فيديو السؤال: إيجاد مجال ومدى دالة القيمة المطلقة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مجال ومدى الدالة ﺩس تساوي القيمة المطلقة لخمسة ﺱ زائد خمسة ناقص تسعة.

نبدأ باسترجاع ما نعنيه بمجال الدالة ومداها. مجال الدالة هو مجموعة كل القيم الممكنة للمتغير المستقل، بعبارة أخرى، هو مجموعة قيم ﺱ التي تجعل الدالة صحيحة، أي ينتج عنها قيم حقيقية لـ ﺹ. أما مدى الدالة فهو مجموعة كل القيم الناتجة الممكنة للمتغير التابع بعد التعويض عن المجال. بعبارة أخرى، المدى هو القيم الناتجة لـ ﺹ التي نحصل عليها بعد التعويض عن جميع القيم الممكنة لـ ﺱ.

دعونا الآن نفكر فيما تخبرنا به الدالة ﺩس. نعوض عن قيم لـ ﺱ في التعبير خمسة ﺱ زائد خمسة، ونجعل هذا موجبًا. بعد ذلك، نطرح تسعة. لا توجد قيم لـ ﺱ لا تجعل الدالة صحيحة، إذن مجال الدالة هو ببساطة كل الأعداد الحقيقية.

لكن ماذا عن المدى؟ حسنًا، هناك طريقتان لحساب المدى. أولًا، نفكر في ذلك جبريًّا. إذا كانت لدينا القيمة المطلقة لخمسة ﺱ زائد خمسة، فما الناتج الذي نحصل عليه عند التعويض بقيم لـ ﺱ؟ إذا كان ﺱ يساوي سالب واحد، فسنحصل على خمسة في سالب واحد زائد خمسة، وهو ما يساوي صفرًا. القيمة المطلقة لصفر تساوي صفرًا. وبالنسبة إلى جميع القيم الحقيقية الأخرى لـ ﺱ، نحصل على ناتج أكبر من صفر. وبذلك، يمكننا القول إن مدى الدالة، أي القيمة المطلقة لخمسة ﺱ زائد خمسة، أكبر من أو يساوي صفرًا.

نطرح تسعة من طرفي هذه المتباينة. فنجد أن القيمة المطلقة لخمسة ﺱ زائد خمسة ناقص تسعة يجب أن تكون أكبر من أو تساوي سالب تسعة. باستخدام ترميز الفترة للمدى، نجد أنه أكبر من أو يساوي سالب تسعة وأصغر من ∞.

لكن هناك طريقة أخرى يمكننا بها إيجاد المدى. وهي التفكير في التمثيل البياني للدالة. نرسم التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي خمسة ﺱ زائد خمسة. وهو خط مستقيم يمر بالمحور ﺹ عند خمسة، ويمر بالمحور ﺱ عند سالب خمسة. نوجد القيمة المطلقة لجميع القيم المخرجة، أي جميع قيم ﺹ. بعبارة أخرى، أي قيم على التمثيل البياني تقع أسفل المحور ﺱ تنعكس على المحور ﺱ، كما هو موضح. لاحظ أن هذا يتضمن ﺹ يساوي صفرًا.

بطرح تسعة من الدالة، فإننا ننقلها لأسفل بمقدار تسع وحدات. وإحداثيات أدنى نقطة على التمثيل البياني هي سالب خمسة، سالب تسعة. قلنا إن المدى هو كل القيم الممكنة لـ ﺹ بعد التعويض عن القيم الممكنة لـ ﺱ. نلاحظ من التمثيل البياني أن ﺹ يكون دائمًا أكبر من أو يساوي سالب تسعة. ومن ثم، نحصل في النهاية على نفس المدى الذي حصلنا عليه من قبل. وهو أكبر من أو يساوي سالب تسعة وأصغر من ∞.