يعني أن علينا تطبيق قاعدة ثانية للاشتقاق، وهي قاعدة القسمة. تنص هذه القاعدة على أنه بالنسبة إلى دالتين قابلتين للاشتقاق ﺩ وﺭ، فإن مشتقة خارج قسمة كليهما، ﺩ على ﺭ، تساوي ﺭ مضروبًا في ﺩ شرطة ناقص ﺩ مضروبًا في ﺭ شرطة الكل على ﺭ تربيع. لتطبيق هذه القاعدة، علينا تعريف ﺩ لتكون الدالة في البسط، ﺱ زائد ستة، وﺭ لتكون الدالة في المقام، ﺱ ناقص ٢٣. يمكننا إيجاد كل من مشتقتيهما بالنسبة إلى ﺱ باستخدام قاعدة القوى للاشتقاق. في الواقع، كلاهما بسيط ومباشر. كل منهما يساوي واحدًا.
وبالتعويض في قاعدة القسمة، نحصل على ﺩﻉ على ﺩﺱ، أو ﺩ على ﺭ شرطة، يساوي ﺱ ناقص ٢٣ مضروبًا في واحد، وهو ما يساوي ﺭ مضروبًا في ﺩ شرطة، ناقص ﺱ زائد ستة مضروبًا في واحد، أي ﺩ مضروبًا في ﺭ شرطة، الكل على ﺱ ناقص ٢٣ تربيع، هذا يساوي ﺭ تربيع. وبتوزيع الأقواس في البسط، نحصل على ﺱ ناقص ٢٣ ناقص ﺱ ناقص ستة على ﺱ ناقص ٢٣ الكل تربيع. أخيرًا، نقوم بتجميع الحدود المتشابهة يعطينا ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي سالب ٢٩ على ﺱ ناقص ٢٣ تربيع.
بعد أن أوجدنا ﺩﺹ على ﺩﻉ وﺩﻉ على ﺩﺱ، يمكننا التعويض في قاعدة السلسلة لإيجاد ﺩﺹ على ﺩﺱ. لدينا ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ٢٩ على ﺱ ناقص ٢٣ تربيع مضروبًا في خمسة ﻉ أس أربعة. والآن، هذا التعبير لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ يتضمن حاليًّا متغيرين، ﺱ وﻉ. ونحتاج إلى أن يكون بدلالة ﺱ فقط. الخطوة الأخيرة إذن هي عكس عملية التعويض التي أجريناها سابقًا. ﻉ يساوي ﺱ زائد ستة على ﺱ ناقص ٢٣. وبالتعويض عن ﻉ بخارج القسمة هذا، يصبح لدينا الآن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب ٢٩ على ﺱ ناقص ٢٣ تربيع مضروبًا في خمسة في ﺱ زائد ستة على ﺱ ناقص ٢٣ أس أربعة.
في البسط، سالب ٢٩ مضروبًا في خمسة يساوي سالب ١٤٥. ثم لدينا ﺱ زائد ستة أس أربعة. وفي المقام، لدينا ﺱ ناقص ٢٣ تربيع مضروبًا في ﺱ ناقص ٢٣ أس أربعة. إذن، بجمع الأسس يعطينا ﺱ ناقص ٢٣ أس ستة. إذن، بتطبيق كل من قاعدة السلسلة وقاعدة القسمة، وجدنا ﺩﺹ على ﺩﺱ لهذه الدالة. إنه يساوي سالب ١٤٥ في ﺱ زائد ستة أس أربعة على ﺱ ناقص ٢٣ أس ستة.
