فيديو الدرس: تبسيط المقادير الجبرية: الأسس السالبة والكسرية

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتناول تبسيط المقادير الجبرية، وخاصة المقادير التي تحتوي على أسس سالبة وكسرية.

سنتناول في البداية ما يعنيه تبسيط المقدار. نقصد بالتبسيط أن نكتب المقدار في أبسط صورة ممكنة دون تغيير قيمة ذلك المقدار. تتضمن عملية التبسيط إزالة الأقواس عن طريق ضرب العوامل أو تجميع الحدود المتشابهة أو تبسيط الأسس، وهو ما سنستعرضه اليوم. قد نتساءل أيضًا عن سبب إجرائنا لعملية التبسيط.

التبسيط يجعل المقادير أسهل في القراءة والفهم. بالإضافة إلى ذلك، فهو يقلل الأخطاء المحتملة أثناء إجراء العمليات الحسابية. وهذا صحيح لأنه بعد تبسيط مقدار ما، يكون هناك عدد أقل من العمليات الحسابية مقارنة بتلك الموجودة في المقدار غير المبسط. ولكي نبسط المقدار الذي يحتوي على أسس، علينا أن نتذكر بعض قواعد الأسس.

لدينا قاعدة ضرب الأسس معًا. ‏‏ﺱ أس ﺃ في ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ زائد ﺏ. إذا كان لدينا ﺱ تربيع في ﺱ تكعيب، فسيصبح لدينا ﺱ أس اثنين زائد ثلاثة، ما يساوي ﺱ أس خمسة. بعد ذلك، لدينا قاعدة القسمة. ‏‏ﺱ أس ﺃ على ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ ناقص ﺏ. لدينا هنا ﺱ أس خمسة على ﺱ تربيع، ما يساوي ﺱ أس خمسة ناقص اثنين؛ أي ﺱ تكعيب.

القاعدة التالية هي قاعدة «قوة القوة». ‏‏ﺱ أس ﺃ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ في ﺏ. ومن ثم، إذا كان لدينا ﺱ تكعيب، ورفعناه إلى القوة أربعة، فسيساوي ﺱ أس ثلاثة في أربعة؛ أي ﺱ أس ١٢. وهناك قاعدة أخرى، وهي ﺱ على ﺹ الكل أس ﺃ يساوي ﺱ أس ﺃ على ﺹ أس ﺃ، وهي قاعدة مشابهة لقاعدة ﺱ في ﺹ الكل أس ﺃ يساوي ﺱ أس ﺃ في ﺹ أس ﺃ.

ولدينا بعد ذلك قاعدة الأس السالب. ‏‏ﺱ أس سالب ﺃ يساوي واحدًا على ﺱ أس موجب ﺃ. إذن، ﺱ أس سالب خمسة يساوي واحدًا على ﺱ أس خمسة. وبموجب القاعدة نفسها، يمكننا القول إن واحدًا على ﺱ أس سالب ثلاثة يساوي ﺱ أس موجب ثلاثة. سنفترض أن لدينا أسًا سالبًا في البسط وأسًا سالبًا في المقام. هنا، سينتقل ﺱ أس سالب أربعة إلى المقام ليصبح ﺱ أس موجب أربعة. وسينتقل ﺹ أس سالب ثلاثة من المقام إلى البسط ويصبح الأس موجبًا.

قبل أن ننتقل إلى نقطة أخرى، علينا ملاحظة أن جميع القواعد الخمس المذكورة أعلاه تنطبق أيضًا عندما تكون قيمة الأس سالبة. على سبيل المثال، إذا كان لدينا ﺱ أس سالب ثلاثة في ﺱ أس سالب خمسة، فذلك سيساوي ﺱ أس سالب ثلاثة زائد سالب خمسة؛ أي ﺱ أس سالب ثمانية.

نحن تقريبًا مستعدون لتناول بعض الأمثلة، لكن علينا أولًا أن نلقي نظرة على الأسس الكسرية. الأسس الكسرية، التي تعرف باسم «الأسس النسبية»، تمثل جذورًا معينة. ما نقوله هنا هو أن الجذر النوني لـ ﺱ يساوي ﺱ أس واحد على ﻥ. وبموجب هذه القاعدة، فإن الجذر التربيعي لـ ﺱ يساوي ﺱ أس نصف. نحن نعرف أن هذا هو الجذر التربيعي لأنه في حالة عدم وجود قيمة قبل رمز الجذر، يكون لدينا جذر تربيعي.

من ناحية أخرى، الجذر التكعيبي لـ ﺱ يساوي ﺱ أس واحد على ثلاثة. يظهر هذا الأس الكسري في صورة أخرى. وهي عندما يكون لدينا ﺱ أس ﻡ ونأخذ الجذر النوني لذلك. ويصبح لدينا ﺱ أس ﻡ على ﻥ. ومن ثم، إذا كان لدينا الجذر التكعيبي لـ ﺱ تربيع، فسنحصل على ﺱ أس ثلثين. مقام الأس يأتي من الجذر، ويأتي البسط من الأس هنا.

ثمة أمر آخر علينا قوله عن هذه الأنواع من الأسس الكسرية؛ وهو أننا نحصل على الناتج نفسه أيضًا إذا أخذنا الجذر التكعيبي لـ ﺱ أولًا، ثم قمنا بتربيع هذه القيمة. ووفقًا للطريقة المكتوب بها ذلك، فإننا نحسب ﺱ تربيع أولًا، ثم نأخذ الجذر التكعيبي. أما بالنسبة لهذه الصورة، فإننا نأخذ الجذر التكعيبي، ثم نحسب تربيع القيمة الناتجة. ستعطيك هاتان الصورتان النتيجة العددية نفسها. وكلتاهما تساوي ﺱ أس ثلثين. نحن الآن مستعدون لاستعراض بعض الأمثلة.

أي من التالي يساوي ثلاثة أخماس أس سالب ستة في ثلاثة أخماس أس سالب ثلاثة الكل مقسوم على ثلاثة أخماس أس ثمانية؟ (أ) ثلاثة أخماس أس ١١، أم (ب) ثلاثة أخماس أس سالب واحد، أم (ج) ثلاثة أخماس أس سالب ١١، أم (د) ثلاثة أخماس أس سالب ١٧، أم (هـ) ثلاثة أخماس أس سالب ٢٥.

ها هو المقدار. في البسط، لدينا أسان لهما الأساس نفسه مضروبان معًا. ونعلم أنه عند حدوث ذلك، يمكننا التبسيط عن طريق جمع الأسين. يمكننا تطبيق هذه القاعدة حتى إذا كانت كلتا القيمتين سالبة. وللتبسيط، سيكون لدينا ثلاثة أخماس أس سالب ستة زائد سالب ثلاثة، ما يساوي ثلاثة أخماس أس سالب تسعة. ثم نكتب المقام. وسنرى هنا أننا نقسم أسًا على أس آخر له الأساس نفسه.

وللقيام بذلك، نحن نعلم أن بإمكاننا طرح قيمتي الأسين. تنطبق هذه القاعدة حتى إذا كان أحد الأسين سالبًا. سيصبح لدينا إذن ثلاثة أخماس أس سالب تسعة ناقص ثمانية، ما يساوي ثلاثة أخماس أس سالب ١٧. يمكننا الآن توزيع سالب ١٧ لإجراء المزيد من التبسيط. لكن السؤال يطلب منا إيجاد مقدار مكافئ، وهو ما لدينا هنا؛ ثلاثة أخماس أس سالب ١٧، وهذه هي الإجابة النهائية.

في المثال التالي، سيكون علينا التبسيط في وجود هذين الأسين الكسريين.

بسط ١٦ أس خمسة أرباع على ١٦ أس نصف.

لدينا بعض الاختيارات المتعلقة بالترتيب الذي نختاره لحل هذه المسألة. ولأن هاتين القيمتين لهما الأساس نفسه، يمكننا طرح أسيهما، ما يعطينا ١٦ أس خمسة أرباع ناقص نصف. والنصف يساوي ربعين، ما يعني أن لدينا خمسة أرباع ناقص ربعين، وهذا يساوي ١٦ أس ثلاثة أرباع. يخبرنا هذا الأس الكسري بأن نوجد الجذر الرابع لـ ١٦ تكعيب.

وطبقًا لقاعدة «قوة القوة»، يمكننا التعبير عن ذلك إما على الصورة ١٦ أس ربع أس ثلاثة، أو على الصورة ١٦ تكعيب أس ربع. حسنًا، ١٦ أس ربع تكعيب سيكون الخيار المفضل؛ لأن ١٦ أس ربع يساوي اثنين، في حين أن ١٦ تكعيب يساوي ٤٠٩٦. لدينا في الصورة الأولى اثنان تكعيب، ما يساوي ثمانية. ولكن لأخذ الجذر الرابع للعدد ٤٠٩٦، سنحتاج إلى آلة حاسبة. وبمجرد كتابة العدد ٤٠٩٦ على الآلة الحاسبة، فإنها ستخبرك بأن الجذر الرابع له يساوي ثمانية.

وبأخذ الجذر الرابع أولًا ثم تكعيب الناتج، استطعنا التعامل مع قيم أصغر قليلًا مما ستكون عليه إذا استخدمنا الطريقة الأخرى. لكن كلتا الطريقتين توضح لنا أن هذا المقدار يساوي ثمانية.

سنتناول الآن المثال التالي.

احسب الجذر التربيعي لربع أس خمسة في ربع تربيع.

بالنظر إلى هذا المقدار، نلاحظ أننا نتعامل داخل الجذر مع أسين لهما الأساس نفسه. يمكننا تجميع هاتين القيمتين ليكون لدينا ربع أس خمسة زائد اثنين، وهو ما يساوي ربعًا أس سبعة. بعد ذلك، يمكننا أن نأخذ هذا الجذر ونعيد كتابته في صورة أس كسري، ليصبح لدينا ربع أس سبعة أنصاف. ثم يكون لدينا خياران. يمكننا اختيار ربع أس نصف، ثم رفع القيمة الناتجة للأس سبعة. أو اختيار ربع أس سبعة وإيجاد قيمتها، ثم حساب الجذر التربيعي لتلك القيمة.

أخذ الجذر التربيعي أولًا عادة ما يعني أن الأعداد التي سنتعامل معها ستكون أبسط قليلًا. يمكننا توزيع الأس نصف على الواحد والأربعة. الجذر التربيعي لواحد يساوي واحدًا، والجذر التربيعي لأربعة يساوي اثنين. أصبح لدينا الآن نصف أس سبعة. سنوزع الأس سبعة على الواحد والاثنين؛ واحد أس سبعة يساوي واحدًا، واثنان أس سبعة يساوي ١٢٨. إذن، قيمة هذا المقدار تساوي واحدًا على ١٢٨.

سنتناول مثالًا آخر.

أي من المقادير التالية قيمته تساوي قيمة سالب اثنين أس خمسة أس سالب ثلاثة؟ (أ) سالب اثنين تربيع، أم (ب) سالب اثنين أس ثمانية، أم (ج) سالب اثنين أس ١٥، أم (د) سالب واحد على اثنين أس ثمانية، أم (هـ) سالب واحد على اثنين أس ١٥.

لدينا المقدار سالب اثنين أس خمسة أس سالب ثلاثة. وبما أننا نحسب قوة مرفوعة لقوة أخرى، يمكننا ضرب هذين الأسين معًا. وهذا يعني خمسة في سالب ثلاثة، ما يساوي سالب ١٥. لاحظ أن أحد خيارات الإجابة هو سالب اثنين أس ١٥. وهو ما لا نراه هنا. لذا، يمكن أن نفكر في ﺱ أس سالب ﺃ يساوي واحدًا على ﺱ أس ﺃ، وهو ما يعطينا واحدًا على سالب اثنين أس ١٥، ولكن هذه ليست الإجابة التي نحاول إيجادها.

ما يمكننا قوله عن العدد سالب اثنين هو أن له العاملين سالب واحد واثنين. وهذا يعني أنه إذا فصلنا هذين العاملين، فسنتمكن من توزيع الأس ١٥. هذا يعطينا واحدًا على سالب واحد أس ١٥ في اثنين أس ١٥. ولأن العدد ١٥ فردي، فإن سالب واحد أس ١٥ يساوي سالب واحد. نحن نعرف ذلك لأن سالب واحد في سالب واحد يساوي موجب واحد، لكن سالب واحد في سالب واحد في سالب واحد يساوي سالب واحد.

سنأخذ سالب واحد هذا ونجعل هذا الكسر سالبًا، بحيث تكون صورته المبسطة هي: سالب واحد على اثنين أس ١٥، وهو ما لدينا هنا في الخيار (هـ).

في هذا المثال، لدينا متغيران مختلفان وأسس سالبة.

بسط ﻡ على ﻥ أس سالب واحد الكل أس سالب ثلاثة في اثنين في ﻡ أس سالب اثنين على ﻥ أس سالب اثنين الكل أس سالب ثلاثة.

قد تبدو المسألة طويلة إلى حد ما. دعونا نتابع ونكتب المقدار كما هو. أول ما نراه هو أن لدينا هنا قوة مرفوعة لقوة أخرى. كلا هذين الكسرين مرفوع للأس سالب ثلاثة. علاوة على ذلك، نحن نعلم أنه عند قسمة قيم ورفعها إلى الأس نفسه، يمكننا توزيع هذا الأس. وهو ما يعني بالنسبة للكسر الأول أنه يمكن كتابة ﻡ أس سالب ثلاثة على ﻥ أس موجب ثلاثة.

وهذا يساوي موجب ثلاثة؛ لأن سالب واحد في سالب ثلاثة يساوي موجب ثلاثة. بالنسبة للكسر الثاني، لدينا اثنان أس سالب ثلاثة، ثم ﻡ أس سالب اثنين في سالب ثلاثة، ما يساوي ﻡ أس موجب ستة. وبعد ذلك، لدينا في المقام ﻥ أس سالب اثنين في سالب ثلاثة؛ أي ﻥ أس موجب ستة.

نحن نعلم أنه عند ضرب كسرين، يمكننا ضرب البسطين معًا والمقامين معًا. يمكننا إذن ضرب ﻡ أس سالب ثلاثة في ﻡ أس موجب ستة، ما يساوي ﻡ أس سالب ثلاثة زائد ستة؛ أي ﻡ تكعيب. وما زال لدينا اثنان أس سالب ثلاثة في البسط. وفي المقام، لدينا ﻥ تكعيب في ﻥ أس ستة، ما يساوي ﻥ أس ثلاثة زائد ستة؛ أي ﻥ أس تسعة.

أصبحت لدينا الآن صورة مبسطة إلى حد ما. لا يمكننا تبسيط ﻡ تكعيب أو ﻥ أس تسعة أكثر من ذلك. لكن ما زال لدينا اثنان أس سالب ثلاثة. وهذا يعني أن علينا وضع هذه القيمة في المقام، فنحصل على ﻡ تكعيب على اثنين تكعيب في ﻥ أس تسعة. ونحن نعرف أن اثنين تكعيب يساوي ثمانية، ما يجعل الصورة المبسطة لهذا المقدار هي: ﻡ تكعيب على ثمانية في ﻥ أس تسعة.

في المثال الأخير، سنتناول أمرًا لم نره من قبل؛ وهو عدد كسري كأساس للأس.

أي من التالي يساوي واحدًا وثلاثة أخماس تربيع في واحد وثلاثة أخماس أس سالب ثلاثة؟ (أ) خمسة أثمان، أم (ب) ٢٥ على ٦٤، أم (ج) ثمانية أثلاث، أم (د) سالب خمسة أثمان، أم (هـ) سالب ثمانية أخماس.

سنكتب المقدار كما هو. قبل أن نبدأ، علينا أن نوضح أمرًا مهمًا للغاية. لدينا القاعدة التي تنص على أن ﺱ في ﺹ الكل تربيع يساوي ﺱ تربيع ﺹ تربيع. قد تفكر في كتابة واحد تربيع في ثلاثة أخماس تربيع. ولكن هذا غير صحيح. وذلك لأن العدد الكسري واحدًا وثلاثة أخماس يمثل واحدًا زائد ثلاثة أخماس. ولكنه لا يمثل واحدًا في ثلاثة أخماس. وبما أننا لا نستطيع تنفيذ خطوة التوزيع بهذه الطريقة، فسنحتاج إلى استراتيجية جديدة للتبسيط.

علينا تحويل هذه الأعداد الكسرية إلى كسور غير فعلية. سيكون الكسر غير الفعلي واحدًا في خمسة زائد ثلاثة، ما يساوي ثمانية، على المقام الأصلي وهو خمسة. هاتان القيمتان هما العدد الكسري نفسه، لذا سيكون الكسر غير الفعلي لهما في صورة ثمانية على خمسة. وبمجرد أن نصل إلى هذه المرحلة، وبما أن هذين الأسين لهما الأساس نفسه، يمكننا جمع الأسين. اثنان زائد سالب ثلاثة يساوي سالب واحد. ومن ثم، يمكننا توزيع هذا الأس بحيث يصبح لدينا ثمانية أس سالب واحد على خمسة أس سالب واحد.

وبما أن لدينا أسًا سالبًا في البسط وأسًا سالبًا في المقام، يمكننا أن نقلب الكسر. خمسة أس واحد يساوي خمسة. وثمانية أس واحد يساوي ثمانية. إذن المقدار المكافئ هو خمسة أثمان، وهو الخيار (أ). نستنتج من ذلك أن مفتاح حل هذه المعادلة هو إدراك أنك تحتاج إلى تغيير صورة هذه الأعداد الكسرية قبل أن تبدأ في الحل.

والآن دعونا نلخص النقاط الأساسية. تبسيط المقادير الجبرية يتيح لك كتابتها في أبسط صورة ممكنة دون تغيير قيمة المقدار. وعندما يكون لهذه المقادير أسس سالبة وكسرية، فإننا نستخدم هذه القواعد لتبسيط الحدود.